浙江省台州市高二数学下学期期末试卷（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i为虚数单位，若2+ai=b3i，a，br，则a+bi=（）a2+3ib3+2ic32id32i2 =（）a10b15c60d203设空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），则=（）a（2，4，3）b（3，4，4）c9d54函数y=的导数为（）abcd5用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90”时，首先要作出的假设是（）a四个内角都大于90b四个内角中有一个大于90c四个内角都小于90d四个内角中有一个小于906若=21，则n的值为（）a8b7c6d57有6位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照，现老师排在最中间，学生从中间到两边都按身高从高到低排列，则所有的排列方法种数为（）a26b c d8在空间直角坐标系中， =（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则与，所成角都相等的单位向量为（）a（1，1，1）b（，）c（，）d（，）或（，）9在（1+x+x2）（1x）10展开式中，x4的系数为（）a+b-c+d-10在空间直角坐标系中，a（1，1，2），b（1，2，3），c（1，3，0），d（x，y，z）（x，y，zr），若四点a，b，c，d共面，则（）a2x+y+z=1bx+y+z=0cxy+z=4dx+yz=011将1，2，3，4，5，6这六个数字组成一个没有重复数字的六位数，若1和2相邻，且3和4不相邻，则这样六位数的个数为（）a288b144c72d3612设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）2k（k2，kn*）时，总有f（k1）2k1成立，则下列命题为真命题的是（）a若f（1）2，则f（n）2nb若f（4）16，则f（n）2nc若f（4）16，则当n4时，f（n）2nd若f（1）2，则f（n）2n13已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=exb相切（其中e为自然对数的底数），则的取值范围为（）a（0，）b（0，1）c（0，+）d1，+）14已知实数a，b，c（0，1），设+， +， +这三个数的最大值为m，则m的最小值为（）a5b3+2c32d不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分15设i为虚数单位，若=+i，则|=16现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为（用a，b表示）17设a0，若p=+，q=+，则pq（请用“”，“=“符号填）18设函数f（x）=x3+ax2+b（a，br），当x=时，f（x）取极小值0，则实数b=19在60的二面角l的棱l上有两点a，b，直线ac，bd分别在这个二面角的两个半平面内，aclbdl，若ab=4，ac=6，bd=8，则cd的长为20计算cn1+2cn2+3cn3+ncnn，可以采用以下方法：构造等式：cn0+cn1x+cn2x2+cnnxn=（1+x）n，两边对x求导，得cn1+2cn2x+3cn3x2+ncnnxn1=n（1+x）n1，在上式中令x=1，得cn1+2cn2+3cn3+ncnn=n2n1类比上述计算方法，计算cn1+22cn2+32cn3+n2cnn=三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21有5名同学参加3门兴趣特长类选修课程的学习（1）若要求每位同学只能选一门课程，求不同选课方法种数；（2）若要求每位同学只能选一门课程，其中甲乙两人选同一门课程，求不同选课方法种数22已知ar，且在（）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大（1）若a=1，求展开式中的常数项；（2）若展开式中x3的系数为63，求a的值23已知数列an的前n项和为sn，a2=14，且an=（+）sn2n1（nn*）（1）求，；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明24如图所示，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，底面abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=bc=2cd=2，ad=，pe=2be（1）求证：平面pad平面pcd；（2）若二面角pace的大小为45，求直线pa与平面eac所成角的正弦值25设a，br，函数f（x）=ax+g（x）=x2+b，（1）若a=3，b=0，求函数h（x）=f（x）g（x）在区间（0，1上的最值；（2）若函数m（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1上单调递减，求实数a的最大值；（3）若对任意实数a（，1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数b的取值范围2015-2016学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i为虚数单位，若2+ai=b3i，a，br，则a+bi=（）a2+3ib3+2ic32id32i【考点】复数相等的充要条件【分析】由已知条件再根据复数相等的充要条件即可得到a，b的值，则a+bi的答案可求【解答】解：由2+ai=b3i，a，br，再根据复数相等的充要条件得：a=3，b=2则a+bi=3+2i故选：b2 =（）a10b15c60d20【考点】排列及排列数公式【分析】根据排列公式计算即可【解答】解： =543=60，故选：c3设空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），则=（）a（2，4，3）b（3，4，4）c9d5【考点】空间向量的数量积运算【分析】由已知利用向量数量积公式直接求解【解答】解：空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），=12+22+13=9故选：c4函数y=的导数为（）abcd【考点】导数的运算【分析】直接利用导数的运算法则求解即可【解答】解：函数y=的导数为：y=故选：d5用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90”时，首先要作出的假设是（）a四个内角都大于90b四个内角中有一个大于90c四个内角都小于90d四个内角中有一个小于90【考点】数学归纳法【分析】运用反证法证明命题时，首先必须对结论否定，“至少有一个”的否定是“没有一个”，即可得到假设【解答】解：用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90”时，首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90”，即为“凸四边形的四个内角都小于90”故选：c6若c+c=21，则n的值为（）a8b7c6d5【考点】组合及组合数公式【分析】利用组合数公式求解求解【解答】解：c+c=21，+=21，由nn*，解得n=6故选：c7有6位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照，现老师排在最中间，学生从中间到两边都按身高从高到低排列，则所有的排列方法种数为（）a26bacadc【考点】计数原理的应用【分析】先排老师，再选3个排在左边，右边的就确定，问题得以解决【解答】解：老师排在最中间，只需排好左右两边，先排左边，右边的顺序就确定了，有c63种排法故选：d8在空间直角坐标系中， =（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则与，所成角都相等的单位向量为（）a（1，1，1）b（，）c（，）d（，）或（，）【考点】空间向量的数量积运算【分析】设满足题意的向量为（x，y，z），由题意得到关于x，y，z的方程解之【解答】解：设所求的单位向量为=（x，y，z），则由与，所成角都相等得到，所以x=y=z，且x2+y2+z2=1，所以x=y=z=或；故选d9在（1+x+x2）（1x）10展开式中，x4的系数为（）ac+cbcccc+c+cdccc【考点】二项式系数的性质【分析】先将多项式化简，转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求出各项系数即可【解答】解：（1+x+x2）（1x）10=（1x3）（1x）9（1+x+x2）（1x）10展开式中含x4的系数为（1x）9的含x4的系数加上其含x的系数（1x）9展开式的通项为tr+1=c9r（x）r令r=4，1分别得展开式含x4，x项的系数为c94，c91，故（1+x+x2）（1x）10展开式中含x4的系数为c94+c91，故选：a10在空间直角坐标系中，a（1，1，2），b（1，2，3），c（1，3，0），d（x，y，z）（x，y，zr），若四点a，b，c，d共面，则（）a2x+y+z=1bx+y+z=0cxy+z=4dx+yz=0【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间中的点的坐标【分析】利用空间向量共面的基本定理，列出关系式，化简求解即可【解答】解：a（1，1，2），b（1，2，3），c（1，3，0），d（x，y，z）（x，y，zr），=（0，1，1），=（2，2，2），=（x1，y1，z+2），四点a，b，c，d共面，存在实数，使得， =+，（x1，y1，z+2）=（0，1，1）+（2，2，2），解得2x+y+z=1，故选：a11将1，2，3，4，5，6这六个数字组成一个没有重复数字的六位数，若1和2相邻，且3和4不相邻，则这样六位数的个数为（）a288b144c72d36【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】由题意知1与2相邻，相邻用捆绑法，3和4不相邻，利用插空法，可得结论【解答】解：先把1和2捆绑在一起，看做一个复合元素再和5，6全排，形成了4个空，将3，4插入其中，故有a33a22a42=144个故选：b12设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）2k（k2，kn*）时，总有f（k1）2k1成立，则下列命题为真命题的是（）a若f（1）2，则f（n）2nb若f（4）16，则f（n）2nc若f（4）16，则当n4时，f（n）2nd若f（1）2，则f（n）2n【考点】反证法【分析】根据条件的递推关系，利用反证法进行判断即可【解答】解：若f（n）2n假设f（n）2n，不成立，则f（n）2n，根据递推条件得f（n1）2n1成立，f（2）22，f（1）2成立，与f（1）2，矛盾，故假设不成立，故若f（1）2，则f（n）2n成立，即d是真命题，故选：d13已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=exb相切（其中e为自然对数的底数），则的取值范围为（）a（0，）b（0，1）c（0，+）d1，+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为（m，n），求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得m，n的方程，化简可得b=1a，代入所求式子，令t=3a，t（2，3），可得=t+6，运用对勾函数的单调性，可得所求范围【解答】解：设切点为（m，n），由y=exb的导数为y=exb，直线y=x+a与曲线y=exb相切，可得emb=1，n=m+a=emb，即有m=b=1a，即a+b=1，（a，b（0，1），则=，令t=3a，t（2，3），即a=3t，可得=t+6，由t+的导数为1，由2t3，可得10，则t+在（2，3）递减，可得t+（6，），则的取值范围为（0，）故选：a14已知实数a，b，c（0，1），设+， +， +这三个数的最大值为m，则m的最小值为（）a5b3+2c32d不存在【考点】基本不等式【分析】由题意可得+m， +m， +m，由不等式的可加性和乘1法和基本不等式，可得最小值【解答】解：由题意可得+m， +m， +m，即有3m+=（+）+（+）+（+），由0a1，可得+=a+（1a）（+）=3+3+2=3+2当且仅当a=（1a），即a=2时，取得最小值3+2；同理可得+在b=2时，取得最小值3+2；+在c=2时，取得最小值3+2则3m3（3+2）即m3+2可得m的最小值为3+2故选：b二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分15设i为虚数单位，若=+i，则|=1【考点】复数求模【分析】直接由复数求模公式计算得答案【解答】解：由=+i，则|=故答案为：116现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为aa，ab，bb（用a，b表示）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】由题意可知，所有的排列为aa，ab，bb，问题得以解决【解答】解：现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为aa，ab，bb，故答案为：aa，ab，bb17设a0，若p=+，q=+，则pq（请用“”，“=“符号填）【考点】不等式比较大小【分析】平方作差即可得出【解答】解：q2p2=2a+82=2（0，q2p2，a0，p，q0qp故答案为：18设函数f（x）=x3+ax2+b（a，br），当x=时，f（x）取极小值0，则实数b=【考点】利用导数研究函数的极值【分析】根据函数f（x）=x3+ax2+b（a，br），当x=时，f（x）取极小值0，得到f（）=+a=0，f（）=+a+b，即可求出b【解答】解：f（x）=x3+ax2+b，f（x）=3x2+2ax，函数f（x）=x3+ax2+b（a，br），当x=时，f（x）取极小值0，f（）=+a=0，f（）=+a+b，a=2，b=故答案为：19在60的二面角l的棱l上有两点a，b，直线ac，bd分别在这个二面角的两个半平面内，aclbdl，若ab=4，ac=6，bd=8，则cd的长为2【考点】与二面角有关的立体几何综合题【分析】利用已知条件确定120，利用=，通过向量的数量积的运算求出cd的距离【解答】解：由已知，可得acab，bdab，二面角的大小为60，则，=60=120，=+2+2+2=36+16+64+268cos120=68=2故答案为：220计算cn1+2cn2+3cn3+ncnn，可以采用以下方法：构造等式：cn0+cn1x+cn2x2+cnnxn=（1+x）n，两边对x求导，得cn1+2cn2x+3cn3x2+ncnnxn1=n（1+x）n1，在上式中令x=1，得cn1+2cn2+3cn3+ncnn=n2n1类比上述计算方法，计算cn1+22cn2+32cn3+n2cnn=n（n+1）2n2【考点】二项式定理的应用【分析】构造等式：cn1x+2cn2x2+3cn3x3+ncnnxn=n（1+x）n1，两边对x求导，两边同乘以x，再两边求导后赋值即可【解答】解：构造等式：cn1x+2cn2x2+3cn3x3+ncnnxn=n（1+x）n1，两边对x求导，得cn1+2cn2x+3cn3x2+ncnnxn1=n（1+x）n1，两边同乘以x，得xcn1+2cn2x2+3cn3x3+ncnnxn=nx（1+x）n1，再两边求导，得cn1+22cn2x2+32cn3x3+n2cnnxn=n（1+x）n1+（n1）x（1+x）n2令x=1，得cn1+22cn2x2+32cn3x3+n2cnnxn=n（n+1）2n2，故答案为：n（n+1）2n2三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21有5名同学参加3门兴趣特长类选修课程的学习（1）若要求每位同学只能选一门课程，求不同选课方法种数；（2）若要求每位同学只能选一门课程，其中甲乙两人选同一门课程，求不同选课方法种数【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】（1）每位同学有3种选课方法，由分步计数原理可得，（2）3门课程让甲乙先选一门，再剩下的3人每位同学有3种选课方法，由分步计数原理可得【解答】解：（1）由题意得每位同学有3种选课方法，由分步计数原理，得一共有35=243种，（2）3门课程让甲乙先选一门，再剩下的3人每位同学有3种选课方法，得一共有c3133=81种22已知ar，且在（）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大（1）若a=1，求展开式中的常数项；（2）若展开式中x3的系数为63，求a的值【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质【分析】（1）由题意可得=最大，n=9，再根据a=1，通项公式 tr+1=（1）r，令x得幂指数等于0，求得r的值，可得展开式的常数项（2）展开式中的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r=4，利用通项公式可得展开式中x3的系数，再根据次系数为 63，求得a的值【解答】解：（1）在（）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大，=最大，n=9，a=1，根据展开式中的通项公式 tr+1=（1）r，令9=0，求得r=6，故展开式的常数项为=（2）展开式中的通项公式 tr+1=（a）r 中，令9=3，求得r=4，故展开式中x3的系数为（a）4=63，求得a=223已知数列an的前n项和为sn，a2=14，且an=（+）sn2n1（nn*）（1）求，；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法【分析】（1）可令n=1，2，3，代入已知等式，结合a1=s1；an=snsn1（n1），计算即可得到所求值；（2）猜想可得数列的通项公式=n2（nn*）运用数学归纳法证明验证当n=1时，等式成立；再假设n=k（kn*），=k2成立，证明当n=k+1时，结合假设和ak+1=sk+1sk，化简整理，即可得证【解答】解：（1）an=（+）sn2n1（nn*），可得n=1时，a1=s1=（+1）s11，解得s1=2，即有=1；n=2时，a2=s2s1=（+）s22=14，解得s2=16， =4；n=3时，a3=s3s2=（+）s322，解得s3=72， =9；（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为=n2（nn*）下面运用数学归纳法证明当n=1时，由（1）可得=1成立；假设n=k（kn*），=k2成立，当n=k+1时，ak+1=sk+1sk=（+）sk+12k+11，即有（）sk+1=sk2k=2kk22k=（k21）2k，则sk+1=（k+1）（k1）2k，当k=1时，上式显然成立；当k1时，sk+1=2（k+1）22k=（k+1）22k+1即=（k+1）2，则当n=k+1时，结论也成立由可得对一切nn*， =n2成立24如图所示，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，底面abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=bc=2cd=2，ad=，pe=2be（1）求证：平面pad平面pcd；（2）若二面角pace的大小为45，求直线pa与平面eac所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）推导出pcad，从而ad平面pcd，由此能证明平面pad平面pcd（）取ab的中点f，以c为坐标原点，cf为x轴，cd为y轴，cp为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线pa与平面eac所成角的正弦值【解答】证明：（1）pc平面abc，ad平面abcd，pcad，又cdad，ad平面pcd，又ad平面pad，平面pad平面pcd解：（）取ab的中点f，连结cf，则cfab，如图，以c为坐标原点，cf为x轴，cd为y轴，cp为z轴，建立空间直角坐标系，则p（0，0，a），（a0），e（，），=（），=（0，0，a），=（，），设=（x，y，z）是平面pac的一个法向量，则，取x=1，得=（1，0），设平面eac的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，），二面角pace的大小为45，cos45=|cos|=，解得a=2，此时=（1，2），=（），设直线pa与平面eac所成角为，则sin=|cos|=直线pa与平面eac所成角的正弦值为25设a，br，函数f（x）=ax+g（x）=x2+b，（1）若