湖北省武汉市部分重点中学高一数学下学期期末试卷（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置1不等式x（12x）0的解集（）ax|0bx|xcx|x或x0dx|x0或0x2已知x3，则的最小值为（）a2b4c5d73设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）a若mn，n，则mb若m，则mc若m，n，n，则md若mn，n，则m4长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）a20b25c50d2005abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd6在abc中，若b=2，a=120，三角形的面积s=，则三角形外接圆的半径为（）ab2c2d47数列an满足an=，若a1=，则a2016=（）abcd8abc是边长为1的正三角形，那么abc的斜二测平面直观图abc的面积为（）abcd9一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）abcd10直三棱柱abca1b1c1中，若bac=90，ab=ac=aa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于（）a30b45c60d9011下列四个正方体图形中，a、b为正方体的两个顶点，m、n、p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是（）abcd12如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点a在平面内，点e是底面abcd的中心若c1e平面，则c1ab在平面内的射影的面积为（）abcd二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上）13在等差数列an中，a4=2，且al+a2+a10=65，则公差d的值是14某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为15如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，p是bc中点，现有一只蚂蚁位于外壁a处，内壁p处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为16如图，正方体abcda1b1c1d1，则下列四个命题：p在直线bc1上运动时，三棱锥ad1pc的体积不变；p在直线bc1上运动时，直线ap与平面acd1所成角的大小不变；p在直线bc1上运动时，二面角pad1c的大小不变；m是平面a1b1c1d1上到点d和c1距离相等的点，则m点的轨迹是过d1点的直线，其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）三、解答题本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=x2+ax+6（1）当a=5时，解不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）0的解集为r，求实数a的取值范围18abc中，内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且满足tanbtanatanb=（）求角c的大小；（）若c=2，求a2+b2的取值范围19已知数列an为等差数列，数列bn满足bn=an+n，若b2，b5，b11成等比数列，且b3=a6（1）求an，bn；（2）求数列的前n项和sn20如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？21在四棱锥pabcd中，abc=acd=90，bac=cad=60，pa平面abcd，e为pd的中点，pa=2ab=2（1）求证：pcae；（2）求证：ce平面pab；（3）求三棱锥pace的体积v22如图，多面体abcdef中，de平面abcd，底面abcd是菱形，ab=2，bad=60，四边形bdef是正方形（1）求二面角aefc的余弦值；（2）求直线af与平面ecf所成角的正弦值；（3）在线段ec上是否存在点p，使得ap平面cef，若存在，求出的值；若不存在，说明理由2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置1不等式x（12x）0的解集（）ax|0bx|xcx|x或x0dx|x0或0x【考点】一元二次不等式的解法【分析】由不等式的性质将原不等式变为：x（2x1）0，再由二次不等式的解法求解【解答】解：不等式x（12x）0变为：x（2x1）0，解得，则不等式的解集为x|故选a2已知x3，则的最小值为（）a2b4c5d7【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】利用基本不等式直接求解表达式的最小值即可【解答】解：x3，则=7当且仅当x=5时等号成立故选：d3设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）a若mn，n，则mb若m，则mc若m，n，n，则md若mn，n，则m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论【解答】解：a若mn，n，则m或m或m，故a错误b若m，则m或m或m，故b错误c若m，n，n，则m，正确d若mn，n，则m或m或m，故d错误故选：c4长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）a20b25c50d200【考点】球的体积和表面积【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：设球的半径为r，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2r）2=32+42+52=50，r=s球=4r2=50故选c5abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd【考点】余弦定理；等比数列【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：abc中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选b6在abc中，若b=2，a=120，三角形的面积s=，则三角形外接圆的半径为（）ab2c2d4【考点】正弦定理【分析】由条件求得 c=2=b，可得b的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径r的值【解答】解：abc中，b=2，a=120，三角形的面积s=bcsina=c，c=2=b，故b=30再由正弦定理可得=2r=4，三角形外接圆的半径r=2，故选：b7数列an满足an=，若a1=，则a2016=（）abcd【考点】数列递推式【分析】由题意依次求出a2、a3、a4、a5的值，归纳出数列an的周期，利用周期性求出a2016【解答】解：由题意得，an=，且a1=，则a2=2=，依次求得a3=，a4=，a5=，所以数列an的周期是4，则a2016=a4504=，故选：d8abc是边长为1的正三角形，那么abc的斜二测平面直观图abc的面积为（）abcd【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图【分析】由原图和直观图面积之间的关系=，求出原三角形的面积，再求直观图abc的面积即可【解答】解：正三角形abc的边长为1，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系=，故直观图abc的面积为=故选d9一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+=，故选a10直三棱柱abca1b1c1中，若bac=90，ab=ac=aa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于（）a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【分析】延长ca到d，根据异面直线所成角的定义可知da1b就是异面直线ba1与ac1所成的角，而三角形a1db为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长ca到d，使得ad=ac，则ada1c1为平行四边形，da1b就是异面直线ba1与ac1所成的角，又a1d=a1b=db=ab，则三角形a1db为等边三角形，da1b=60故选c11下列四个正方体图形中，a、b为正方体的两个顶点，m、n、p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是（）abcd【考点】直线与平面平行的判定【分析】对于，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于，考虑线面平行的判定及定义；对于，可以用线面平行的定义及判定定理判断；对于，用线面平行的判定定理即可【解答】解：对图，构造ab所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面mnp，由线面平行的定义可得ab平面mnp对图，通过证明abpn得到ab平面mnp；对于、无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选b12如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点a在平面内，点e是底面abcd的中心若c1e平面，则c1ab在平面内的射影的面积为（）abcd【考点】平行投影及平行投影作图法【分析】根据射影的定义判断c1ab在平面内的射影与eab在平面内的射影相同，求出平面abcd与平面相交所成的二面角的余弦值，根据平面图形的射影面积与图形的面积之比等于二面角的余弦值，求得射影的面积【解答】解：若c1e平面，c1ab在平面内的射影与eab在平面内的射影相同，平面abcd与平面相交所成的二面角的余弦值为=，eab的面积s=，设c1ab在平面内的射影的面积为s，又=，s=故选：b二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上）13在等差数列an中，a4=2，且al+a2+a10=65，则公差d的值是【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：在等差数列an中，a4=2，且al+a2+a10=65，a1+3d=2，10a1+d=65，解得d=故答案为：14某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积s=（1+2）1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积v=，故答案为：15如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，p是bc中点，现有一只蚂蚁位于外壁a处，内壁p处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出aq+pq的最小值就是ae的长，求解即可【解答】解：侧面展开后得矩形abcd，其中ab=，ad=2问题转化为在cd上找一点q，使aq+pq最短作p关于cd的对称点e，连接ae，令ae与cd交于点q，则得aq+pq的最小值就是ae为故答案为：16如图，正方体abcda1b1c1d1，则下列四个命题：p在直线bc1上运动时，三棱锥ad1pc的体积不变；p在直线bc1上运动时，直线ap与平面acd1所成角的大小不变；p在直线bc1上运动时，二面角pad1c的大小不变；m是平面a1b1c1d1上到点d和c1距离相等的点，则m点的轨迹是过d1点的直线，其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题【分析】易知bc1平面ad1c，所以bc1上任意一点到平面ad1c的距离相等，底不变，所以体积不变通过举例说明，如直线ab与平面acd1所成角和直线ac1与平面acd1所成角不相等p在直线bc1上运动时，可知ap的轨迹是平面pad1，即二面角pad1c的大小不受影响空间中到点d和c1距离相等的点的轨迹是线段dc1的中垂面，又点m在面a1b1c1d1内，则点m的轨迹是面a1b1c1d1与 线段dc1的中垂面的交线，即ad1，所以必过d1点【解答】解：bc1平面acd1，bc1上任意一点到平面ad1c的距离相等，所以体积不变，正确p在直线bc1上运动时，直线ab与平面acd1所成角和直线ac1与平面acd1所成角不相等，所以不正确当p在直线bc1上运动时，ap的轨迹是平面pad1，即二面角pad1c的大小不受影响，所以正确空间中到点d和c1距离相等的点的轨迹是线段dc1的中垂面，又点m在面a1b1c1d1内，则点m的轨迹是面a1b1c1d1与 线段dc1的中垂面的交线，即ad1，所以正确故答案为：三、解答题本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=x2+ax+6（1）当a=5时，解不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）0的解集为r，求实数a的取值范围【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+60，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+60的解集为r，只需0，求出实数a的取值范围即可【解答】解：（1）当a=5时，不等式f（x）0即x2+5x+60，（x+2）（x+3）0，3x2不等式f（x）0的解集为x|3x2（2）不等式f（x）0的解集为r，x的一元二次不等式x2+ax+60的解集为r，=a24602a2实数a的取值范围是（2，2）18abc中，内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且满足tanbtanatanb=（）求角c的大小；（）若c=2，求a2+b2的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（i）由tanbtanatanb=，代入tan（a+b）=，利用诱导公式、三角形内角和定理即可得出（ii）由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosc，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（i）tanbtanatanb=，tan（a+b）=，tan（c）=，化为tanc=，c（0，），（ii）由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosc，4=a2+b2ab，a2+b28，当且仅当a=b是取等号又a2+b24，（a2+b2）（4，819已知数列an为等差数列，数列bn满足bn=an+n，若b2，b5，b11成等比数列，且b3=a6（1）求an，bn；（2）求数列的前n项和sn【考点】数列的概念及简单表示法；等比数列的通项公式【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）设数列an的公差为d，则an=a1+（n1）d，bn=a1+（n1）d+n，b2，b5，b11成等比数列，且b3=a6，解得于是an=n+2，bn=2n+2（2）=sn=+=20如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？【考点】球的体积和表面积【分析】（1）根据圆柱筒的直径，可得半球的半径r=3cm，从而得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；（2）由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积s，进而得到2500个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量【解答】解：（1）该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm，半球的直径也是6cm，可得半径r=3cm，两个半球的体积之和为cm3而cm3该“浮球”的体积是：v=v球+v圆柱=36+18=54169.6cm3（2）根据题意，上下两个半球的表面积是cm2而“浮球”的圆柱筒侧面积为：s圆柱侧=2rh=232=12cm21个“浮球”的表面积为m2因此，2500个“浮球”的表面积的和为m2每平方米需要涂胶100克，总共需要胶的质量为：10012=1200（克）答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200克21在四棱锥pabcd中，abc=acd=90，bac=cad=60，pa平面abcd，e为pd的中点，pa=2ab=2（1）求证：pcae；（2）求证：ce平面pab；（3）求三棱锥pace的体积v【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）取pc中点f，利用等腰三角形的性质可得pcaf，先证明cd平面pac，可得cdpc，从而efpc，故有pc平面aef，进而证得pcae（2）取ad中点m，利用三角形的中位线证明em平面pab，利用同位角相等证明mcab，得到平面emc平面pab，证得ec平面pab（3）由（1）知ac=2，ef=cd，且ef平面pac，求得ef 的值，代入v=进行运算【解答】解：（1）在rtabc中，ab=1，bac=60，bc=，ac=2取pc中点f，连af，ef，pa=ac=2，pcafpa平面abcd，cd平面abcd，pacd，又acd=90，即cdac，cd平面pac，cdpc，efpc，pc平面aef，pcae（2）证明：取ad中点m，连em，cm则empaem平面pab，pa平面pab，em平面pab在rtacd中，cad=60，ac=am=2，acm