浙江省宁波市余姚中学高一数学下学期期中试卷（实验班含解析）.doc

2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高一（下）期中数学试卷（实验班）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1关于直线l：x+1=0，以下说法正确的是（）a直线l倾斜角为0b直线l倾斜角不存在c直线l斜率为0d直线l斜率不存在2设a，b，c分别是abc中，a，b，c所对边的边长，则直线sinax+ay+c=0与bxsinby+sinc=0的位置关系是（）a平行b重合c垂直d相交但不垂直3已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）a若，垂直于同一平面，则与平行b若m，n平行于同一平面，则m与n平行c若，不平行，则在内不存在与平行的直线d若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4在直角坐标系中，已知两点m（4，2），n（1，3），沿x轴把直角坐标平面折成直二面角后，m，n两点的距离为（）abcd5若动点a（x1，y1），b（x2，y2）分别在直线l1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移动，则线段ab的中点m到原点的距离的最小值为（）a2b3c3d46在abc中，a，b，c分别为a，b，c的对边，若sina、sinb、sinc依次成等比数列，则（）aa，b，c依次成等差数列ba，b，c依次成等比数列ca，c，b依次成等差数列da，c，b依次成等比数列7如图，三棱锥pabc，已知pa面abc，adbc于d，bc=cd=ad=1，设pd=x，bpc=，记函数f（x）=tan，则下列表述正确的是（）af（x）是关于x的增函数bf（x）是关于x的减函数cf（x）关于x先递增后递减d关于x先递减后递增8正四面体abcd的棱长为2，棱ad与平面所成的角，且顶点a在平面内，b，c，d均在平面外，则棱bc的中点e到平面的距离的取值范围是（）a，1b，1c，d，二.填空题：本大题共7小题，共36分9已知圆c的方程为x2+y26x8y=0，则圆心c的坐标为；过点（3，5）的最短弦的长度为10某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm211已知x，yr且满足不等式组，当k=1时，不等式组所表示的平面区域的面积为，若目标函数z=3x+y的最大值为7，则k的值为12若a，b是函数f（x）=x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于；点a坐标（p，q），曲线c方程：y=，直线l过a点，且和曲线c只有一个交点，则直线l的斜率取值范围为13已知三个球的半径r1，r2，r3满满足r1+r3=2r2，记它们的表面积分别为s1，s2，s3，若s1=1，s3=9，则s2=14已知函数f（x）=|x22x3|，若ab1，且f（a）=f（b），则u=2a+b的最小值为15设直线系m：xcos+（y2）sin=1（02），对于下列四个命题：am中所有直线均经过一个定点b存在定点p不在m中的任一条直线上c对于任意整数n（n3），存在正n边形，其所有边均在m中的直线上dm中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）三.解答题：本大题共5小题，总共74分.16已知圆m：（x1）2+（y1）2=4，直线l过点p（2，3）且与圆m交于a，b两点，且|ab|=2（）求直线l方程；（）设q（x0，y0）为圆m上的点，求x02+y02的取值范围17在abc中，设边a，b，c所对的角为a，b，c，且a，b，c都不是直角，（bc8）cosa+accosb=a2b2（）若b+c=5，求b，c的值；（）若，求abc面积的最大值18设常数ar，函数f（x）=（ax）|x|（）若a=1，求f（x）的单调区间；（）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+mff（x）对所有的x2，2恒成立，求实数m的取值范围19如图，在四棱锥eabcd中，底面abcd是矩形，ab=1，ae平面cde，f为线段de上的一点（）求证：平面aed平面abcd；（）若二面角ebcf与二面角fbcd的大小相等，求df的长20已知数列an中，a1=1，a2=，且an+1=（n=2，3，4）（1）求数列an的通项公式；（2）求证：对一切nn*，有ak22015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高一（下）期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1关于直线l：x+1=0，以下说法正确的是（）a直线l倾斜角为0b直线l倾斜角不存在c直线l斜率为0d直线l斜率不存在【考点】直线的斜率；直线的倾斜角【分析】根据直线方程判断即可【解答】解：直线l：x+1=0，即x=1，直线和x轴垂直，故直线l的斜率不存在，故选：d2设a，b，c分别是abc中，a，b，c所对边的边长，则直线sinax+ay+c=0与bxsinby+sinc=0的位置关系是（）a平行b重合c垂直d相交但不垂直【考点】正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】要寻求直线sinax+ay+c=0与bxsinby+sinc=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可【解答】解：由题意可得直线sinax+ay+c=0的斜率，bxsinby+sinc=0的斜率k1k2=1则直线sinax+ay+c=0与bxsinby+sinc=0垂直故选c3已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）a若，垂直于同一平面，则与平行b若m，n平行于同一平面，则m与n平行c若，不平行，则在内不存在与平行的直线d若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】解：对于a，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，例如墙角的三个平面；故a错误；对于b，若m，n平行于同一平面，则m与n平行相交或者异面；故b错误；对于c，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故c错误；对于d，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故d正确；故选d4在直角坐标系中，已知两点m（4，2），n（1，3），沿x轴把直角坐标平面折成直二面角后，m，n两点的距离为（）abcd【考点】点、线、面间的距离计算【分析】设一、二象限所在的半平面为，三、四象限所在的半平面为，可得作mcx轴于点c，连结nc、mn，可得mc平面，rtmnc中算出直角边cm、cn之长，再利用勾股定理算出mn长，即得m，n两点的距离【解答】解：过点m作mcx轴于点c，连结nc、mn设一、二象限所在的半平面为，三、四象限所在的半平面为，l是直二面角，=l，mclmc平面c的坐标（4，0），得mc=3rtmnc中，mn=故选：c5若动点a（x1，y1），b（x2，y2）分别在直线l1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移动，则线段ab的中点m到原点的距离的最小值为（）a2b3c3d4【考点】两点间的距离公式；中点坐标公式【分析】根据题意可推断出m点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得m的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段ab的中点m到原点的距离的最小值为，求得答案【解答】解：由题意知，m点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y6=0，m到原点的距离的最小值为d=3故选c6在abc中，a，b，c分别为a，b，c的对边，若sina、sinb、sinc依次成等比数列，则（）aa，b，c依次成等差数列ba，b，c依次成等比数列ca，c，b依次成等差数列da，c，b依次成等比数列【考点】等比数列的性质【分析】根据等比中项的性质得：sin2b=sinasinc，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列【解答】解：因为sina、sinb、sinc依次成等比数列，所以sin2b=sinasinc，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：b7如图，三棱锥pabc，已知pa面abc，adbc于d，bc=cd=ad=1，设pd=x，bpc=，记函数f（x）=tan，则下列表述正确的是（）af（x）是关于x的增函数bf（x）是关于x的减函数cf（x）关于x先递增后递减d关于x先递减后递增【考点】空间点、线、面的位置；棱锥的结构特征【分析】由pa平面abc，adbc于d，bc=cd=ad=1，利用x表示pa，pb，pc，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tan，利用基本不等式求最值；然后判断选项【解答】解：pa平面abc，adbc于d，bc=cd=ad=1，pd=x，bpc=，可求得：ac=，ab=，pa=，pc=，bp=，在pbc中，由余弦定理知：cos=tan2=1=1=，tan=（当且仅当x=时取等号）；所以f（x）关于x先递增后递减故选：c8正四面体abcd的棱长为2，棱ad与平面所成的角，且顶点a在平面内，b，c，d均在平面外，则棱bc的中点e到平面的距离的取值范围是（）a，1b，1c，d，【考点】点、线、面间的距离计算【分析】取平面dea平面位置考虑，在ade中，求出cosdae，再考虑特殊位置，可得结论【解答】解：取平面dea平面位置考虑即可如图所示，在ade中，ad=2，de=ae=，cosdae=，棱ad与平面所成的角为时，sinean=sin（dae）=，en=（）=或sinean=sin（+dae）=en=（）=棱bc的中点e到平面的距离的取值范围是，故选：c二.填空题：本大题共7小题，共36分9已知圆c的方程为x2+y26x8y=0，则圆心c的坐标为（3，4）；过点（3，5）的最短弦的长度为【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆c的方程为x2+y26x8y=0，能求出圆c的圆心c的坐标和半径r，再求出（3，5），c（3，4）两点间的距离d，从而得到过点（3，5）的最短弦的长度为：2【解答】解：圆c的方程为x2+y26x8y=0，圆c的圆心c（3，4），圆心的半径r=5，过点（3，5）、c（3，4）的直线的斜率不存在，过点（3，5）的最短弦的斜率k=0，（3，5），c（3，4）两点间的距离d=1，过点（3，5）的最短弦的长度为：2=2=4故答案为：（3，4），10某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉后得到的几何体【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉后得到的几何体该几何体的体积=cm3，表面积=+=cm2故答案分别为：；11已知x，yr且满足不等式组，当k=1时，不等式组所表示的平面区域的面积为，若目标函数z=3x+y的最大值为7，则k的值为2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到k的值然后即可得到结论【解答】解：若k=1，则不等式组对应的平面区域如图：则a（1，1），b（1，3），由得，即c（，），不等式组所表示的平面区域的面积为s=4（1）=2=，由z=3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，则由图象可知当直线y=3x+z经过点c时，直线y=3x+z的截距最大，此时z最大，为3x+y=7由，解得，即a（2，1），此时a在kxyk1=0上，则2k1k1=0，得k=2故答案为：；2；12若a，b是函数f（x）=x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于9；点a坐标（p，q），曲线c方程：y=，直线l过a点，且和曲线c只有一个交点，则直线l的斜率取值范围为（，1【考点】二次函数的性质【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案求出直线与圆相切时，直线的斜率，过（1，0）、（1，0）直线的斜率，即可得出结论【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：a=4，b=1；解得：a=1，b=4p=a+b=5，q=14=4，则p+q=9点a坐标（5，4），直线的方程设为y4=k（x5），即kxy5k+4=0曲线c方程：y=表示一个在x轴上方的圆的一半，圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1由圆心到直线的距离d=1，可得k=，过（1，0）、（5，4）直线的斜率为=，过（1，0）、（5，4）直线的斜率为1，直线l的斜率取值范围为（，1故答案为：9，（，113已知三个球的半径r1，r2，r3满满足r1+r3=2r2，记它们的表面积分别为s1，s2，s3，若s1=1，s3=9，则s2=4【考点】球的体积和表面积【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用r1+r3=2r2，得出+=2，代入计算可得结论【解答】解：因为s1=4r12，所以r1=，同理：r2=，r3=，由r1+r3=2r2，得+=2，因为s1=1，s3=9，所以2=1+3，所以s2=4故答案为：414已知函数f（x）=|x22x3|，若ab1，且f（a）=f（b），则u=2a+b的最小值为32【考点】分段函数的应用【分析】作出函数f（x）的图象，由ab1且f（a）=f（b），可求得（a1）2+（b1）2=8，a1，0b1，利用直线和圆的位置关系，结合线性规划的知识进行求解即可【解答】解：作出f（x）的图象如图，由图可知，f（x）的对称轴为：x=1ab1且f（a）=f（b），a1，1b1，则|a22a3|=|b22b3|，即a22a3=（b22b3），则（a1）2+（b1）2=8，a1，1b1，则（a，b）的轨迹是圆上的一个部分，（黑色部分），由u=2a+b得b=2a+u，平移b=2a+u，当直线b=2a+u和圆在第三象限相切时，截距最小，此时u最小，此时圆心（1，1）到直线2a+bu=0的距离d=，即|u3|=2，得u=32或u=3+2（舍），故答案为：3215设直线系m：xcos+（y2）sin=1（02），对于下列四个命题：am中所有直线均经过一个定点b存在定点p不在m中的任一条直线上c对于任意整数n（n3），存在正n边形，其所有边均在m中的直线上dm中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是bc（写出所有真命题的代号）【考点】命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程【分析】验证发现，直线系m：xcos+（y2）sin=1（02）表示圆x2+（y2）2=1的切线的集合，am中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，b存在定点p不在m中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标c对于任意整数n（n3），存在正n边形，其所有边均在m中的直线上，由直线系的几何意义可判断，dm中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出【解答】解：因为点（0，2）到直线系m：xcos+（y2）sin=1（02）中每条直线的距离d=1，直线系m：xcos+（y2）sin=1（02）表示圆x2+（y2）2=1的切线的集合，a由于直线系表示圆x2+（y2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，m中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故a不正确；b存在定点p不在m中的任一条直线上，观察知点m（0，2）即符合条件，故b正确；c由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n3），存在正n边形，其所有边均在m中的直线上，故c正确；d如下图，m中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如abb型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如bdc型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确故答案为：bc三.解答题：本大题共5小题，总共74分.16已知圆m：（x1）2+（y1）2=4，直线l过点p（2，3）且与圆m交于a，b两点，且|ab|=2（）求直线l方程；（）设q（x0，y0）为圆m上的点，求x02+y02的取值范围【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系【分析】（）分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线l的方程（）利用 x02+y02的几何意义求解圆心与坐标原点的距离，转化求解即可【解答】解：（）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y3=k（x2），即kxy+32k=0，作mcab于c，在直角三角形mbc中，bc=，mb=2，所以mc=1，又因为mc=1，解得k=，所以直线方程为3x4y+6=0当直线斜率不存在时，其方程为x=2，圆心到此直线的距离也为1，所以也符合题意，综上可知，直线l的方程为3x4y+6=0或x=2（）圆m：（x1）2+（y1）2=4，q（x0，y0）为圆m上的点，x02+y02的几何意义是圆的上的点与坐标原点距离的平方，圆心到原点的距离为：，圆的半径为2，x02+y02的取值范围：0，即0，6+417在abc中，设边a，b，c所对的角为a，b，c，且a，b，c都不是直角，（bc8）cosa+accosb=a2b2（）若b+c=5，求b，c的值；（）若，求abc面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知利用余弦定理化简已知等式可得，又abc不是直角三角形，解得bc=4，又b+c=5，联立即可解得b，c的值（）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c22bccosa2bc2bccosa=88cosa，解得，可求，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值【解答】（本题满分14分）解：（），abc不是直角三角形，bc=4，又b+c=5，解得或（），由余弦定理可得5=b2+c22bccosa2bc2bccosa=88cosa，所以abc面积的最大值是，当时取到18设常数ar，函数f（x）=（ax）|x|（）若a=1，求f（x）的单调区间；（）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+mff（x）对所有的x2，2恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义【分析】（）a=1时，便可得出，从而可根据二次函数的单调性，即可分别求出x0和x0时f（x）的单调区间，从而得出f（x）的单调区间；（）可由f（x）为奇函数得到a=0，从而得到f（x）=x|x|，进一步求得ff（x）=x3|x|，从而可由mx2+mff（x）得到对于任意x2，2恒成立，可由x2，2得出，这样便可得出实数m的取值范围【解答】解：（）当a=1时，；当x0时，f（x）在内是增函数，在内是减函数；当x0时，f（x）在（，0）内是减函数；综上可知，f（x）的单调增区间为，单调减区间为（，0），；（）f（x）是奇函数，f（1）=f（1）；即（a+