浙江省宁波市北仑中学九级数学保送考试试卷（含解析）.doc

2016年浙江省宁波市北仑中学九年级保送考试数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1若角、是直角三角形的两个锐角，则tan的值为（）a0b1c1d12已知n是奇数，m是偶数，关于x，y的二元一次方程组，有整数解，则（）ax0，y0均为偶数bx0，y0均为奇数cx0是偶数，y0是奇数dx0是奇数，y0是偶数3如图，已知长方体abcda1b1c1d1，ab=2，ad=1，aa1=2，p是棱a1b1上任意一点，q是侧面对角线ab1上一点，则pd1+pq的最小值是（）a3bcd1+4已知a，b，c是abc的三条边的边长，且p=+，则（）a存在三角形使得p=1或p=2b0p1c1p2d2p35已知平行四边形abcd中，e，f分别是ab，ad上的点，ef与对角线ac交于p，若=， =，则的值为（）abcd6若函数y=x2+ax+1（0x）的图象恒在x轴的上方，则a的最小值是（）a0b2c3d二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7由两条长度分别为a和b的铁丝分别围成一个正三角形和一个正六边形，若它们的面积相等，则=8甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a、b分别取0、1、2，若a、b满足|ab|1，则称甲、乙两人“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为9关于x的方程|x1|（x+1）=k恰好有三个不同的解，则实数k的取值范围是10如图，rtabc中，c=90，tanb=，ad是bc边上的中线，则sinbad=11圆o的半径为1，p为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正三角形（实线所示，正三角形的顶点a和点p重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点a第一次回到点p的位置，则点a走过的路径所围成图形的面积为12若四位数的各个数位上的数字具有如下特征：个位数是其余各个位上的数字之和，则称该四位数是和谐数，如2013满足3=2+0+1，则2013是和谐数，又如2015不是和谐数，因为52+0+1，那么在大于1000且小于2025的所有四位数中，和谐数的个数有个三、解答题（共4小题，满分60分）13已知二次函数y=（k2+2k）x22（k+1）x+1，其中k为给定的正整数（）若函数y的图象与x轴相交于a、b两点，且线段ab的长为，求k的值；（）若k依次取1，2，2015时，函数y的图象与y轴相交于点c，与x轴相交所截得的2015条线段分别是a1b1，a2b2，a2015b2015，记a1b1c，a2b2c，a2015b2015c的面积分别为s1，s2，s2015，求证：s1+s2+s201514已知函数y=（x1，m0）的图象c是由函数y=（x0，m0）的图象向右平移一个单位得到，如图所示，函数y=x+5的图象与图象c交于a，b两点，作ady轴，垂足为d（）求实数m的取值范围；（）若ab=ad，求实数m的值15如图1所示，ab是圆的一条弦，中点记为s，圆心为o，过s作任意两条弦cd、ef，分别交圆于c、d、e、f（）如图2所示，若圆的半径为2，弦ab的长是2，且cdef，连接cf，ed，ce，df，记cd的长为x，ef的长为y，求x与y的函数关系式，并求四边形cedf的面积最大值；（）如图3所示，连接cf，ed分别交ab于点m、n，求证：cmmf=ennd16设实数a是不等于1的正数，证明：下列三个方程（xa）（xa2）=xa3，（xa2）（xa3）=xa，（xa3）（xa）=xa2中至少有两个方程存在实数根2016年浙江省宁波市北仑中学九年级保送考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1若角、是直角三角形的两个锐角，则tan的值为（）a0b1c1d1【考点】互余两角三角函数的关系【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：由题意，得tan=tan45=11=0，故选：a【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正弦等于它余角的余弦是解题关键，还要熟记特殊角三角函数值2已知n是奇数，m是偶数，关于x，y的二元一次方程组，有整数解，则（）ax0，y0均为偶数bx0，y0均为奇数cx0是偶数，y0是奇数dx0是奇数，y0是偶数【考点】二元一次方程组的解【专题】计算题；一次方程（组）及应用【分析】运用n是奇数，m是偶数，分析方程的奇偶性，从而确定x0，y0的奇偶性【解答】解：2004x+15y=n，n为奇数，2004x为偶数，故15y必为奇数 即y0为奇数；2015x+18y=m，m为偶数，28y为偶数，2015x必为偶数，x为偶数，即x0为偶数x0是偶数，y0是奇数故选：c【点评】本题主要考查了二元一次方程组的奇偶性和整数解情况，综合性较强，难度较大3如图，已知长方体abcda1b1c1d1，ab=2，ad=1，aa1=2，p是棱a1b1上任意一点，q是侧面对角线ab1上一点，则pd1+pq的最小值是（）a3bcd1+【考点】轴对称最短路线问题；正方形的性质；特殊角的三角函数值【分析】将正方形展开，取a1b1c1d1及abb1a1两个面，过点d1作d1qab1于点q，d1q交a1b1于点p，此时pd1+pq取最小值d1q，由正方形的性质可得出d1aq=45，再利用特殊角的三角函数值即可求出d1q的长度，此题得解【解答】解：将正方形展开，取a1b1c1d1及abb1a1两个面，过点d1作d1qab1于点q，d1q交a1b1于点p，此时pd1+pq取最小值d1qabb1a1为正方形，d1aq=45在rtd1qa中，ad1=aa1+a1d1=3，d1qa=90，d1aq=45，d1q=sind1aqad1=故选b【点评】本题考查了轴对称中的最短路线问题、正方形的性质以及特殊角的三角函数值，找出点p、q的位置是解题的关键4已知a，b，c是abc的三条边的边长，且p=+，则（）a存在三角形使得p=1或p=2b0p1c1p2d2p3【考点】三角形边角关系【分析】由于分式的分子和分母都是正数，利用放大分母使分式的值变小和缩小分母使分式的值变大来确定p的范围【解答】解：设abc的周长为l，l=a+b+c，a+b=lc，b+c=la，c+a=lc，a，b，c是abc的三条边的边长，a+bc，b+ca，c+ab，clcl，alal，blbl，p=+=1，p1；设c是abc的三条边中的最大边，ca，cb，lalc，lblc，p=+=1+2，p2，即：1p2故选c【点评】此题是三角形的边角关系的题目，主要考查了三角形的三边关系，利用放缩法来确定p的范围是解本题的关键，也是难点5已知平行四边形abcd中，e，f分别是ab，ad上的点，ef与对角线ac交于p，若=， =，则的值为（）abcd【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例【分析】作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得出=和=，根据同高三角形面积比的关系得出pad、apf、pec面积都与peg的面积有关，并得出相应等式，代入所求面积的比进行计算即可【解答】解：过e作ehad，交dc于h，交ac于g，四边形abcd是平行四边形，adbc，ehbc，=，dcab，=，=，eg=eh，=，=， =，af=ad=eh，sapd=sapf，adeh，afeg，=，=，=，=，=，sepc=sepg，=；故选b【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质与判定，还考查了平行四边形的性质；关键是找到与所求面积相关的epg和apf，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和同高两三角形面积的比等于对应底边的比得出相关三角形面积之间的关系，最后得出结论6若函数y=x2+ax+1（0x）的图象恒在x轴的上方，则a的最小值是（）a0b2c3d【考点】抛物线与x轴的交点【分析】根据函数y=x2+ax+1（0x）的图象恒在x轴的上方可知当x=时，y0，得到a的不等式，求出最值即可【解答】解：函数y=x2+ax+1（0x）的图象恒在x轴的上方，当x=时，y0，+a+10，a，即a的最小值为，故选d【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据题意可知当x=时，y0，此题难度不大二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7由两条长度分别为a和b的铁丝分别围成一个正三角形和一个正六边形，若它们的面积相等，则=【考点】正多边形和圆【分析】根据题意画出图形，分别设出边长并表示出面积后即可利用面积相等得到答案【解答】解：由题意可得正三角形的边长为，则正六边形的边长为；（1）过a作adbc于d，则bad=30，ad=abcos30=a，sabc=bcad=a2；（2）连接oa、ob，过o作odab；aob=60，aod=30，od=，soab=b2，s六边形=6soab=6b2=b2，sabc=s六边形a2=b2，解得： =故答案为：【点评】本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答8甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a、b分别取0、1、2，若a、b满足|ab|1，则称甲、乙两人“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为【考点】列表法与树状图法【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有9种等可能的结果，得出“心有灵犀”的有7种情况，任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为：故答案为：【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比9关于x的方程|x1|（x+1）=k恰好有三个不同的解，则实数k的取值范围是0k1【考点】一元二次方程的解【分析】画出函数f（x）=|x1|（x+1）的图象，分析k取不同值时，函数图象与直线f（x）的交点个数即可得答案【解答】解：设f（x）=|x1|（x+1），f（x）=，作出函数f（x）的图象如下：如关于x的方程|x1|（x+1）=k恰好有三个不同的解，则0k1，故答案为：0k1【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根，将其中关于x的方程f（x）=k的解的个数转化为函数f（x）的图象与直线f（x）=k的交点个数是解题的关键10如图，rtabc中，c=90，tanb=，ad是bc边上的中线，则sinbad=【考点】解直角三角形【分析】作高线de，证明debacb，求de的长，再利用三角函数定义求结果【解答】解：c=90，tanb=，设ac=k，bc=4k，ab=k，ad是bc边上的中线，bd=cd=2k，过点d作deab于e，c=deb=90，又b=b，debacb，=，de=k，ad=k，sinbad=故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键11圆o的半径为1，p为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正三角形（实线所示，正三角形的顶点a和点p重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点a第一次回到点p的位置，则点a走过的路径所围成图形的面积为【考点】轨迹；等边三角形的性质；扇形面积的计算【分析】首先判断出当滚动一周回到原位置时点a滚动四次，每点a每次滚动的路径是圆心角为60半径为1的弧长且点a走过的路径所围成图形的面积即为阴影部分，由此即可解决问题【解答】解：如图，正三角形oab沿圆的内壁作无滑动的滚动，当滚动一周回到原位置时，点a滚动四次，点a每次滚动的路径是圆心角为60半径为1的弧长，点a走过的路径所围成图形的面积（图中阴影部分）为：4（12）=，故答案为：【点评】本题考查轨迹、等边三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，正确判断点a的滚动情形，记住扇形面积公式12若四位数的各个数位上的数字具有如下特征：个位数是其余各个位上的数字之和，则称该四位数是和谐数，如2013满足3=2+0+1，则2013是和谐数，又如2015不是和谐数，因为52+0+1，那么在大于1000且小于2025的所有四位数中，和谐数的个数有48个【考点】有理数的加法【专题】新定义【分析】根据和谐数的定义，在大于1000且小于2025的所有四位数中，从1001开始找符合条件的数，并总结规律：发现从数字上找比较容易，而且不重不漏：个位数分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9，一共是48个和谐数【解答】解：个位数为1：1001，合计1个数；个位数为2：1012、1102，2002，合计3个数；个位数为3：1023、1203、1113、2013，合计4个数；个位数为4：1034、1304、1214、1124、2024，合计5个数；个位数为5：1045、1405、1135、1315、1225，合计5个数；个位数为6：1056、1506、1146、1416、1236、1326，合计6个数；个位数为7：1067、1607、1157、1517、1247、1427，1337，合计7个数；个位数为8：1078、1708、1168、1618、1258、1528，1348、1438，合计8个数；个位数为9：1089、1809、1179、1719、1269、1629、1359、1539、1449，合计9个数；1+3+4+5+5+6=7+8+9=48，所以在大于1000且小于2025的所有四位数中，和谐数的个数有48个故答案为：48【点评】本题考查了学生应用排列规律解决实际问题，本题关键是认真读题，知道和谐数的定义，是个位数是其余各个位上的数字之和，从个位数为1开始找，依次得出规律，并做到不重不漏三、解答题（共4小题，满分60分）13已知二次函数y=（k2+2k）x22（k+1）x+1，其中k为给定的正整数（）若函数y的图象与x轴相交于a、b两点，且线段ab的长为，求k的值；（）若k依次取1，2，2015时，函数y的图象与y轴相交于点c，与x轴相交所截得的2015条线段分别是a1b1，a2b2，a2015b2015，记a1b1c，a2b2c，a2015b2015c的面积分别为s1，s2，s2015，求证：s1+s2+s2015【考点】抛物线与x轴的交点；三角形三边关系【分析】（）令y=0，用k表示出x的值，根据线段ab的长为，即可得到k的方程，求出k的值即可；（）首先用k表示出akbk，进而求出sk=sakbkc=（），最后求出s1+s2+s2015的和【解答】解：（）令y=0，解得x1=，x2=，x1x2，ab=|x1x2|=x1x2=，解得k=4；（）点c坐标为（0，1），akbk=，sk=sakbkc=（），s1+s2+s2015=（1+）=（1+）=（）=【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形三边关系的知识，解题的关键是用k表示出akbk，此题有一定的难度14已知函数y=（x1，m0）的图象c是由函数y=（x0，m0）的图象向右平移一个单位得到，如图所示，函数y=x+5的图象与图象c交于a，b两点，作ady轴，垂足为d（）求实数m的取值范围；（）若ab=ad，求实数m的值【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（）联立方程，整理得到关于x的一元二次方程，根据题意得到=364（5+m）0，从而求得m的取值；（）设a（x0，），由ab=ad，得到b（2x0，），把a、b代入y=x+5得到方程组，解方程组求得m的值【解答】解（）联立方程组，整理得x26x+5+m=0，函数y=x+5的图象与图象c交于a，b两点，=364（5+m）0，m0，0m4；（）设a（x0，），ab=ad，b（2x0，），把a、b代入y=x+5得，解得m=3【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据题意列出方程组是解题的关键15如图1所示，ab是圆的一条弦，中点记为s，圆心为o，过s作任意两条弦cd、ef，分别交圆于c、d、e、f（）如图2所示，若圆的半径为2，弦ab的长是2，且cdef，连接cf，ed，ce，df，记cd的长为x，ef的长为y，求x与y的函数关系式，并求四边形cedf的面积最大值；（）如图3所示，连接cf，ed分别交ab于点m、n，求证：cmmf=ennd【考点】圆的综合题【分析】（）先由垂径定理和勾股定理求出os=1，过点o作cd，ef的垂线，得出矩形，由勾股定理求出oh2，og2，进而用og2+oh2=1，建立方程即可得出函数关系式，即极值；（）先判断出esdcsf，进而判断出o，s，n，l四点共圆，同理：o，t，m，s四点共圆，再用相交弦定理即可【解答】解：（）如图1，连接os，ob，点s是ab中点，点o是圆心，osab，as=ab=1，在rtobs中，ob=2，os=1，作ogcd于g，ohef于h，cdef，四边形ogsh是矩形，gs=oh，根据勾股定理得，og2+gs2=os2=1，og2+oh2=1连接oc，og2=oc2cd2=4（）2同理：oh2=4（）2，4（）2+4（）2=1，y=（2x4）cdef，s=s四边形cedf=xy，s2=x2y2=x2（28x2）=（x214）2+49，当x2=14即x=时，s最大=7，（）如图3，过o作oled，otcf连接on，om，os，sl，st，le=ed，ct=fcesd=csf，sed=scf，esdcsf，e=c，eslcst，sln=stms是ab中点，osabosn=oln=90，osn+oln=180，o，s，n，l四点共圆，同理：o