浙江省衢州市中考数学专题训练（二）作三角形 浙教版.doc

作三角形一、选择题（共4小题）1（衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画rtabc，使其斜边ab=c，一条直角边bc=a小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断acb是直角的依据是（）a勾股定理b直径所对的圆周角是直角c勾股定理的逆定理d90的圆周角所对的弦是直径2（河北）已知：线段ab，bc，abc=90求作：矩形abcd以下是甲、乙两同学的作业：甲：1以点c为圆心，ab长为半径画弧；2以点a为圆心，bc长为半径画弧；3两弧在bc上方交于点d，连接ad，cd，四边形abcd即为所求（如图1）乙：1连接ac，作线段ac的垂直平分线，交ac于点m；2连接bm并延长，在延长线上取一点d，使md=mb，连接ad，cd，四边形abcd即为所求（如图2）对于两人的作业，下列说法正确的是（）a两人都对b两人都不对c甲对，乙不对d甲不对，乙对3（河北）如图，已知abc（acbc），用尺规在bc上确定一点p，使pa+pc=bc，则符合要求的作图痕迹是（）abcd4（台湾）如图，矩形abcd中，ad=3ab，o为ad中点，是半圆甲、乙两人想在上取一点p，使得pbc的面积等于矩形abcd的面积其作法如下：（甲） 延长bo交于p点，则p即为所求；（乙） 以a为圆心，ab长为半径画弧，交于p点，则p即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）a两人皆正确b两人皆错误c甲正确，乙错误d甲错误，乙正确二、填空题（共1小题）5（绍兴）用直尺和圆规作abc，使bc=a，ac=b，b=35，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是三、解答题（共25小题）6（杭州）如图，四边形abcd是矩形，用直尺和圆规作出a的平分线与bc边的垂直平分线的交点q（不写作法，保留作图痕迹）连结qd，在新图形中，你发现了什么？请写出一条7（青岛）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：线段c，直线l及l外一点a求作：rtabc，使直角边为ac（acl，垂足为c），斜边ab=c8（丽水）如图，已知abc，c=rt，acbcd为bc上一点，且到a，b两点的距离相等（1）用直尺和圆规，作出点d的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结ad，若b=37，求cad的度数9（山西）如图，abc是直角三角形，acb=90（1）尺规作图：作c，使它与ab相切于点d，与ac相交于点e，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母（2）在你按（1）中要求所作的图中，若bc=3，a=30，求的长10（六盘水）如图，已知rtacb中，c=90，bac=45（1）用尺规作图：在ca的延长线上截取ad=ab，并连接bd（不写作法，保留作图痕迹）（2）求bdc的度数（3）定义：在直角三角形中，一个锐角a的邻边与对边的比叫做a的余切，记作cota，即cota=，根据定义，利用图形求cot22.5的值11（东莞）如图，已知锐角abc（1）过点a作bc边的垂线mn，交bc于点d（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若bc=5，ad=4，tanbad=，求dc的长12（孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心o；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点c到弦ab的距离为20m，ab=80m，求所在圆的半径13（兰州）如图，在图中求作p，使p满足以线段mn为弦且圆心p到aob两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）14（广州）如图，ac是o的直径，点b在o上，acb=30（1）利用尺规作abc的平分线bd，交ac于点e，交o于点d，连接cd（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求abe与cde的面积之比15（珠海）如图，在平行四边形abcd中，abbc（1）利用尺规作图，在bc边上确定点e，使点e到边ab，ad的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若bc=8，cd=5，则ce=16（黔东南州）如图，在直角三角形abc中，abc=90（1）先作acb的平分线；设它交ab边于点o，再以点o为圆心，ob为半径作o（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）证明：ac是所作o的切线；（3）若bc=，sina=，求aoc的面积17（盐城）实践操作如图，abc是直角三角形，acb=90，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作bac的平分线，交bc于点o；（2）以o为圆心，oc为半径作圆综合运用在你所作的图中，（1）ab与o的位置关系是；（直接写出答案）（2）若ac=5，bc=12，求o的半径18（锦州）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图（1）利用尺规作图在ac边上找一点d，使点d到ab、bc的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）（2）在网格中，abc的下方，直接画出ebc，使ebc与abc全等19（北海） 已知abc中，a=25，b=40（1）求作：o，使得o经过a、c两点，且圆心o落在ab边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：bc是（1）中所作o的切线20（六盘水）如图，在abc中，利用尺规作图，画出abc的外接圆或内切圆（任选一个不写作法，必须保留作图痕迹）21（白银）如图，abc中，c=90，a=30（1）用尺规作图作ab边上的中垂线de，交ac于点d，交ab于点e（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连接bd，求证：bd平分cba22（太原）如图，在abc中，ab=ac，d是ba延长线上的一点，点e是ac的中点（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；作dac的平分线am；连接be并延长交am于点f；（2）猜想与证明：试猜想af与bc有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由23（酒泉）如图，已知在abc中，a=90（1）请用圆规和直尺作出p，使圆心p在ac边上，且与ab，bc两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若b=60，ab=3，求p的面积24（兰州）如图，在abc中，先作bac的角平分线ad交bc于点d，再以ac边上的一点o为圆心，过a、d两点作o（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）25（孝感）如图，在rtabc中，acb=90（1）先作abc的平分线交ac边于点o，再以点o为圆心，oc为半径作o（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中ab与o的位置关系，并证明你的结论26（广州）如图，abc中，ab=ac=4，cosc=（1）动手操作：利用尺规作以ac为直径的o，并标出o与ab的交点d，与bc的交点e（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，求证： =；求点d到bc的距离27（贵港）如图，在abc中，ab=bc，点d在ab的延长线上（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）作cbd的平分线bm；作边bc上的中线ae，并延长ae交bm于点f（2）由（1）得：bf与边ac的位置关系是28（青岛）已知：线段a，求作：abc，使ab=ac=a，b=29（南昌）如图ab是半圆的直径，图1中，点c在半圆外；图2中，点c在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图（1）在图1中，画出abc的三条高的交点；（2）在图2中，画出abc中ab边上的高30（济宁）如图，在abc中，ab=ac，dac是abc的一个外角实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作dac的平分线am；（2）作线段ac的垂直平分线，与am交于点f，与bc边交于点e，连接ae，cf猜想并证明：判断四边形aecf的形状并加以证明浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（二）：作三角形参考答案与试题解析一、选择题（共4小题）1（衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画rtabc，使其斜边ab=c，一条直角边bc=a小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断acb是直角的依据是（）a勾股定理b直径所对的圆周角是直角c勾股定理的逆定理d90的圆周角所对的弦是直径【解答】解：由作图痕迹可以看出o为ab的中点，以o为圆心，ab为直径作圆，然后以b为圆心bc=a为半径花弧与圆o交于一点c，故acb是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断acb是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角故选：b2（河北）已知：线段ab，bc，abc=90求作：矩形abcd以下是甲、乙两同学的作业：甲：1以点c为圆心，ab长为半径画弧；2以点a为圆心，bc长为半径画弧；3两弧在bc上方交于点d，连接ad，cd，四边形abcd即为所求（如图1）乙：1连接ac，作线段ac的垂直平分线，交ac于点m；2连接bm并延长，在延长线上取一点d，使md=mb，连接ad，cd，四边形abcd即为所求（如图2）对于两人的作业，下列说法正确的是（）a两人都对b两人都不对c甲对，乙不对d甲不对，乙对【解答】解：由甲同学的作业可知，cd=ab，ad=bc，四边形abcd是平行四边形，又abc=90，abcd是矩形所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，cm=am，md=mb，四边形abcd是平行四边形，又abc=90，abcd是矩形所以乙的作业正确；故选：a3（河北）如图，已知abc（acbc），用尺规在bc上确定一点p，使pa+pc=bc，则符合要求的作图痕迹是（）abcd【解答】解：d选项中作的是ab的中垂线，pa=pb，pb+pc=bc，pa+pc=bc故选：d4（台湾）如图，矩形abcd中，ad=3ab，o为ad中点，是半圆甲、乙两人想在上取一点p，使得pbc的面积等于矩形abcd的面积其作法如下：（甲） 延长bo交于p点，则p即为所求；（乙） 以a为圆心，ab长为半径画弧，交于p点，则p即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）a两人皆正确b两人皆错误c甲正确，乙错误d甲错误，乙正确【解答】解：要使得pbc的面积等于矩形abcd的面积，需p甲h=p乙k=2ab故两人皆错误故选：b二、填空题（共1小题）5（绍兴）用直尺和圆规作abc，使bc=a，ac=b，b=35，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是sin35=或ba【解答】解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：当acab时，即sin35=；当ba时故答案为：sin35=或ba三、解答题（共25小题）6（杭州）如图，四边形abcd是矩形，用直尺和圆规作出a的平分线与bc边的垂直平分线的交点q（不写作法，保留作图痕迹）连结qd，在新图形中，你发现了什么？请写出一条【解答】解：如图所示：发现：dq=aq或者qad=qda等等7（青岛）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：线段c，直线l及l外一点a求作：rtabc，使直角边为ac（acl，垂足为c），斜边ab=c【解答】解：如图，abc为所求8（丽水）如图，已知abc，c=rt，acbcd为bc上一点，且到a，b两点的距离相等（1）用直尺和圆规，作出点d的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结ad，若b=37，求cad的度数【解答】解：（1）如图所示：点d即为所求；（2）在rtabc中，b=37，cab=53，又ad=bd，bad=b=37，cad=5337=169（山西）如图，abc是直角三角形，acb=90（1）尺规作图：作c，使它与ab相切于点d，与ac相交于点e，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母（2）在你按（1）中要求所作的图中，若bc=3，a=30，求的长【解答】解：（1）如图，c为所求；（2）c切ab于d，cdab，adc=90，dce=90a=9030=60，bcd=90acd=30，在rtbcd中，cosbcd=，cd=3cos30=，的长=10（六盘水）如图，已知rtacb中，c=90，bac=45（1）用尺规作图：在ca的延长线上截取ad=ab，并连接bd（不写作法，保留作图痕迹）（2）求bdc的度数（3）定义：在直角三角形中，一个锐角a的邻边与对边的比叫做a的余切，记作cota，即cota=，根据定义，利用图形求cot22.5的值【解答】解：（1）如图，（2）ad=ab，adb=abd，而bac=adb+abd，adb=bac=45=22.5，即bdc的度数为22.5；（3）设ac=x，c=90，bac=45，acb为等腰直角三角形，bc=ac=x，ab=ac=x，ad=ab=x，cd=x+x=（+1）x，在rtbcd中，cotbdc=+1，即cot22.5=+111（东莞）如图，已知锐角abc（1）过点a作bc边的垂线mn，交bc于点d（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若bc=5，ad=4，tanbad=，求dc的长【解答】解：（1）如图，（2）adbc，adb=adc=90，在rtabd中，tanbad=，bd=4=3，cd=bcbd=53=212（孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心o；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点c到弦ab的距离为20m，ab=80m，求所在圆的半径【解答】解：（1）如图1，点o为所求；（2）连接oa，oc，oc交ab于d，如图2，c为的中点，ocab，ad=bd=ab=40，设o的半径为r，则oa=r，od=odcd=r20，在rtoad中，oa2=od2+bd2，r2=（r20）2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m13（兰州）如图，在图中求作p，使p满足以线段mn为弦且圆心p到aob两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）【解答】解：如图所示圆p即为所作的圆14（广州）如图，ac是o的直径，点b在o上，acb=30（1）利用尺规作abc的平分线bd，交ac于点e，交o于点d，连接cd（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求abe与cde的面积之比【解答】（1）如图所示；（2）如图2，连接od，设o的半径为r，bae=cde，aeb=dec，abedce，在rtacb中，abc=90，acb=30，ab=ac=r，abd=acd=45，od=oc，ocd=odc=45，doc=90，在rtodc中，dc=r，=15（珠海）如图，在平行四边形abcd中，abbc（1）利用尺规作图，在bc边上确定点e，使点e到边ab，ad的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若bc=8，cd=5，则ce=3【解答】解：（1）如图所示：e点即为所求（2）四边形abcd是平行四边形，ab=cd=5，adbc，dae=aeb，ae是a的平分线，dae=bae，bae=bea，be=ba=5，ce=bcbe=3故答案为：316（黔东南州）如图，在直角三角形abc中，abc=90（1）先作acb的平分线；设它交ab边于点o，再以点o为圆心，ob为半径作o（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）证明：ac是所作o的切线；（3）若bc=，sina=，求aoc的面积【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：过点o作oeac于点e，fc平分acb，ob=oe，ac是所作o的切线；（3）解：sina=，abc=90，a=30，aco=ocb=acb=30，bc=，ac=2，bo=tan30bc=1，aoc的面积为：acoe=21=17（盐城）实践操作如图，abc是直角三角形，acb=90，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作bac的平分线，交bc于点o；（2）以o为圆心，oc为半径作圆综合运用在你所作的图中，（1）ab与o的位置关系是相切；（直接写出答案）（2）若ac=5，bc=12，求o的半径【解答】解：实践操作，如图所示：综合运用：（1）ab与o的位置关系是相切ao是bac的平分线，do=co，acb=90，ado=90，ab与o的位置关系是相切；（2）ac=5，bc=12，ad=5，ab=13，db=abad=135=8，设半径为x，则oc=od=x，bo=（12x）x2+82=（12x）2，解得：x=答：o的半径为18（锦州）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图（1）利用尺规作图在ac边上找一点d，使点d到ab、bc的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）（2）在网格中，abc的下方，直接画出ebc，使ebc与abc全等【解答】解：（1）如图，作abc的平分线，（2）如图，19（北海） 已知abc中，a=25，b=40（1）求作：o，使得o经过a、c两点，且圆心o落在ab边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：bc是（1）中所作o的切线【解答】解：（1）作图如图1：（2）证明：如图2，连接oc，oa=oc，a=25boc=50，又b=40，boc+b=90ocb=90ocbcbc是o的切线20（六盘水）如图，在abc中，利用尺规作图，画出abc的外接圆或内切圆（任选一个不写作法，必须保留作图痕迹）【解答】解：如图所示：21（白银）如图，abc中，c=90，a=30（1）用尺规作图作ab边上的中垂线de，交ac于点d，交ab于点e（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连接bd，求证：bd平分cba【解答】（1）解：如图所示，de就是要求作的ab边上的中垂线；（2）证明：de是ab边上的中垂线，a=30，ad=bd，abd=a=30，c=90，abc=90a=9030=60，cbd=abcabd=6030=30，abd=cbd，bd平分cba22（太原）如图，在abc中，ab=ac，d是ba延长线上的一点，点e是ac的中点（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；作dac的平分线am；连接be并延长交am于点f；（2）猜想与证明：试猜想af与bc有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由【解答】解：（1）如图所示；（2）afbc，且af=bc，理由如下：ab=ac，abc=c，dac=abc+c=2c，由作图可得dac=2fac，c=fac，afbc，e为ac中点，ae=ec，在aef和ceb中，aefceb（asa）af=bc23（酒泉）如图，已知在abc中，a=90（1）请用圆规和直尺作出p，使圆心p在ac边上，且与ab，bc两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若b=60，ab=3，求p的面积【解答】解：（1）如图所示，则p为所求作的圆（2）b=60，bp平分abc，abp=30，tanabp=，ap=，sp=324（兰州）如图，在abc中，先作bac的角平分线ad交bc于点d，再以ac边上的一点o为圆心，过a、d两点作o（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）【解答】解：作出角平分线ad，作ad的中垂线交ac于点o，作出o，o为所求作的圆25（孝感）如图，在rtabc中，acb=90（1）先作abc的平分线交ac边于点o，再以点o为圆心，oc为半径作o（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中ab与o的位置关系，并证明你的结论【解答】解：（1）如图：（2）ab与o相切证明：作odab于d，如图bo平分abc，acb=90，odab，od=oc，ab与o相切26（广州）如图，abc中，ab=ac=4，cosc=（1）动手操作：利用尺规作以ac为直径的o，并标出o与ab的交点d，与bc的交点e（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，求证：