湖北省黄石市有色一中高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省黄石市有色一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合m=0，1，2，n=x|x23x+20，则mn=（）a1 b2 c0，1 d1，22抛物线y=的焦点坐标是（）a（，0） b（0，） c（0，1） d（1，0）3若sin=，则为第四象限角，则tan的值等于（）a bc d4设函数f（x）定义在实数集上，f（2x）=f（x），且当x1时，f（x）=lnx，则有（）a b c d5函数的零点个数为（）a3 b2 c1 d06函数y=ax+13（a0，a1）过定点a，若点a在直线mx+ny=2（m0，n0）上，则+的最小值为（）a3 b2c d7已知an是公差为1的等差数列；sn为an的前n项和，若s8=4s4，则a10=（）a b c10 d128圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有（）a1个 b2个 c3个 d4个9短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为f1，f2，过f1作直线交椭圆于a，b两点，则abf2的周长为（）a24 b12 c6 d310已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）a b c（1，2） d11已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，则f（2）的值等于（）a2 b2 c d12函数的图象大致是（）a b c d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为14一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m315已知直线y=x+1与曲线y=1nx+a相切，则a的值为16若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”下列方程：x2y2=1；y=x2|x|；y=3sinx+4cosx；对应的曲线中存在“自公切线”的有三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sinxcosxcos2x，xr（）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（）已知abc内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且c=3，f（c）=0，若向量=（1，sina）与=（2，sinb）共线，求a、b的值18在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，设e是棱cc1的中点（1）求证：bdae；（2）求证：ac平面b1de；（3）求三棱锥ab1de的体积19已知抛物线方程为x2=4y，过点m（0，2）作直线与抛物线交于两点a（x1，y1），b（x2，y2），过a，b分别作抛物线的切线，两切线的交点为p（）求x1x2的值；（）求点p的纵坐标；（）求pab面积的最小值20已知函数（ar）（）当a=1时，x，求f（x）的最值（）若对任意x上的最大值（3）证明对一切x（0，+），都有成立2015-2016学年湖北省黄石市有色一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合m=0，1，2，n=x|x23x+20，则mn=（）a1 b2 c0，1 d1，2【分析】求出集合n的元素，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：n=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，mn=1，2，故选：d【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2抛物线y=的焦点坐标是（）a（，0） b（0，） c（0，1） d（1，0）【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为（0，1）故选c【点评】本题主要考查抛物线的简单性质属基础题3若sin=，则为第四象限角，则tan的值等于（）a bc d【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cos，然后求解即可【解答】解：sin=，则为第四象限角，cos=，tan=故选：d【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力4设函数f（x）定义在实数集上，f（2x）=f（x），且当x1时，f（x）=lnx，则有（）a b c d【分析】由f（2x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案【解答】解：f（2x）=f（x）函数的对称轴为x=1x1时，f（x）=lnx函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选c【点评】本题考查的是由f（ax）=f（b+x）求函数的对称轴的知识与对数函数的图象5函数的零点个数为（）a3 b2 c1 d0【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点由所得的个数选出正确选项【解答】解：当x0时，令x2+2x3=0解得x=3；当x0时，令2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：b【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题6函数y=ax+13（a0，a1）过定点a，若点a在直线mx+ny=2（m0，n0）上，则+的最小值为（）a3 b2c d【分析】函数y=ax+13（a0，a1）过定点a（1，2），可得m+2n=2再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：函数y=ax+13（a0，a1）过定点a（1，2），点a在直线mx+ny=2（m0，n0）上，m2n=2，即m+2n=2则+=故选：c【点评】本题考查了指数函数的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知an是公差为1的等差数列；sn为an的前n项和，若s8=4s4，则a10=（）a b c10 d12【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：an是公差为1的等差数列，s8=4s4，=4（4a1+），解得a1=则a10=故选：b【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有（）a1个 b2个 c3个 d4个【分析】先确定圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线x+y+1=0的距离，从而可得结论【解答】解：由题意，圆心坐标为（1，2），半径为圆心到直线x+y+1=0的距离为圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0相交，且圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有3个故选c【点评】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心到直线x+y+1=0的距离9短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为f1，f2，过f1作直线交椭圆于a，b两点，则abf2的周长为（）a24 b12 c6 d3【分析】由短轴长为，离心率为，可求得，所以可求abf2的周长【解答】解：由题意，从而得，故选c【点评】本题主要考查椭圆几何量之间的关系，利用了椭圆的定义，属于基础题10已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）a b c（1，2） d【分析】先表示出渐近线方程，利用求得tan=，根据的范围确定tan范围，进而确定的范围，同时利用c=转化成a和c的不等式关系求得的范围，即离心率的范围【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tan=，1tan，即11=3求得2故选b【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线基础知识的理解和运用11已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，则f（2）的值等于（）a2 b2 c d【分析】对等式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f（2）的值【解答】解：f（x）=x2+3xf（2）+lnx，f（x）=2x+3f（2）+，令x=2，则f（2）=4+3f（2）+，即2f（2）=，f（2）=故选：d【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f（2）是个常数，通过求导构造关于f（2）的方程是解决本题的关键12函数的图象大致是（）a b c d【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案【解答】解：（x0）（x0）则当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）为增函数；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）为减函数；当x=1时，f（x）取最大值，f（1）=；故选b【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为9【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，经过点a时，直线y=3x+z的截距最大，此时z最大由，得，即a（2，3）此时z的最大值为z=32+3=9，故答案为：9【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义14一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为4m3【分析】由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积【解答】解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是112下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是112几何体的体积是112+211=4m3，故答案为：4【点评】本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目15已知直线y=x+1与曲线y=1nx+a相切，则a的值为2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程三个方程联立即可求出a的值【解答】解：y=1nx+a的导数为y=，设切点p（x0，y0），则y0=x0+1，y0=lnx0+a，又切线方程y=x+1的斜率为1，即=1，解得x0=1，则y0=2，a=y0lnx0=2，故答案为：2【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题学生在解方程时注意利用消元的数学思想16若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”下列方程：x2y2=1；y=x2|x|；y=3sinx+4cosx；对应的曲线中存在“自公切线”的有【分析】x2y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；在 x=和 x=处的切线都是y=，故有自公切线此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线结合图象可得，此曲线没有自公切线【解答】解：x2y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；y=x2|x|=，在 x=和 x=处的切线都是y=，故有自公切线y=3sinx+4cosx=5sin（x+），cos=，sin=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线由于，即 x2+2|x|+y23=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线故答案为【点评】正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sinxcosxcos2x，xr（）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（）已知abc内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且c=3，f（c）=0，若向量=（1，sina）与=（2，sinb）共线，求a、b的值【分析】（）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x）1，由此求出最小值和周期（）由f（c）=0可得sin（2c）=1，再根据c的范围求出角c的值，根据两个向量共线的性质可得 sinb2sina=0，再由正弦定理可得 b=2a再由余弦定理得9=，求出a，b的值【解答】解：（）函数f（x）=1=sin（2x）1，f（x）的最小值为2，最小正周期为（5分）（）f（c）=sin（2c）1=0，即 sin（2c）=1，又0c，2c，2c=，c= （7分）向量与共线，sinb2sina=0由正弦定理，得 b=2a，（9分）c=3，由余弦定理得9=，（11分）解方程组，得 a=b=2 （13分）【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题18在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，设e是棱cc1的中点（1）求证：bdae；（2）求证：ac平面b1de；（3）求三棱锥ab1de的体积【分析】（1）通过证明bd平面aec，得出bdae；（2）通过acc1的中位线证明线线平行，再证明线面平行；（3）点a到平面b1de的距离等于点c到平面b1de的距离，利用等积法求出三棱锥ab1de的体积【解答】解：（1）证明：连接bd，ae，四边形abcd是正方形，bdac，又ec底面abcd，bd面abcd，ecbd，且ecac=c，bd平面aec，又ae平面aec，bdae；（4分）（2）证明：连接ac1，设ac1b1d=g，则g为ac1的中点，e为c1c的中点，ge为acc1的中位线，acge，ge平面b1de，ac平面b1de，ac平面b1de；（3）由（2）知，点a到平面b1de的距离等于点c到平面b1de的距离，三棱锥ab1de的体积是=dc=（12）2=，三棱锥ab1de的体积为【点评】本题考查了空间中的垂直与平行的判断与性质的应用问题，也考查了求几何体的体积的问题，是综合性题目19已知抛物线方程为x2=4y，过点m（0，2）作直线与抛物线交于两点a（x1，y1），b（x2，y2），过a，b分别作抛物线的切线，两切线的交点为p（）求x1x2的值；（）求点p的纵坐标；（）求pab面积的最小值【分析】（）设出直线ab的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得x1x2的值（）分别表示出两个切线方程，联立可求得y（）表示出点p到直线ab的距离，线段ab的长度，利用三角形面积公式表示出三角形面积，进而求得pab面积的最小值【解答】解：（）设直线ab的斜率为k，则直线方程为y=kx+2，与抛物线方程联立得x24kx8=0，=16k2+320，x1x2=8，（）由导数的几何意义知过点a的切线斜率为，切线方程为y=（xx1），同理过b的切线方程为y=，由=，把代入得y=2，p的纵坐标为2（）x1+x2=4k，x1x2=8，点p到直线ab的距离为d=，线段ab的长度为|x1x2|=4，s=4=4（k2+2）8当且仅当k=0时取等号，三角形pab面积最小值为8【点评】本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离的应用考查了学生分析推理和运算的能力20已知函数（ar）（）当a=1时，x，求f（x）的最值（）若对任意x递增，而f（1