湖北省武汉市华中师大一附中高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1复数z=2（sin2016icos2016）在复平面内对应的点所在的象限是（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）a10与4b10与2c4与10d2与103函数f（x）=lnxx2的大致图象是（）abcd4袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量，则的可能值为（）a1，2，6b1，2，7c1，2，11d1，2，35设点p在曲线上，点q在曲线y=ln（2x）上，则|pq|最小值为（）a1ln2bc1+ln2d6若复数z=+，则|z|的值为（）abcd27f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf（x）+f（x）0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）aaf（b）bf（a）bbf（a）af（b）caf（a）f（b）dbf（b）f（a）8若z=+i，且（xz）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（）a+ib3+3ic6+3id33i9已知随机变量的概率分布如下，则p（=10）=（）12345678910pmabcd10设f （x）为可导函数，且满足=1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是（）a2b1cd211甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响设甲投篮的次数为，若甲先投，则p（=k）等于（）a0.6k10.4b0.24k10.76c0.4k10.6d0.6k10.2412已知f（x）=，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（2）0；f（0）f（2）0其中正确结论的序号为（）abcd二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13|x+2|dx=14已知复数z1=2+i，z2=a+3i（ar），z1z2是实数，则|z1+z2|=15已知f（x）=xex，g（x）=（x+1）2+a，若x1，x2r，使得f（x2）g（x1）成立，则实数a的取值范围是16若函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值为三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分）17复数z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，若+z2是实数，求实数a的值18甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到a，b，c，d四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加a岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加a岗位服务的人数，求的分布列19已知函数f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=9时，函数f（x）+g（x）在区间k，2上的最大值为28，求k的取值范围20某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nn）的函数解析式（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由21已知m为abc的中线ad的中点，过点m的直线分别交两边ab、ac于点p、q，设=x，记y=f（x）（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x0，1若对任意x1，1，总存在x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围22函数f（x）=alnx+1（a0）（） 当x0时，求证：；（） 在区间（1，e）上f（x）x恒成立，求实数a的范围（） 当时，求证：）（nn*）2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1复数z=2（sin2016icos2016）在复平面内对应的点所在的象限是（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【分析】先对复数进行整理，再由角的正弦和余弦的符号，判断出此复数对应的点所在的象限【解答】解：复数z=2（sin2016icos2016）=2sin2016+2icos2016，2016=3605+180+36，sin2016=sin360，cos2016=cos360，复数z在复平面内对应的点为（2sin2016，2cos2016）在第四象限故选：d【点评】本题考查了复数与复平面内对应点之间的关系，需要利用三角函数的符号进行判断实部和虚部的符号，是基础题2设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）a10与4b10与2c4与10d2与10【分析】根据正态分布函数的式子得出：，即可选择答案【解答】解：f（x）=，且该正态曲线是函数f（x）的图象，根据正态分布函数的式子f（x）=，得出：=10，=2，故选：b【点评】本题考察了正态分布曲线的函数解析式，运用公式求解即可，属于基础题3函数f（x）=lnxx2的大致图象是（）abcd【分析】由f（x）=lnxx2可知，f（x）=x=，从而可求得函数f（x）=lnxx2的单调区间与极值，问题即可解决【解答】解：f（x）=lnxx2，其定义域为（0，+）f（x）=x=，由f（x）0得，0x1；f（x）0得，x1；f（x）=lnxx2，在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；x=1时，f（x）取到极大值又f（1）=0，函数f（x）=lnxx2的图象在x轴下方，可排除a，c，d故选b【点评】本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题4袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量，则的可能值为（）a1，2，6b1，2，7c1，2，11d1，2，3【分析】利用无放回抽样的性质求解【解答】解：袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量，的可能值为1，2，7故选：b【点评】本题考查离散型随机变量的可能取值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意无放回抽样的性质的合理运用5设点p在曲线上，点q在曲线y=ln（2x）上，则|pq|最小值为（）a1ln2bc1+ln2d【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|pq|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求【解答】解：函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x0），则，由0可得xln2，由0可得0xln2，函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在ln2，+）单调递增，当x=ln2时，函数g（x）min=1ln2，由图象关于y=x对称得：|pq|最小值为故选b【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好6若复数z=+，则|z|的值为（）abcd2【分析】先利用复数的除法法则化简，再求模即可【解答】解：z=+=，|z|=，故选b【点评】本题考查复数除法运算，考查复数的模的几何意义，属于基础题7f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf（x）+f（x）0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）aaf（b）bf（a）bbf（a）af（b）caf（a）f（b）dbf（b）f（a）【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决【解答】解：xf（x）+f（x）0xf（x）0函数f（x）=xf（x）在（0，+）上为常函数或递减，又0ab且f（x）非负，于是有：af（a）bf（b）0两式相乘得： af（b）bf（a），故选a【点评】本题的难点在对不等式的设计，需要经验更需要灵感8若z=+i，且（xz）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（）a+ib3+3ic6+3id33i【分析】根据二项式定理写出展开式的通项，要求的量是二项式的第三项的系数，根据x的次数求出r，代入式子求出结果，题目包含复数的运算，是一个综合题【解答】解：tr+1=cx4r（z）r，由4r=2得r=2，a2=6（i）2=3+3i故选b【点评】本题考查二项式定理和复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目9已知随机变量的概率分布如下，则p（=10）=（）12345678910pmabcd【分析】由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案【解答】解：由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，s=1，s+m=1，m=，故选c【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，在一个试验中所有的变量的概率之和是1，本题又考查等比数列的和，是一个综合题10设f （x）为可导函数，且满足=1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是（）a2b1cd2【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限式进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即得到函数在这一个点的切线的斜率【解答】解：，f（1）=2即曲线y=f （x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是2，故选d【点评】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式11甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响设甲投篮的次数为，若甲先投，则p（=k）等于（）a0.6k10.4b0.24k10.76c0.4k10.6d0.6k10.24【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为，甲先投，则=k表示甲第k次甲投中篮球，而乙前k1次没有投中，甲k1也没有投中或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球，根据公式写出结果【解答】解：甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为，甲先投，则=k表示甲第k次投中篮球，而甲与乙前k1次没有投中，或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k10.6k10.4=0.24k10.4；k次甲不中的情况应是0.4k10.6k0.6，故总的情况是0.24k10.4+0.24k10.60.6=0.24k10.76故选b【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式12已知f（x）=，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（2）0；f（0）f（2）0其中正确结论的序号为（）abcd【分析】先求出f（x），再进行因式分解，求出f（x）0和f（x）0对应x的范围，即求出函数的单调区间和极值，再由条件判断出a、b、c的具体范围和f（1）0且f（2）0，进行求解得到abc的符号，进行判断出f（0）的符号【解答】解：由题意得，f（x）=3x29x+6=3（x1）（x2），当x1或x2时，f（x）0，当1x2时，f（x）0，函数f（x）的增区间是（，1），（2，+），减区间是（1，2），函数的极大值是f（1）=，函数的极小值是f（2）=2abc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，a1b2c，f（1）0且f（2）0，解得2，f（0）=abc0，则f（0）f（1）0、f（0）f（2）0，故选d【点评】本题考查了函数的零点与方程的根关系，利用导数求出函数的单调区间和极值等，考查了分析、解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13|x+2|dx=【分析】题目给出的是含有绝对值的定积分，计算时根据被积函数的零点分段，所以需要把积分区间分成两段，然后把被积函数去绝对值后再求积分【解答】解： =故答案为【点评】本题考查了定积分，解答此题时首先要熟练掌握微积分基本定理，同时注意含有绝对值的定积分要分段求解14已知复数z1=2+i，z2=a+3i（ar），z1z2是实数，则|z1+z2|=【分析】利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出【解答】解：z1z2=（2+i）（a+3i）=2a3+（6+a）i是实数，6+a=0，解得a=6z2=6+3iz1+z2=（2+i）+（6+3i）=4+4i|z1+z2|=|4+4i|=故答案为：【点评】本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题15已知f（x）=xex，g（x）=（x+1）2+a，若x1，x2r，使得f（x2）g（x1）成立，则实数a的取值范围是a【分析】x1，x2r，使得f（x2）g（x1）成立，等价于f（x）ming（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案【解答】解：x1，x2r，使得f（x2）g（x1）成立，等价于f（x）ming（x）max，f（x）=ex+xex=（1+x）ex，当x1时，f（x）0，f（x）递减，当x1时，f（x）0，f（x）递增，所以当x=1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（1）=；当x=1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（1）=a，所以a，即实数a的取值范围是a故答案为：a【点评】本题考查二次函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决16若函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值为16【分析】由题意得f（1）=f（3）=0且f（1）=f（5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=x48x314x2+8x+15利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（，2）、（2，2+）上是增函数，在区间（2，2）、（2+，+）上是减函数，结合f（2）=f（2+）=16，即可得到f（x）的最大值【解答】解：函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，f（1）=f（3）=0且f（1）=f（5）=0，即1（3）2（3）2+a（3）+b=0且1（5）2（5）2+a（5）+b=0，解之得，因此，f（x）=（1x2）（x2+8x+15）=x48x314x2+8x+15，求导数，得f（x）=4x324x228x+8，令f（x）=0，得x1=2，x2=2，x3=2+，当x（，2）时，f（x）0；当x（2，2）时，f（x）0；当x（2，2+）时，f（x）0； 当x（2+，+）时，f（x）0f（x）在区间（，2）、（2，2+）上是增函数，在区间（2，2）、（2+，+）上是减函数又f（2）=f（2+）=16，f（x）的最大值为16故答案为：16【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=2对称，求函数的最大值着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分）17复数z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，若+z2是实数，求实数a的值【分析】可求得+z2=+（a2+2a15）i，利用其虚部为0即可求得实数a的值【解答】解：z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，+z2是=+（a210）i+ +（2a5）i=（+）+（a210+2a5）i=+（a2+2a15）i，+z2是实数，a2+2a15=0，解得a=5或a=3又分母a+50，a5，故a=3【点评】本题考查复数的基本概念，考查转化思想与方程思想，属于中档题18甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到a，b，c，d四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加a岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加a岗位服务的人数，求的分布列【分析】（）甲、乙两人同时参加a岗位服务，则另外三个人在b、c、d三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列（）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列（）五名志愿者中参加a岗位服务的人数可能的取值是1、2，=2”是指有两人同时参加a岗位服务，同第一问类似做出结果写出分布列【解答】解：（）记甲、乙两人同时参加a岗位服务为事件ea，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列c52a44满足条件的事件数是a33，那么，即甲、乙两人同时参加a岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件e，满足条件的事件数是a44，那么，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“=2”是指有两人同时参加a岗位服务，则，的分布列是 1 2 p【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把c52混淆为a52，19已知函数f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=9时，函数f（x）+g（x）在区间k，2上的最大值为28，求k的取值范围【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x29x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k3时，函数h（x）在区间k，2上的最大值为h（3）=28；3k2时，函数h（x）在区间k，2上的最大值小于28，由此可得结论【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a0），则f（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，a+1=1+b，即a=b，代入式，可得：a=3，b=3（2）当a=3，b=9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x29x+1则h（x）=3x2+6x9，令h（x）=0，解得：x1=3，x2=1；k3时，函数h（x）在（，3）上单调增，在（3，1上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间k，2上的最大值为h（3）=283k2时，函数h（x）在区间k，2上的最大值小于28所以k的取值范围是（，3【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数20某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nn）的函数解析式（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）x可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到x的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论【解答】解：（1）当n16时，y=16（105）=80；当n15时，y=5n5（16n）=10n80，得：（2）（i）x可取60，70，80，当日需求量n=14时，x=60，n=15时，x=70，其他情况x=80，p（x=60）=0.1，p（x=70）=0.2，p（x=80）=10.10.2=0.7，x的分布列为x607080p0.10.20.7ex=600.1+700.2+800.7=76dx=1620.1+620.2+420.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14535）0.1+（15525）0.2+（16515）0.16+1750.54=76.476.476，应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力2