浙江省高考数学一轮复习 专题07 数列中不等式证明特色训练.doc

七、数列中不等式证明一、解答题1【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1nn*.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：a1a2+a2a3+anan+1n2.【答案】（1）an=2n-1；(2)证明过程见解析（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据an=2n-1得akak+1=2k-12k+1-12k-12k+1-2=12，所以a1a2+a2a3+anan+1n2.试题解析：（1）an-1=2an+1nn*.an+1+1=2an+1，an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.an+1=2n，即an=2n-1.(2)证明：akak+1=2k-12k+1-12k-12-2k-1-1=2k-122k-1=12，k=1,2,n，a1a2+a2a3+anan+1n2.2【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列满足， （）求的通项公式（）设等比数列满足， ，问： 与数列的第几项相等？（）试比较与的大小，并说明理由【答案】（） （）（）试题解析：（）是等差数列，解出， ，（），是等比数列，又，与数列的第项相等（）猜想，即，即，用数学归纳法证明如下：当时， ，显然成立，假设当时， 成立，即成立；则当时， ，成立，由得，猜想成立3【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列满足，设.（i）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（ii）设，数列的前项和，求证： .【答案】（i）；（ii）证明见解析.试题解析：（i）由已知易得，由得即； ,又,是以为首项，以为公比的等比数列. 从而即，整理得即数列的通项公式为. 4【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列的公差为2，且， ， 成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证： 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.试题解析：（1）数列为等差数列，所以： ， ， ，因为， 成等比数列，所以： ，解得： ，所以： .（2）已知， ，-得： ，所以：，由于，所以： ， . 5【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列中， ，其前项的和为，且满足.() 求证：数列是等差数列；() 证明： 【答案】（）见解析；（）见解析.试题解析：（）当时， , ， ，从而构成以4为首项，2为公差的等差数列. （）由（1）可知， .6【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列an满足：a1=1，an=an-12an-1+1（n2）.（1）求数列an的通项公式；（2）设数列anan+1的前n项和为tn，求证：tn12.【答案】（1）an=12n-1（2）见解析试题解析：（）解：an=an-12an-1+1(n2)1an=2an-1+1an-1=1an-1+2(n2)，所以1an是以2为公差的等差数列，a1=11a1=1，所以1an=2n-1，所以数列an的通项公式为an=12n-1. （）证明：由（）得anan+1=12n-112n+1=1212n-1-12n+1，tn=121-12n+112.7【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足， 的前项和为.（）求；（）设， 为数列的前项和，求证： .【答案】（1） （2）略解：（）设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有，解得，所以；（）由（）知，所以 .8【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列的前项和满足： .（1）数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证： .【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据当时， ，得到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得 （）证明： 由， 所以， 所以 因为，所以，即9【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列an的前n项和sn=2n+1+n-2（）求数列an的通项公式；（）设bn=log2（an-1)，求证：1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn+11【答案】()an=2n+1；（）证明见解析.【解析】试题分析：()利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列an的通项公式 ；（）化简bn=log2an-1 =log22n=n，则1bnbn+1=1n-1n+1，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：()由sn=2n+1+n-2sn-1=2n+(n-1)-2(n2)，则an=2n+1 (n2).当n=1时，a1=s1=3，综上an=2n+1. （）由bn=log2(an-1)=log22n=n.1b1b2+1b2b3+1b3b4+.+1bnbn+1 =112+123+134+.+1n(n+1) =(1-12)+(12-13)+(13-14)+.+(1n-1n+1)=1-1n+11. 得证. 10【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知， 分别为等差数列和等比数列， ， 的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.（1）求的值；（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.请你求出解析式，并证明： .【答案】（1）,（2）见解析试题解析：（1）由得，又，所以.的零点为，而是的零点，又是等比数列的首项，所以， ，.（2），令的公比为，则.又都在指数函数的图象上，即，即当时恒成立，解得.所以.，因为，所以当时， 有最小值为，所以.11【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列an满足f(x)，则an+2=an+2，且a2，a1，a3，a7成等比数列.（）设bn=an+an+1，求数列bn的通项公式；（）设cn=bn+22nbnbn+1，求证：c1+c2+cn13.【答案】（）bn =2n+1.（）见解析.试卷解析：（）由an+2=an+2及a2，a1，a3，a7成等比数列得a2a3=a12a1a7=a32，即a2(a1+2)=a12a1(a1+6)=(a1+2)2，解得a1=2，a2=1，又bn=an+an+1，所以b1=a1+a2=3，bn+1-bn= (an+2+an+1)-(an+1+an) =an+2-an=2，所以数列bn是首项为3，公差为2的等差数列，所以bn=3+2(n-1) =2n+1.（）因为cn=bn+22nbnbn+1= 2n+5(2n+1)(2n+3)2n =2(2n+3)-(2n+1)(2n+1)(2n+3)2n=1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n.所以c1+c2+cn= 131-152+152-1722+ +1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n=13-1(2n+3)2n14时，证明：存在kn*，使得ak2016【答案】（1）a2=1，a3=2，a4=5（2）存在m=-12，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列（3）证明见解析.（2）a2，a3，a4成等差数列，a3-a2=a4-a3，即a22+m-a2=a32+m-a3，(a32-a22)-(a3-a2)=0，a3-a20，a3+a2-1=0将a2=m，a3=m2+m，代入上式，解得m=-12经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0存在m=-12，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列（3）an+1-an=a2n+m-an=an-122+m-14m-14，又m14，令d=m-140an-an-1d，an-1-an-2d，a2-a1d，an-a1(n-1)d，即an(n-1)d取正整数k2016d+1，则：ak(k-1)dd2016d=2016故当m14时，存在kn*,使得ak201615【2018届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列的前项和为，且满足， 为常数（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由（2）当时，求证： （3）当时，求证：当时， 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】试题分析：试题解析：（1）若，则，即，即，则，所以不存在数列使得 （2）由得，当时， ，两式相减得，即， ， ， ，当时， ，即，综上， （3）证1：由得，当时， ，两式相减得，另一方面， ，故证2：由得， ，所以当时， ，下同证1.16【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列xn满足x1=1，xn+1=2xn+3，求证：（i）0xn9；（ii）xnxn+1；（iii）xn9-823n-1.【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法证明；（2）作差法比较大小；(3) 因为0xnxn3.从而xn+1=2xn+332xn+3. 即9-xn+1239-xn，所以9-xn23n-19-x1又x1=1，故xn9-823n-1.试题解析：（i）（数学归纳法） 当n=1时，因为x1=1，所以0x19成立.假设当n=k时，0xk0，且xk+1-9=2xk-6=2xk-30得xk+19所以0xn9也成立.（iii）因为0xnxn3.从而xn+1=2xn+332xn+3.所以xn+1-923xn-9，即9-xn+1239-xn.所以9-xn23n-19-x1.又x1=1，故xn9-823n-1.17【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列an中，a1=12，an+1=1+anan+12（nn*）（1）求证：12an1；（2）求证：1an-1是等差数列；（3）设bn=n(1+a1)(1+a2)(1+an)，记数列bn的前n项和为sn，求证：sn9415 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当n=1时，a1=12，满足12an1，假设当n=k（k1）时，12an1，则当n=k+1时，ak+1=12-ak 23,1)，即n=k+1时，满足12an1；所以，当nn*时，都有12an0，只需证明n3，sn9415即可当n3时，sn=b1+b2+b3+bn23+b2+67b2+(67)2b2+(67)n-2b2 =23+45(1-(67)n-1)1-67 =23+285(1-(67)n-1) 0假设n=k时，xk0，那么n=k+1时，若，则，矛盾，故 因此所以，因此（）因为，所以，由，得，所以，故综上， 22【20