湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程课件 新人教版选修21.pptVIP

2 4抛物线2 4 1抛物线及其标准方程 一 抛物线的定义 定点f 定直线l 相等 思考 定义中为什么加上条件 l不经过f 提示 若点f在直线l上 满足条件的动点p的轨迹是过点f且垂直于l的直线 而不是抛物线 二 抛物线的标准方程 0 x 0 y 0 y 判断 正确的打 错误的打 1 抛物线的方程都是二次函数 2 抛物线的焦点到准线的距离是p 3 抛物线的开口方向由一次项确定 提示 1 错误 抛物线的方程不都是二次函数 如开口向右的抛物线的方程为y2 2px p 0 对任一个x的值 y的值不唯一 所以不是二次函数 2 正确 在抛物线标准方程中 p 0 焦点到准线的距离为p 3 正确 一次项是x项时 p 0开口向右 p0开口向上 p 0开口向下 答案 1 2 3 知识点拨 1 对抛物线定义的理解 1 定义条件 直线l不经过定点f 2 一动三定 一动 即动点p 三定 即定点f 定直线l和定值 也就是p到定点f与到定直线的距离的比值是定值1 2 抛物线标准方程的特点 1 方程特点 抛物线的标准方程是关于x y的二元二次方程 等号的左边是其中一个变量的平方 另一边是另一个变量的一次项 2 参数p 在抛物线的方程中只有一个参数p 它的几何意义是焦点到准线的距离 因此p 0 p越大 抛物线开口越开阔 反之越扁狭 3 四种标准方程的位置的相同点 原点在抛物线上 焦点在坐标轴上 准线与焦点在原点两侧 且准线与其中一条坐标轴垂直 3 抛物线的焦点及开口方向 4 抛物线与二次函数的关系二次函数的解析式为y ax2 bx c a 0 当b c为0时 y ax2表示焦点在y轴上的抛物线 标准方程为x2 y a 0时抛物线开口向上 a 0时 抛物线开口向下 当抛物线的开口方向向左或向右时 方程为y2 2px 这是一条曲线 不能称为函数 类型一根据方程求焦点和准线方程 典型例题 1 2013 南昌高二检测 抛物线x 2y2的准线方程是 a y b y c x d x 2 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y x2 2 x ay2 a 0 解题探究 1 求抛物线的焦点坐标和准线方程时 首先要做什么 2 当抛物线方程中含参数时 如何求焦点和准线 探究提示 1 求抛物线的焦点坐标和准线方程时 首先应把所给方程化成标准形式 然后找出开口方向再求性质 2 如果抛物线方程中含参数 要先把其化成标准方程 对参数应分类讨论 解析 1 选d 方程x 2y2的标准形式是y2 x 抛物线开口向左且p 准线方程为x 2 1 抛物线y x2的标准形式为x2 4y p 2 焦点坐标是 0 1 准线方程是y 1 2 抛物线x ay2 a 0 的标准形式为y2 x 2p 当a 0时 抛物线开口向右 焦点坐标是 0 准线方程是x 当a 0时 抛物线开口向左 焦点坐标是 0 准线方程是x 综上所述 当a 0时 抛物线x ay2的焦点坐标为 0 准线方程为x 互动探究 题2 2 中 把方程改为x2 ay a 0 结果如何 解析 方程x2 ay是抛物线的标准形式 由方程知 其焦点在y轴上 其焦点坐标为 0 准线方程为y 拓展提升 1 求焦点坐标和准线方程的步骤 2 判断焦点位置及开口方向的记忆口诀焦点要看一次项 符号确定开口方向 如果y是一次项 负时向下 正向上 如果x是一次项 负时向左 正向右 变式训练 2013 亳州高二检测 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆的右焦点重合 则p的值为 解题指南 求出抛物线的焦点和椭圆的右焦点 建立方程求解 解析 抛物线的焦点是 0 椭圆中 c2 6 2 4 右焦点为 2 0 由 2得p 4 答案 4 类型二求抛物线的标准方程 典型例题 1 2013 安阳高二检测 设抛物线的顶点在原点 准线方程为x 2 则抛物线的方程是 a y2 8xb y2 8xc y2 4xd y2 4x2 根据下列条件 求抛物线的标准方程 1 焦点到准线的距离是4 2 过点 1 2 解题探究 1 求抛物线的标准方程的关键是什么 2 已知抛物线上一点时 如何确定开口方向 探究提示 1 求抛物线的标准方程的关键是首先明确抛物线焦点的位置 2 若点在第一象限时 抛物线的开口向右或向上 若点在第二象限时 抛物线的开口向上或向左 若点在第三象限时 抛物线的开口向左或向下 若点在第四象限时 抛物线的开口向下或向右 解析 1 选b 准线方程为x 2 焦点坐标为 2 0 故所求方程为y2 8x 2 1 p 4 抛物线的方程有四种形式 y2 8x y2 8x x2 8y x2 8y 2 方法一 点 1 2 在第一象限 要分两种情形 当抛物线的焦点在x轴上时 设抛物线的方程为y2 2px p 0 则22 2p 1 解得p 2 抛物线方程为y2 4x 当抛物线的焦点在y轴上时 设抛物线的方程为x2 2py p 0 则12 2p 2 解得p 抛物线方程为x2 y 方法二 设所求抛物线的标准方程为y2 mx或x2 ny 将点 1 2 代入 得m 4 n 故所求的方程为y2 4x或x2 y 拓展提升 1 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2 求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 1 把握开口方向与方程间的对应关系 2 当抛物线的类型没有确定时 可设方程为y2 mx或x2 ny 这样可以减少讨论情况的个数 3 注意p与的几何意义 变式训练 2013 新课标全国卷 设抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f 点m在c上 mf 5 若以mf为直径的圆过点 0 2 则c的方程为 a y2 4x或y2 8xb y2 2x或y2 8xc y2 4x或y2 16xd y2 2x或y2 16x 解析 选c 由题意知 准线方程为x 则由抛物线的定义知 xm 5 设以 为直径的圆的圆心为所以圆方程为又因为过点 0 2 所以ym 4 又因为点 在 上 所以16 解得p 2或p 8 所以抛物线 的方程为y2 4x或y2 16x 类型三抛物线的实际应用 典型例题 1 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分 灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直 灯泡位于抛物线焦点处 已知灯口的直径是24cm 灯深10cm 那么灯泡与反射镜顶点 即截得抛物线顶点 间的距离是 2 一辆卡车高3m 宽1 6m 欲通过断面为抛物线形的隧道 已知拱口ab宽恰好是拱高cd的4倍 若拱宽为am 求能使卡车通过的a的最小整数值 解题探究 1 对于实际问题的抛物线模型 建系有什么原则 2 解答实际问题应注意什么 探究提示 1 一般地 遇抛物线模型的实际问题时 要注意把抛物线建在标准位置 即顶点在坐标原点 焦点建在坐标轴上 2 解答本类题时 一要合理画出图形 二要建立恰当的直角坐标系 三要关注点的坐标和图形中线段的对应关系 解析 1 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴 抛物线的顶点为坐标原点 建立直角坐标系xoy 如图所示 因灯口直径 ab 24 灯深 op 10 所以点a的坐标是 10 12 设抛物线的方程为y2 2px p 0 由点a 10 12 在抛物线上 得122 2p 10 所以p 7 2 所以抛物线的焦点f的坐标为 3 6 0 因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3 6cm 答案 3 6cm 2 以拱顶为原点 拱高所在直线为y轴 建立如图所示的直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 则点b的坐标为 由点b在抛物线上 2 2p p 抛物线方程为x2 ay 将点e 0 8 y 代入抛物线方程 得y 点e到拱底ab的距离为解得a 12 21 a取整数 a的最小整数值为13 拓展提升 求解抛物线实际应用题的五个步骤 变式训练 某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成 尺寸如图所示 某卡车空车时能通过此隧道 现载一集装箱 箱宽3m 车与箱共高4 5m 问此车能否通过该隧道 说明理由 解析 在以抛物线的顶点为坐标原点 以过顶点的水平直线为x轴建立的直角坐标系中 点a的坐标为 3 3 设抛物线方程为x2 2py 抛物线方程为x2 3y 如果此车能通过隧道 卡车和集装箱应处于以y轴为对称轴的对称位置 把点 x 0 5 代入x2 3y得x2 3 0 5 x 1 22 因此 高度为4 5m处 允许的宽度约为2 1 22 2 44 3 此车不能通过该隧道 与抛物线有关的轨迹问题 典型例题 1 2013 唐山高二检测 已知定点a 0 1 直线l1 y 1 记过点a且与直线l1相切的圆的圆心为点c 则动点c的轨迹e的方程为 2 2013 瑞金高二检测 点m到点f 0 的距离比到直线x 的距离小1 求点m满足的方程 解析 1 根据条件可知 动圆的圆心c到点 0 1 的距离与到直线y 1的距离相等 所以满足抛物线的定义 这里 1 焦点为 0 1 所以动点c的轨迹方程为x2 4y 答案 x2 4y 2 点m到点f 0 的距离比到直线x 的距离小1 点m到点f 0 的距离与到直线x 的距离相等 点m轨迹为以f 0 为焦点 x 为准线的抛物线 设抛物线方程为y2 2px p 0 则由题意知 p 3 所求抛物线的方程为 y2 6x 拓展提升 定义法求抛物线方程的关键抛物线的轨迹问题 既可以用轨迹法直接求解 也可以转化为抛物线的定义求解 后者的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离 有时需要依据条件进行转化 易错误区 求抛物线焦点和弦长时的误区 典例 2013 南昌高二检测 从抛物线y2 4x上一点p引抛物线准线的垂线 垂足为m 且 pm 5 设抛物线的焦点为f 则 mpf的面积为 解析 抛物线方程为y2 4x 则准线方程为x 1 令p点坐标为p x0 y0 由图可知 pm x0 1 5 x0 4 把x0 4代入y2 4x 解得y0 4 mpf的面积为 pm y0 5 4 10 答案 10 误区警示 防范措施 1 准确记住抛物线的焦点和准线在抛物线方程中 一次项系数与焦点的横或纵坐标间是 4倍关系 要牢记公式 不能失误 如本例中准线方程为x 1 2 加强图形之间的联系与直观性在解析几何的解题中 要加强图形的直观 对结论性的知识应利用图形加强记忆 避免运算中使用错误结论 如本例中pm的长可表示为x0 1 5 3 注意抛物线定义的应用抛物线的定义比较灵活 要注意灵活应用 往往是 看到焦点 想到准线 看到准线 想到焦点 这有利于问题的解决 类题试解 2013 新课标全国卷 o为坐标原点 f为抛物线c y2 的焦点 p为c上一点 若 pf 则 pof的面积为 解析 选c 设p x1 y1 则 pf 解得因为p为c上一点 则得 y1 所以s pof 1 抛物线x 4y2的准线方程是 a y b y 1c x d x 解析 选c 抛物线的标准方程是y2 x 这里p 所以准线方程为x 2 抛物线y2 8x的焦点到准线的距离是 a 1b 2c 4d 8 解析 选c 抛物线y2 8x的焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 所以焦点到准线的距离为4 3 点p为抛物线y2 2px上任一点 f为焦点 则以p为圆心 以 pf 为半径的圆与准线l a 相交b 相切c 相离d 位置由f确定 解析 选b 根据抛物线的定义 pf 等于点p到准线l的距离 即圆心p到直线l的距离等于半径 pf 所以半径为 pf 的圆p与准线l相切 4 设抛物线y2 4x上一点p到y轴的距离是2 则点p到该抛物线焦点的距离是 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 由y2 4x可知