基于MATLAB的机器人柔性手臂控制系统设计与仿真
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毕业设计基于MATLAB的机器人柔性手臂控制系统设计与仿真102012103金海彬机械工程系学生姓名： 学号： 系 部： 机械电子工程李雅青专 业： 指导教师： 二零一四年六月诚信声明本人郑重声明：本论文及其研究工作是本人在指导教师的指导下独立完成的，在完成论文时所利用的一切资料均已在参考文献中列出。 本人签名： 年 月 日毕业设计任务书设计题目： 基于MATLAB的机器人柔性手臂控制系统设计与仿真 系部： 机械工程系 专业： 机械电子工程专业 学号： 102012103 学生： 金海彬 指导教师（含职称）： 李雅青（副教授）专业负责人：张焕梅 1设计的主要任务及目标学生应通过本次毕业设计，综合运用所学过的基础理论知识，在深入了解反馈控制系统工作原理的基础上，掌握机械系统建模、分析及校正环节设计的基本过程；初步掌握运用MATLAB/Simulink相关模块进行控制系统设计与仿真的方法，为学生在毕业后从事机械控制系统设计工作打好基础。2设计的基本要求和内容（1）根据已有的机器人柔性手臂系统相关资料，对其结构特点及工作原理进行分析；（2）建立柔性手臂系统的数学模型；（3）应用极点配置对系统进行状态反馈设计；（4）运用MATLAB/SIMULINK对系统进行仿真计算；（5）通过动态仿真设计优化系统参数，对反馈系数K进行确定；3主要参考文献1 刘白燕等编,机电系统动态仿真-基于MATLAB/SIMULINKM.北京：机械工业出版社,2005.72 王积伟，吴振顺等著，控制工程基础M.北京：高等教育出版社2001.83 （日）末松良一. 机械控制入门 M.北京：科学出版社，20004 徐昕等著. MATLAB工具箱应用指南.北京:电子工业出版社,20004进度安排设计各阶段名称起 止 日 期1查阅资料，总体规划，完成开题2013.12.182014.03.162对机器人柔性手臂特征系统进行分析2014.03.172014.03.233建立系统的数学模型2014.03.242014.04.134对系统进行状态反馈设计2014.04.142014.05.115运用MATLAB/Simulink完成系统的仿真2014.05.122014.05.316分析结果，整理论文，准备答辩2014.06.012014.06.10 基于MATLAB的机器人柔性手臂控制系统设计与仿真摘要：机械臂未来的发展趋势是高速、高精度和轻型化、操作灵活的柔性机械臂。柔性机械臂系统的动力学特点是大范围刚体运动的同时，伴随着柔性臂杆的小幅弹性运动。柔性臂杆的弹性振动将极大地影响机械臂末端的定位精度。本设计结合机器人柔性手臂的结构特点，对机器人柔性手臂进行了受力分析，建立了柔性手臂系统的集中参数模型。对柔性手臂系统的特性、系统的可控制性和可观测性进行了分析，用极点配置求取状态反馈系数K对系统进行反馈。使柔性手臂系统的振动快速达到稳态,用MATLAB仿真确认控制效果。关键词：柔性机械臂，控制系统，MATLAB仿真Design and simulation systemfor flexible manipulator control based on MATLABAbstract：The trend of the development of mechanical arm is high speed, high precision and light-duty, flexible operation of the flexible manipulator. The dynamics of flexible manipulator system is characterized by a wide range of rigid motion at the same time, with flexible arm slightly elastic movement. The elastic vibration of flexible arm will greatly influence the mechanical arm at the ends of the positioning accuracy. This design with the structure characteristics of a flexible robot arm, has carried on the stress analysis of flexible robot arms, established the lumped parameter model of the flexible arm system. Characteristics of the flexible arm system, system controllability and observability are analyzed, using pole assignment for state feedback coefficient K to feedback system. To make the vibration of the flexible arm system to reach steady state quickly, MATLAB simulation confirm the control effect.Key words： Flexible manipulator, Control system, MATLAB simulation目 录1概 述11.1引言11.2研究目的及意义21.3国内外柔性机械臂的研究现状31.3.1柔性臂动力学建模的研究现状31.3.2柔性机械臂的主动控制42柔性手臂的建模过程52.1柔性手臂对机器人的重要性52.2柔性手臂的试验模型62.3状态方程的建立82.3.1集中参数模型82.3.2系统参数和变量的定义82.3.3数学模型103系统的特性分析133.1实验参数133.2比例变换143.3系统矩阵的特征值和手臂的振型153.4可控制性和可观测性204用极点配置法进行设计和仿真224.1状态反馈设计224.2控制系统设计方法选择224.3利用仿真确认控制效果245控制系统的实现26总 结27参考文献29致 谢30附 录31I太原工业学院毕业设计1 概述1.1 引言随着人类科技水平的不断进步，机器人的应用越来越广泛。现在工业机器人对精度的要求比以前更高，动作更迅速。但为了使控制容易进行，对机械臂的刚度有较高的要求，机器人的动作越快，就越需保证各部分的刚性。目前的工业机器人基座占地面积大，与工作对象比，重量过重。为使工业机器人具有高速度、高精度，显然部件太粗太重是不可取的，然而采用柔性手臂又会产生振动，所以对柔性手臂振动的控制问题已受到国内外学者的广泛关注。在工业、医疗、军事等领域内，柔性机器人能够代替人类完成大量重复的、机械性的工作。近些年，随着人类对外太空的探索不断深入，空间机器人因为具有较强的恶劣环境的适应能力，且完成任务的精确程度较高，正受到越来越多科研机构的关注和重视。在发达国家，工业机器人已得到广泛的应用。由工业机器人与其他设备组成的生产线已经成百倍的提高了企业的劳动生产率，提高和稳定了产品的质量，大大缩短了产品更新换代的周期。同时，随着机器人技术的发展，应用高速、高精度、高负载、高自重比的机器人日益受到工业和航空航天领域的关注1,而机械臂作为机器人中的一个关键操作部件，其运动与控制问题是研究机器人的基础。如果机械臂没有优良的运动控制品质，则难以使机器人胜任复杂的工作2。机械臂作为机器人的重要组成部分，其未来的发展趋势是高速、高精度和轻型化。操作灵活、性能稳定的柔性机械臂。由于柔性机械臂具有较小的动量。在遇到不可预测的障碍物时，柔性机械臂可以变形从而避免危险3。柔性机械臂系统的动力学特点是大范围刚体运动的同时，伴随着柔性臂杆的小幅弹性振动。柔性臂杆的弹性振动将极大地影响机械臂末端的定位精度，甚至影响机器人系统的稳定性。相对于刚性机械臂而言，柔性机械臂虽然没有了高速运动时产生的巨大惯性力，但是在执行动作过程中产生的振动使它的建模与控制要比刚性机械臂复杂得多4。与刚性机械臂相比较，柔性机械臂具有结构轻、自重比高等特性，因而具有较低的能耗、较大的操作空间和很高的效率，其响应快速而准确，有着很多潜在的优点，在工业、国防等应用领域中占有十分重要的地位。1.2研究目的及意义1954年由George推出人类历史上第一台机器人Unimate，其目的就是为了工业应用，在1961年Unimate被应用于通用公司生产线5。之后机器人被广泛应用于各种领域，由工业机器人发展为探索机器人、服务机器人和军事机器人。传统的机器人手臂的设计和制造都是以通过尽可能大的刚度来实现尽可能小的振动，以此来实现定位精度高和速度快的优点。随着机器人技术的迅速发展和社会的进步，传统的工业机器人质量重、功耗高、功能简单、低负重比等缺点，已无法满足其他应用领域对机械臂的需求。相对于笨重的、庞大的刚性机器人，柔性机器人采用重量轻的材料，因此可以用较低的成本和能源消耗来使柔性机器人实现工作容积大、运作速度高、载荷大的目标，同时操作简单、安全性高。比如在太空探索中，需要完成大量的空间任务，如：空间站的建造和维修、科学实验室的照料等。然而，太空环境具有微重力、高真空、高温差、辐射强、照明差等特殊性，这使得宇航员的舱外作业有着高度的危险性。因此，利用空间机器人代替宇航员进行太空操作是完全有必要的。由于发射成本的限制和太空环境的严酷性要求，空间机器人必须具有质量轻、效率高、寿命长、稳定性高的特点。柔性机械臂由于其质量轻、速度快、能耗低等优点，在航空航天领域中获得了广泛的应用。既然柔性机械臂有这么多优点，为什么在其它方面还没有得到普遍的应用？那是因为，柔性系统在他们可以实现实际应用必须解决一个很大的缺点，就是自身的振动问题。一个刚性机械手臂是不会产生振动的，因此能准确的进行定位，通过控制电机使刚性机械臂得到所需的角度是比较简单的。柔性系统由于自身的振动，是不可能完成准确的定位。因此我们只有通过设计更好的控制系统来抑制柔性系统的振动，在这方面，我们还有许多问题需要解决。 我们还需考虑一个问题，这个问题几乎存在于任何系统，就是我们对于一个系统的认识具有一定程度的不确定性。通常，当柔性系统的运动方程是已知的，但还有一些不确定性参数对于系统的影响。进一步来讲，即使这些参数在最初是已知的，我们也无法保证在整个操作过程中这些参数会保持不变。关于这一问题，一个多连杆机械手臂的振动会随着构型的改变而改变，因为惯性矩会随着构型的改变而改变。因此，对于一个确定的系统才有一种控制方案，到现在还没有一种很好的方法来处理这些不确定性的问题。如果这种不确定性是足够大的，可能随时间推移导致系统不工作。柔性构件的使用会引起机械臂的振动，这将严重影响轻型臂的使用，需要对其振动进行抑制。这样一来，柔性机械臂的建模与控制变得更加复杂6。以上都说明柔性机械臂是一个强耦合、强非线性的不确定系统7，因此，必须开展对柔性机械臂建模理论的研究。也就是说，如何从动力学方面考虑避免、减少和消除弹性变形和弹性变形振动的影响是一个急待解决的问题。总的来说，柔性机械臂系统动力学建模理论和主动控制策略等问题的研究具有重要的理论价值和实际应用价值。1.3 国内外柔性机械臂的研究现状从目前国内外的主要文献来看，关于柔性机械臂的研究，大致可以分为动力学建模与控制器的设计。柔性臂的动力学建模是进行柔性臂控制的基础，因此控制效果的好坏很大程度决定于所建模型的准确性。建模与控制理论的发展是相互促进的，更精确的建模理论的提出会促进控制理论的改进，同时控制理论的深入发展也会对建模理论提出要求。本设计主要是对柔性机械臂的动力学建模进行研究，用极点配置法对控制系统进行设计。1.3.1柔性臂动力学建模的研究现状对于大多数工业机器人，它们的数学模型是基于多刚体动力学，然而，由于柔性臂中包含有一些柔性单元（如柔性关节、柔性连杆等），其在运动过程中会产生扭曲、弹性、剪切等变形，传统的多刚体动力学的分析方法及控制技术不能满足多柔体系统的动力学分析及控制的要求。从本质上来说，柔性臂必须用无穷维分布参数模型来描述，而实际上对分布参数系统的控制又往往只能基于有限维模型进行设计，这就存在一个模型复杂性与系统控制性能之间进行折衷考虑的问题。因此，如何建立恰当的、行之有效的动力学模型，并据此设计高性能控制器以有效的地控制柔性臂的运动，是一个必须面对和解决的问题。柔性连杆机械臂的动力学建模的方法很多，经过近十多年的发展也比较成熟。一般来说，柔性连杆机械臂因为连杆柔性会在运动过程中产生挠曲变形、轴向变形和剪切变形，因而从动力学角度看，每根柔性连杆都可视为一段Timoshenko梁。考虑到手臂连杆的长度比其截面尺寸大得多，运行过程中所产生的轴向变形和剪切变形相对于挠曲变形而言非常小，因而在动力学建模过程中常常可忽略二者的影响，将每根柔性连杆简化为Euler-Bemoulli梁处理。柔性连杆臂是典型的动力学系统，因而其建模首先因满足Lagrange方程。当手臂终端执行器运动受限时，为了考虑约束表面方程的影响，则须应用Hamilton原理，所得到的模型往往是一组高度非线性的积分微分方程，求解十分困难。可见在柔性臂建模上，关键是对分布柔性的有限维近似。在近似方法中，有当做分布参数系统处理Ritz法、Galerkin法、假设模态法8、线性化法9等，这些方法把相对密度、质量比较均匀的系统作为研究对象来处理。另一类是当做集中参数来处理的有限元、有限段法等，不仅适用于密度、质量比较均匀的物体，对不均匀的物体也有效。1.3.2柔性机械臂的主动控制柔性机械臂的控制是一个非常广泛的研究课题。刚开始，Cannon通过测量柔性臂杆的实验来对柔性机械臂进行控制，对于柔性臂的控制方案中，一个高效的和精确的数学模型是前提。近年来，许多具有创新的控制方案被提出来。总体来说，控制策略对柔性臂系统而言，可分为开环或闭环控制方案。即：完成期望轨迹的跟踪和弹性振动的抑制。其中前者与机械臂的运动学规划的位置控制相关，通过控制系统的输入来对系统进行跟踪，这种方法不需要任何额外的传感器和执行器。另一方面，反馈控制技术需要从动力学角度进行振动控制，可以测量和估计系统的状态以减少振动，这二者是相互结合在一起的。对于柔性机械臂系统，Benosman10指出，控制目标主要是末端效应器、关节轨迹跟踪和末端轨迹跟踪的协调问题。在这过程中，最困难的是非最小相位的动力系统的问题。目前，该领域的研究成果日新月异，主要包括控制方案PD控制、线性化控制、智能控制、滑膜控制、鲁棒控制等各种算法。到目前为止，尽管在柔性机械臂系统动力学建模与振动控制的研究方面已取得了一些成果和进展，但是仍然存在一些关键的科学问题没有得到很好的解决。柔性机械臂系统运动与结构振动控制方面，柔性机械臂系统的真实自由度过多。虽然现在已经有一系列的模型简化降阶策略11来解决这个问题，但相关研究还不够成熟，有待遇发展更有效、更普遍的方法。2 柔性手臂的建模过程2.1 柔性手臂对机器人的重要性现在工业界正在使用着的机器人的原型是1959年在美国出现的。在至今的60年中，随着IC（集成电路）、微型电子计算机、传感器的飞速发展，被实际使用的工业机器人的数量也在快速增加。然而，对工业机器人也有不可思议的事情。机器人是最典型的机电一体化系统，但其基本外形从机器人1号发明至今变化几乎不大。图2.1中所示为机器人外观的几个例子，在目前被使用着的工业机器人中这些是数量很大的一类，具有庞大的基座、坚固的腰、粗壮的手臂等共性结构。图2.1 机器人的外观目前工业用机器人存在如下不足：（1）机器人占地面积过大。（2）使接近机器人的人有危险感。（3）与工作对象相比，机器人的重量过大。随着微机的高性能化、低价格化以及DC电动机控制技术等的进步，最近的工业机器人具备了比以前精度更高、动作更迅速等各种更好的功能。但以前对机器人运动的控制，为使控制容易进行，对手臂各关节间的连杆刚度要求很高，要求运动时不发生变形。限于目前人工智能的发展水平，人们对于机器人完成智能操作任务不能完全放心，必须予以控制。智能控制是机械电子工业学的主要内容和目标之一，它主要用于解决那些不能用数学模型描述和刻画的，控制时以各关节的旋转角度为对象，即仅通过各关节的旋转角度就可以决定机器人所有部分的位置。因此，机器人的动作速度越快，就越需要保证其刚性，并且手臂要粗，腰部旋转部分要坚固。若“即使是采用像板簧或圆柱弹簧那样柔性（易变形）材料的手臂，其手端的运动也可实现同刚性手臂相同的控制精度”，那么，机器人手臂就可以变细，机器人的外观也可漂亮起来，机器人的动作可更接近于人类的动作，显得更自然。由此观点出发，在本设计中设机器人手臂时用柔性材料制成，根据状态空间模型，对其手臂的运动控制进行研究。2.2 柔性手臂的试验模型12图2.2中所示为有两个关节的柔性手臂机器人的外观示意图。若其手臂用板簧、圆柱弹簧或碳精棒等制成，与以前的机器人相比其重量会大大下降。一般来说，若用柔性材料构成运动部件，则受力时柔性材料的变形相对刚性变形较大，容易产生振动。然而，为了使柔性手臂有良好的定位精度以及快速的响应。就需要通过良好的控制去消除振动，以便使机器人实现高速度、高精度的动作。为了证明这一点，本设计以图2.4 所示柔性手臂的试验模型为对象，对其控制系统的设计进行说明。在图2.2所示的柔性手臂机器人中，对于手臂1，在A端有电动机施加转矩，在B端有包括手臂2和手指在内的质量惯性和其旋转运动产生的力矩。这种关系可用图2.3表示。图给出了一种具有与上述手臂2大致相同的柔性臂的实验模型。即板簧制成的柔性手臂A的一端固定在旋转驱动轴S上，另一端与有质量和转动惯量的刚体G连接。然后，将DC电动机M的转矩经减速齿轮传递给旋驱动轴S。通过调整该DC电动机产生的转矩，来抑制板簧的振动以及刚体的位置。6图2.2 柔性手臂机器人的外观示意图图2.3 对弹性手臂前端的作用力图2.4 柔性手臂的实验模型在该实验模型中，旋转驱动轴要垂直，板簧和刚体应该在水平面内运动。为了使机器人的手臂变细、外观变得漂亮起来、动作更灵活显得更自然，把机器人的手臂用柔性材料制成，但是，若用柔性材料构成运动部件，则受力时柔性手臂的变形就会变大，容易产生振动。然而，通过良好的控制去消除振动，机器人就可实现高速度、高精度的动作。 2.3 状态方程的建立2.3.1 集中参数模型板簧的运动因挠度和转角成为时间和位置的函数，所以要严格表示其运动，就需采用偏微分方程，把系统的基本方程用偏微分方程形式表示的系统称为分布参数模型。但是，偏微分方程与常微分方程相比，在分析方面、数值计算方面都非常麻烦，计算量也相当大。因此，按分布参数系统进行控制是相当困难的。所以，把用偏微分方程表达的板簧运动用材料力学中的悬臂梁挠度和转角公式表示。这就将系统分成有限个元素，用元素间的相互关系作为模型，就构成了集中参数模型。 在实际存在的系统中,越是高阶的振型，频率越高，衰减也越大，所以不考虑高阶振型的控制。为简化分析，仅考虑第一、第二阶振型，相当于忽略了频率高、振幅小、衰减快的第三阶以上的振型。振型是对应于频率而言的，一个固有频率对应于一个振型。按照频率从低到高的排列，来说第一振型，第二振型等等。此处的振型就是指在该固有频率下结构的振动形态，频率越高则振动周期越小。第一振型来的时候，在相同的时间里，柔性手臂振动的次数少，但幅度大；第二振型来的时候，在相同的时间里，柔性手臂振动的次数多，幅度略小。 第三振型来的时候，比第二振型又表现的振动快一些。比如手里拿一根细长竹竿，慢悠悠来回摆动，竹竿形状呈现为第一振型；如果你稍加大摆动频率，竹竿形状将呈现第二振型；如果你再加大摆动频率，竹竿形状将呈现第三、第四振型。2.3.2 系统参数和变量的定义在给旋转驱动轴施加一个转矩后，由于柔性臂杆的柔性，前端刚体的运动滞后，发生如图2.5所示的弯曲。柔性臂杆的受力分析和变量的选择方法图2.5 显示了该系统的参数和柔性杆件所受的力 :包括减速齿轮的旋转驱动轴的转动惯量kgm:旋转驱动轴的半径m :臂长m:手臂构件的纵向弹性系数N/m:手臂截面的惯性矩m4:手臂前端的刚体质量kg:手臂前端刚体绕重心的转动惯量kgm:手臂前端到刚体重心的距离m :包括齿轮部分的旋转驱动轴的粘性阻尼系数(Nms) /rad作用力: :电动机施加给旋转驱动轴的转矩Nm:旋转驱动轴作用于手臂轴端的垂直力N:旋转驱动轴作用于手臂轴端的弯矩Nm:刚体作用于手臂前端的垂直力N：刚体作用于手臂前端的弯矩Nm决定几何学位置的变量:：旋转驱动轴的旋转角度rad:手臂前端的挠度m:手臂前端的转角rad2.3.3 数学模型把、作为中间变量，、作为输出量，中间变数和输出的个数为：4+3=7，所以可以建立七个独立的关系式，构成系统的数学模型。下面按手臂、刚体、旋转驱动轴的顺序建立基本方程式，组成系统的数学模型。关于手臂的变形假设构成柔性手臂的变形在弹性范围内，根据材料力学公式，当手臂前端产生挠度和转角时，手臂前端的剪切力和弯矩分别按下式给出 (2.1) (2.2) 另外，由于手臂两端力的平衡条件有 (2.3) (2.4)关于刚体的平移运动和旋转运动由位于手臂前端的刚体重心的平移运动（旋转手臂的切线方向）构成方程 (2.5)由绕刚体重心旋转的运动构成的方程为 (2.6)关于刚体的平移运动和旋转运动在旋转驱动轴中，受到电动机传递转矩、手臂反作用力和弯矩的作用，建立运动方程式为： (2.7) 以上基本方程式(2.1)(2.7)均为该柔性手臂系统的数学模型。而该系统的未知变量有、七个，均可通过式(2.1)(2.7)这七个独立的方程得到确定。从式(2.1)(2.7)中消去中间变量、，则有下列式子： （2.8） (2.9) (2.10)为了简化方程作如下假设： 以上三式是关于、的联立的二阶微分方程，可以看出该系统有六个变量。选择手臂前端的挠度及转角和各自的速度作为该系统的六个状态变量，定义如下： = （2.11） 选择旋转驱动轴转矩作为控制输入，在旋转驱动轴的旋转角度、手臂前端的挠度及转角中选择输出，即设： (2.12) (2.13)按此状态变量定义，根据式(2.8)-(2.10)及三个输出、，可以得到状态方程如下： (2.14) (2.15)其中，系统矩阵A、输入矩阵B及输出矩阵C分别为： A= B= (2.16) C= 式中 (2.17) 作上述处理后，作为研究对象的柔性手臂就成为具有集中参数的系统。3 系统的特性分析3.1 实验参数13图3.1 柔性手臂部主要尺寸（mm）图3.1为实验模型的俯视外形图与主视图及其主要尺寸。在垂直的旋转驱动轴上，DC电动机与1：48的齿轮减速器相连作为驱动装置。该实验模型的参数为： =0.1kgm =0.0168kgm=0.02m=0.265m=1.84kg=0.037m=0.43 =0.909 kgm将上述数据代入式（2.17）得到具体值为：=+ (3.1)3.2 比例变换应对上式进行比例变换或无因次化来减小因数字间的级差太大而带来精度上的不良影响所以应对各状态变量做比例变换，尽量使系统矩阵各元素的数量级一致后再进行计算。对控制系统的分析和设计进行比例变换或无因次化，在工程学所有问题的分析中都是很重要的。在把当前作为对象系统的各元件尺寸决定的参数值带入式子之前，使用适当的参变量进行比例变换。振动系统的微分方程是: 与是与系统物理参数有关的常数，固有频率=振动周期在此模型当中，控制应以抑制柔性手臂的二阶振型为目的，其振动周期可以利用运动方程 (3.2)中的近似求出。若设及为零，即旋转驱动轴固定、手臂前端的挠度为零，且只有转角做往复运动,的振动周期为： （3.3）另外，设单位长度为手臂的长度，单位质量和单位角度分别为1。以上可归纳为： （3.4）使用这些单位量对各状态变量进行比例变换，则有无因次变量： （3.5）则状态方程变化成： （3.6）根据上述的比例变换，系统矩阵中各元素值的分散度可以减至以下。在建立上式时，把控制输入设为代表量,则转矩输入为。3.3系统矩阵的特征值和手臂的振型利用矩阵理论对系统可行性与稳定性进行分析在工程中具有非常重要的指导意义。稳定是控制系统正常工作的首要条件，也是控制系统的一个重要性能。而控制系统稳定性的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否具有负实部的问题。对于系统：若矩阵A的特征值实部全部为负值，则系统是稳定的。图3.2 系统的零极点图不存在控制力时的状态方程： 当时，该公式表示在不施加控制力时系统的时间历程。状态向量x的特征是由系统矩阵A的特征值决定的。若矩阵A的特征值的实部全为负数，所有的状态变量将随时间收敛为0。这样由已知的矩阵A的特征值可得到确定系统时间响应的特征根。用matlab求矩阵特征值；v,d=eig(A)可以看到矩阵A的特征值分别为 （3.7）则比例变换前的特征方程的特征值为：特征值； (3.8)零及负实数的特征值与振动没有关系，其与特征值的实部全部为负数，与这些特征值相对应的时间响应为衰减的指数函数。两个共轭负数的特征值与两个振型相对应。因共轭复数的虚部表示角频率，所以，该系统产生的两个振动周期、分别为： (振动频率为1.75Hz) (振动频率为6.28Hz) （3.9）现在来分析一下这两个共轭复数对应的振动，在柔性手臂系统中是怎样的。要了解该振型，可以选择一个适当的初始值，用数值解来分析没有控制力时的自由系统的状态方程： （3.10）初始值为时间t=0时的状态变量值，即： = (3.11)选择初始值 时，可以得到输出、的时间响应。图3.3是在初始状态手臂前端的挠度变化10厘米，而其他变量全部为零时的自由响应。由该响应图波形可见响应包括两个振动成分。当然，这两个振动成分对应于式： 计算出的特征值。取不同的实验模型，其中的参数值会有不同，则A的值会有不同，会得到不同的时间响应图。图3.3 无控制时自由系统的时间响应 （绿线代表、黑线代表、紫线代表）下面设初始值及计算其时间响应，结果如图3.4a、图3.5a所示。由图可知在给定某一初始值时，两个振动成分中的某一个占统治地位，这有助于对振型的理解。图3.4a主要表现是周期T1=0.57s（1.57Hz）的振动。进一步观察手臂前端的挠度和转角以及旋转角度的时间响应，可知该振型采用的是如图3.4b所示的状态。另外，对于图3.5a，主要表现为T2=0.16s（6.28Hz）的振动，其振型为挠度和转角相位反向变化的形式，可知该振型采用的是如图3.5b所示的状态图3.4a 无控制时的自由响应（=0.7时）（绿线代表、黑线代表、紫线代表）图3.4b =0.7时的形态图3.5a 无控制时的自由响应（=-0.7时）（绿线代表、黑线代表、紫线代表）图3.5b =-0.7时的形态图3.4和图3.5所示为，当对柔性手臂系统不施加控制力时，在初始状态稍有一点变动就会出现两个振动成分，要完全消除它们，需要相当的时间。为尽快使包括这些振动在内的运动骤然收敛为零，就要施加控制力，这就是柔性手臂的控制问题。3.4可控制性和可观测性现代控制理论用状态空间表达式来描述系统，揭示系统内部的变化规律，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统内部变量，这就存在系统内部的所有状态是否可受输入的影响和是否可由输出反映的问题。可控性：分析输入对状态的控制能力可观测性：分析输出对状态的反应能力可控性、可观测性概念是卡尔曼于20世纪60年代首先提出的，是用状态空间描述系统而引申出来的新概念。可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，控制是指对于作用对象是机械的系统，可以依靠控制向量u(t),将系统的状态向量x(t)从某一种初始状态转变为目标状态。可控制性就是保证存在一个控制向量u，将状态变量x全部改变成所希望的值。可控制性概念在设计控制系统时是非常重要的。事先确定器可控制性的有无，可以避免对不可控制的系统非要控制的徒劳。根据对可控制矩阵的研究，也可以了解施加什么样的力才能实现控制。可控性的判别：根据状态方程中的系统矩阵A和输入矩阵B构成如下（nnm）矩阵可控性矩阵秩数是n，为系统可控的充要条件。可控制矩阵：=其值不为零，因此V的秩数是6，从而可确认状态方程是可控的。现在，就系统的可观测性进行分析。可观测性表示：通过检测系统的输出，判断能否推测出所有状态变量的值。就状态方程来说，若通过观测输出向量可确定状态向量的初始值，则此系统是可观测的。可观测性的判别方法：当由系统矩阵A和输出方程的矩阵C派生出下面的(nln)矩阵：可观测性矩阵，矩阵的秩数为，为系统可观测的充要条件。在式中, A: (nn), C: (ln),n: 状态变量的个数 l: 输出量的个数则试验模型的状态方程为6*6矩阵，其行列式不为零相当于其秩数为6。这样可以通过计算S的行列式，来判断器可观测性。可观测矩阵：=0.359其值不为零。因此S的秩数是6，从而可确定状态方程使可观测的。则该系统具有继续设计的意义。4 用极点配置法进行设计和仿真4.1 状态反馈设计对柔性手臂系统来说，进行怎样的控制才能使柔性手臂系统快速达到稳定状态，因为该系统是可控制的，也是可观测的。故而，该系统符合状态反馈准则，即：若系统可控制，同时又可以观测，那么，通过状态反馈，就可以实现稳定的控制系统14。所谓状态反馈就是指：用个状态变量及系数来表示控制力。即：. （4.1）将上式用向量和矩阵简化为：，其中K为反馈系数矩阵。而状态反馈方法就是：将比例系数乘以所有的状态变量对系统进行反馈，通过选择这些比例系数可满足给定的控制目标。对柔性手臂系统而言，控制力u是一个施加给旋转驱动轴的转矩，状态变量有6个，所以反馈系数K是一个6阶的矩阵， （4.2）根据方程, 该系统状态反馈控制力可用状态变量与各自系数，乘积之和的形式表示。即： （4.3）在这里，反馈系数矩阵的元素，六个系数的值如何选择，才能使柔性手臂快速达到稳定。 4.2 控制系统设计方法选择 控制系统的品质很大程度取决于该系统的极点在平面上的位置。因此，对系统进行设计时，往往是给出一组期望的极点。基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求，单输入系统系统根据指定极点所设计的状态反馈增益矩阵是唯一的。应用状态反馈 （4.4）对柔性手臂系统的极点（特征值）采用指定的值，以决定反馈系数矩阵，也就是用极点配置法进行设计。在应用极点配置法时，采用下述方法来指定控制系统的极点。首先，计算控制力为零时的自有系统的特征值。将其画在复平面上，以使其达到绝对稳定的程度。将复平面上自有系统的特征值往左稍稍移动一些，作为指定的控制系统极点。往左移动极点基本上不改变自由振动系统的固有频率，在达到控制目的的前提下，尽可能快地使系统振动收敛为0.图4.1 系统零极点图如图所示，根据对式进行比例变换得到状态方程，将自由振动的特征值式（3.7）的特征值和极点配置法确定的特征值作比较，把他们表示在复平面上，得到控制系统的极点为下面三组共轭复数 。, , 若采用这样的方法来指定极点，依靠状态反馈，利用控制系统特征值方程： 的解来确定指定极点值，那么求得反馈矩阵的值在仅有一个控制力u的情况下，是比较简单的。该反馈系数用有因次可表示为：这就缺点了状态反馈系统矩阵K。用仿真确认一下该控制的效果。如果仿真结果不理想，可在稍为改变一次下极点的位置，以便找到更好的反馈系数。4.3 利用仿真确认控制效果利用以上求得的反馈系数，通过状态反馈柔性手臂控制系统的时间响应进行仿真。其结果如图4.2和图4.3所示：图4.2所示的曲线主要表示产生第一振型经过控制后的时间响应。与具有相同初始状态的自由振动系统（无控制力系统）的图3.4a比较可知：依靠控制力可使振动衰减的效果显而易见。图4.2 控制系统的时间响应（）（绿线代表、黑线代表、紫线代表）图4.3所示的曲线主要表示产生第二振型经过控制后的时间响应。图4.3 控制系统的时间响应（）（绿线代表、黑线代表、紫线代表）显然在同初始状态下比图3-4a所示的振动衰减快得多。进一步对这种不同初始状态进行仿真表明，由于初始偏移而产生的振动，在约0.7秒以内就可以稳定。5 控制系统的实现最后，在本节讨论如何设计上述的状态反馈控制系统。图5.1所示为柔性手臂控制装置的结构示意图。位移传感器 手臂旋转驱动轴刚体 DC电动机微机A/D电动机D/A图5.1 柔性手臂控制装置的结构示意图当手臂前端刚体在水平面内工作时，用三个传感器检测手臂前端的挠度、转角以及驱动轴的转角，并根据推断六个状态变量原则和状态反馈原则计算控制转矩。将产生该转矩的电流指令值输给电动机，电动机的转矩再通过减速齿轮放大传递给手臂转轴，以控制手臂产生的振动。总 结本设计具体说明了机器人的手臂即使采用易变形的弹性材料，通过控制也可以迅速抑制该系统产生振动的方法。对工业机器人和各种自动机械的高速化、高精度化设计给除了如图6.1所示的设计方针。例如，在本设计最初如图2.1所示的各种工业机器人，为了抑制由高速运作到停止产生的振动，要提高机器人的刚性，使机器人的手臂过粗,其结果是同工作对象相比，外观过于坚固。不仅柔性手臂机器人存在自身振动的问题，而且其他任何机器人都存在自身振动的问题。通过提高机械臂的刚性，以实现机器人的高速化、高精度化是不可取的。更简单地说，为了实现高速化，部件太粗太重是不可取的，柔性化、轻量化才是所希望的。设计目的 以往的设计方针结果高速化、高精度化 提高部件的刚性 构件的重量化、精密化以控制为主体的设计方针结果将系统作为振动系统使 提高机动性用、通过控制抑制振动提高机动性图1 设计方针当然，机械工业是以安全性和可靠性为第一位的。目前，在强调使用机器控制的同时，不要轻视安全性、可靠性。只有充分了解控制对象的特性，才能进合理而符合自然原则的控制。柔性手臂系统的控制设计，基本上完成了。通过这三个多月的学习与设计，对柔性手臂系统系统有了一个总体的认识，在柔性手臂系统的设计中，首先对这个控制系统建模分析，然后，对系统的可控制性和可观测性进行判断；之后，对系统进行状态反馈设计，应用极点配置法对反馈系数K 进行确定；最后，对求取反馈系数K后柔性手臂前端的挠度和柔性手臂前端的转角以及旋转驱动轴的旋转角度在时域上具有怎样的特性，才能使系统达到控制目标,应用计算机仿真语言Matlab进行编程仿真分析。通过应用计算机仿真语言Matlab进行编程仿真分析的结果，能够得出如下的结果：状态变量的初始值为时是初始状态柔性手臂前端挠度变化10cm其它变量全部为零时的系统的自由响应包含两个振动成分这两个成分与式(3.8)的值相对应。初始值柔性手臂系统的时间响应如图3.4a所示，主要表现的是的振动。其振型为挠度和转角相位同方向变化的形式。初始值柔性手臂系统的时间响应如图3.5a所示，主要表现的是的振动。其振型为挠度和转角相位相反方向变化的形式。由此可知，当柔性手臂系统不施加控制力时，在初始状态稍微有一点变动就会出现两个振动成分，要完全消除它，需要相当长的时间。依靠控制力使振动衰减的效果显而易见。图4.3表示第二振型初始状态引起的系统的时间相应，显然在相同的初始状态下比图3.5a所示的振动衰减快得多。此次的我的控制系统设计基本完成了它要达到的目标，当然这里面还存在需要完善的地方和一些不足之处，比如说控制力u的问题，在我的设计中，我没把控制力u的最终会达到怎样的状态用仿真法表达出来，不过这并不影响我的设计所要达到的目标。 参考文献1王树新,员今天,石菊荣等.柔性机械臂建模理论与控制方法研究综述J.机器人.2002,1,24(1);86-91.2 Korayem M H ,Ghariblu H ,Basu A.Optimal Load of Elastic Joint Mobile Manipulators Imposing an Overturning Stability ConstraintJ.The internal journal of advanced manufacture technology. 2005.26: 638-644.3伍筱菁.柔性臂建模与控制方法研究J.微计算机信息，2005,21（12）：41-43,159.4戴学丰,孙立宁,刘品宽,蔡鹤皋.柔性臂机器人控制算法综述J.电机与控制学报.2002,6(2):158-161.5 NaKamura M,Goto S,et al.Optimum contouring of industrial robot arms under assigned velocity and torque congstrants J,Systems, Man,and Cybernetics,PartC:Applications and Reviews,IEEE Transactions on,2001,31(2):159-167.6黎田.柔性关节机械臂及其运动学标定和振动抑制的研究D.哈尔滨工业大学，2012.7陆佑方,冯冠民,齐朝晖.柔性机械臂动力学与控制建模的若干基本问题J,1993.8张铁民,柔性机械臂振动控制理论与实验研究D,天津,天津大学,19969樊猛，柔性机械臂路径优化及控制D,西安电子科技大学，201010Benosman M,Le Vey G.Control of flexible manipulators:A surveyJ.Robotica,2004,22(5):533-545.11Cao D,Wang J, Huang W.Anovel order reduction method for nonlinear dynamical system under external periodic excitationsJ.Science China Technological Sciences,2010,53(3):684-691.12(日)末松良一,机械控制入门M.北京:科学出版社,2000.13邹律龙,徐义斌.柔性臂工业机器人振动控制研究J.机床与液压,2009(2),37(2):123-124.14刘满,井元伟,张嗣瀛.区域极点配置问题的研究方法J.控制与决2005:2.15 王积伟，吴振顺等著，控制工程基础M.北京：高等教育出版社2001.8.致 谢本设计是在李雅青副教授悉心指导下完成的，无论是课题的宏观方向，还是具体细节，自始至终得到了李老师的大力帮助。她循循善诱、诲人不倦，给作者以很大的启发；她那严谨的治学态度，渊博的学识和丰富的实践经验，使我受益非浅。历经了三个多月的毕业设计，到这里就算是告一段落了。可以这样说，此次的我的控制系统设计基本完成了它要达到的目标。在这三个多月里，从我接到课题，到我终于把设计做好，这是一个短暂但并不枯燥的过程，大学四年的知识的沉淀在这里终于有了一个宣泄的场所。在本设计的完成过程中遇到了很多的困难和障碍，都在老师和同学的帮助下度过了。尤其要感谢我的论文指导老师李雅青老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助我进行设计的修改和改进。 毕竟，三个月是短暂的，要想把一个好的课题变成一个实实在在的东西拿出来，是多么的不容易，而且还要自学控制系统编程软件Matlab语言，幸好这三个多月来的设计，有同学的耐心帮助、有老师的悉心的指导，是他们帮助我学习了控制系统编程软件Matlab语言，让我了解了用这种语言进行编程仿真的使用的基本方法，并最终完成了我的毕业设计工作。再次，谨向尊敬的李老师表示最衷心的感谢。最后，向所有关心、爱护和支持过本人的老师、同学致谢。附 录绘制系统的零极点图num=1.23 -0.004 81.0764 -0.4088 36.3933;den=1 0.8 67.15 48.1771 306.69 71.156 0 0 ;G=tf(num,den); %求传递函数，命令后无“;”则屏幕立即显示，否则不显示。G1=zpk(G); %化为零极点增益形式z=G1.z; %将G1零点存入zp=G1.p; %将G1极点存入pk=G1.k; %将G1增益存入kZ=z: %显示零点P=p: %显示极点pzmap(G1); %绘制零极点图grid on %打开绘图网格则比例变换后的特征方程的特征值A= 0,1,0,0,0,0; 0,-0.8,9.47,0,3.37,0;0,0,0,1,0,0;0,-0.87,-31.0,0,15.3, 0; 0,0,0,0,0,1.0;0,-0.8,53.2, 0,-36.15,0v,d=eig(A)则比例变换前的特征方程的特征值A=0,1,0,0,0,0;0,-4.3,-894,0,84.1,0;0,0,0,1,0,0;0,-1.15,-776,0,101,0;0,0,0,0,0,1;0,-4.3,5019,0,-904,0v,d=eig(A)绘制了系统零输入时间响应图a=0 1 0 0 0 0; 0 -4.3 -894 0 84.1 0; 0 0 0 1 0 0; 0 -1.15 -77
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