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第一章导数及其应用 1 1 3导数的几何意义 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y f x 在x x0处的导数 记作 回顾 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 下面来看导数的几何意义 如图 曲线c是函数y f x 的图象 p x0 y0 是曲线c上的任意一点 q x0 x y0 y 为p邻近一点 pq为c的割线 pm x轴 qm y轴 为pq的倾斜角 斜率 p q 割线 切线 t 请看当点q沿着曲线逐渐向点p接近时 割线pq绕着点p逐渐转动的情况 我们发现 当点q沿着曲线无限接近点p即 x 0时 割线pq有一个确定位置pt 则我们把直线pt称为曲线在点p处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线pq的斜率 称为曲线在点p处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在x x0处的导数 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 即 故曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程是 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 求切线方程的步骤 即点p处的切线的斜率等于4 2 在点p处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 什么是导函数 从求函数f x 在x x0处导数的过程可以看到 当x x0时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 f x0 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 即 求切线方程的步骤 小结 无限逼近的极限思想是建立
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