湖南省东部六校联考高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省东部六校联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题1已知集合 m=x|5xx20，n=2，3，4，5，6，则 mn=（）a2，3，4b2，3，4，5c3，4d5，62复数的共轭复数是（）a12ib1+2ic1+2id12i3已知an为等差数列，若a1+a9=，则cos（a3+a7）的值为（）abcd4双曲线=1（b0）的焦距为6，则双曲线的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=xdy=x5下列命题正确的个数为（）命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”若命题p：xr，x2+x+10，则p：xr，x2+x+1=0若pq为真命题，则p，q均为真命题“x3”是“x23x+20”的充分不必要条件在abc中，若ab，则sinasinba1个b2个c3个d4个6已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）a8b12c24d327下列三个数：a=ln，b=ln，c=ln33，大小顺序正确的是（）aacbbabccbcadbac8函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）abcd9在底面半径为1，高为2的圆柱内随机取一点p，则点p到圆柱下底面的圆心的距离大于1的概率为（）abcd10如图所示的程序框图中，若f（x）=x2x+1，g（x）=x+4，且h（x）m恒成立，则m的最大值是（）a0b1c3d411已知变量x，y满足，若目标函数z=ax+by（ba0）的最大值为9，则+的最小值为（）a1b2c10d1212已知f为抛物线y2=ax（a0）的焦点，m点的坐标为（4，0），过点f作斜率为k1的直线与抛物线交于a，b两点，延长am，bm交抛物线于c，d两点，设直线cd的斜率为k2，且k1=k2，则a=（）a8b8c16d16二、填空题13已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则=14二项式（x+1）（x+）6的展开式中的常数项是15已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为16如图，空间四边形abcd，cad=45，cosacb=，ac=+，ad=2，bc=6，若点e在线段ac上运动，则eb+ed的最小值为三、解答题17已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，y），且（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为abc的三个内角a，b，c对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求abc的面积18如图，已知四棱锥pabcd的底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点（1）证明：pa平面bde；（2）求二面角bdec的余弦值19某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共2000学生，期末考试数学成绩换算为100分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取100名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为91，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的80，90），90，100的学生中，应届生与复读生的比例关系也是91，从抽取的80，90），90，100两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的80，90）的人数为随机变量，求的分布列与期望值20已知椭圆+=1（ab0）的焦点分别为f1（c，0），f2（c，0），离心率e=，过左焦点的直线与椭圆交于m，n两点，|mn|=，且2sinmf2n=sinmnf2+sinnmf2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点d（4，0）的直线l与椭圆有两个不同的交点a，b，且点a在d、b之间，试求aod和bod面积之比的取值范围（其中o为坐标原点）21已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为o上一点， =，de交ab于点f，且ab=2bp=4，（1）求pf的长度（2）若圆f与圆o内切，直线pt与圆f切于点t，求线段pt的长度选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知直线l的极坐标方程为sin（+）=，圆c的方程为（为参数）（1）把直线l化为直角坐标方程和圆c的方程化为普通方程；（2）求圆c上的点到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|+|x+1|；（）求不等式f（x）3的解集；（）若关于x的不等式f（x）a2a恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年湖南省东部六校联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1已知集合 m=x|5xx20，n=2，3，4，5，6，则 mn=（）a2，3，4b2，3，4，5c3，4d5，6【考点】交集及其运算【分析】求出m中不等式的解集确定出m，再由n，求出两集合的交集即可【解答】解：由m中不等式变形得：x（x5）0，解得：0x5，即m=x|0x5，n=2，3，4，5，6，mn=2，3，4，故选：a2复数的共轭复数是（）a12ib1+2ic1+2id12i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到a+bi的形式，根据复数的共轭复数的特点得到结果【解答】解：因为，所以其共轭复数为1+2i故选b3已知an为等差数列，若a1+a9=，则cos（a3+a7）的值为（）abcd【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列的性质可得a3+a7，代入计算余弦值可得【解答】解：由等差数列性质可得a3+a7=a1+a9=，cos（a3+a7）=cos=故选：a4双曲线=1（b0）的焦距为6，则双曲线的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=xdy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】通过双曲线的基本性质，直接求出a，b，c，然后求出m，求出双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线=1（b0）的焦距为6，所以a=2，c=3，所以b=，所以双曲线的渐近线方程为：y=x故选：a5下列命题正确的个数为（）命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”若命题p：xr，x2+x+10，则p：xr，x2+x+1=0若pq为真命题，则p，q均为真命题“x3”是“x23x+20”的充分不必要条件在abc中，若ab，则sinasinba1个b2个c3个d4个【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据逆否命题的定义进行判断，根据命题的否定 进行判断根据复合命题真假关系进行判断根据充分条件和必要条件的定义进行判断，根据正弦定理进行判断【解答】解：命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”为正确的命题；故正确，若命题p：xr，x2+x+10，则p：xr，x2+x+1=0为正确的命题；故正确，若pq为真命题，可知p，q真命题至少一个为真命题，故可以一真一假，故错误；由x23x+20得x2或x1，则“x3”是“x23x+20”的充分不必要条件，故正确；在abc中，若ab，则ab，由正弦定理得sinasinb正确，故正确故选：d6已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）a8b12c24d32【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体为四棱锥，且是棱长为2的正方体的一部分，由正方体的性质求出外接球的半径平方，利用球的表面积公式求出该几何体的外接球表面积【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥pabcd，直观图如图所示：则四棱锥pabcd是棱长为2的正方体的一部分，设外接球的半径为r，由正方体的性质得，（2r）2=22+22+22，4r2=12，该几何体的外接球表面积s=4r2=12，故选b7下列三个数：a=ln，b=ln，c=ln33，大小顺序正确的是（）aacbbabccbcadbac【考点】对数值大小的比较【分析】令f（x）=lnxx，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：令f（x）=lnxx，则f（x）=，当x1时，f（x）0，当x1时，函数f（x）单调递减，a=ln，b=ln，c=ln33，acb故选：a8函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）abcd【考点】函数的图象【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案【解答】解：f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，其图象必过点（1，1）故排除a、b，又g（x）=21x=2（x1）的图象是由y=2x的图象右移1而得故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，故排除d故选c9在底面半径为1，高为2的圆柱内随机取一点p，则点p到圆柱下底面的圆心的距离大于1的概率为（）abcd【考点】几何概型【分析】本题利用几何概型求解先根据到点o的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点p到点o的距离大于1的概率【解答】解：到点o的距离等于1的点构成一个球面，如图，则点p到点o的距离大于1的概率为：p=，故选：c10如图所示的程序框图中，若f（x）=x2x+1，g（x）=x+4，且h（x）m恒成立，则m的最大值是（）a0b1c3d4【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=1时，h（x）取最小值3，又h（x）m恒成立，m的最大值是3，故选：c11已知变量x，y满足，若目标函数z=ax+by（ba0）的最大值为9，则+的最小值为（）a1b2c10d12【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求+的最小值【解答】解：由z=ax+by（a0，b0）得，ba0，直线的斜率k=（1，0），作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点a时，直线的截距最大，此时z最大由，解得，即a（1，1），此时目标函数z=ax+by的最大值为9，即a+b=9，（a+b）=1，+=（+）1=（+）（a+b）=+2=+2=2，当且仅当=，即b=2a，即b=6，a=3时取等号即+的最小值为2，故选：b12已知f为抛物线y2=ax（a0）的焦点，m点的坐标为（4，0），过点f作斜率为k1的直线与抛物线交于a，b两点，延长am，bm交抛物线于c，d两点，设直线cd的斜率为k2，且k1=k2，则a=（）a8b8c16d16【考点】抛物线的简单性质【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4），利用k1=k2，可得y1+y2=（y3+y4）设ac所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，求出y1y3=4a，同理y2y4=4a，进而可得y1y2=2a，设ab所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，即可得出结论【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4），则k1=，k2=，k1=k2，y1+y2=（y3+y4）设ac所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，可得y2aty4a=0，y1y3=4a，同理y2y4=4a，y1+y2=（+），y1y2=2a，设ab所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，可得y2aty=0，y1y2=，2a=，a=8故选：b二、填空题13已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果【解答】解：已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则=0，故=（）（）=（）（）=+=4+00=2，故答案为 214二项式（x+1）（x+）6的展开式中的常数项是160【考点】二项式定理的应用【分析】把（x+）6按照二项式定理展开，可得二项式（x+1）（x+）6的展开式中的常数项【解答】解：二项式（x+1）（x+）6=（x+1）（x6+2x4+4x2+8+16x2+32x4+64x6），展开式中的常数项是8=160，故答案为：16015已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为2【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】由题意可得 b2=ac，2x=a+b，2y=b+c，代入要求的式子+，化简求得结果【解答】解：已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，可得 b2=ac，2x=a+b，2y=b+c，+=+=2，故答案为 216如图，空间四边形abcd，cad=45，cosacb=，ac=+，ad=2，bc=6，若点e在线段ac上运动，则eb+ed的最小值为7【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】在acd中，由已知结合余弦定理和正弦定理求得cd，cosacd的值，然后展开多面体，在bcd中利用余弦定理求解【解答】解：在acd中，由ac=+，ad=2，cad=45，利用余弦定理得：=25，cd=5再由正弦定理得：，即sinacd=，求得cosacd=展开多面体如图：eb+ed的最小值为bd，在bcd中，bc=6，cd=5，cosacb=，cosacd=cosbcd=bd=eb+ed的最小值为7故答案为：7三、解答题17已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，y），且（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为abc的三个内角a，b，c对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求abc的面积【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理【分析】（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2k2x+2k+，可得单调递增区间；（2）结合（1）可得f（）=1+2sin（a+）=3，进而可得a=，由余弦定理可得bc=4，代入面积公式s=，计算可得答案【解答】解：（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosxy=0，即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由2k2x+2k+，得kxk+，kz，故f（x）的单调增区间为k，k+，kz（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+），故f（）=1+2sin（a+）=3，解得sin（a+）=1故可得a+=，解得a=，由余弦定理可得22=b2+c22bccosa，化简可得4=b2+c2bc=（b+c）23bc=163bc，解得bc=4，故abc的面积s=18如图，已知四棱锥pabcd的底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点（1）证明：pa平面bde；（2）求二面角bdec的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定【分析】（1）法一：连接ac，设ac与bd交于o点，连接eo由底面abcd是正方形，知oepa由此能够证明pa平面bde法二：以d为坐标原点，分别以da，dc，dp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设pd=dc=2，则，设是平面bde的一个法向量，由向量法能够证明pa平面bde（2）由（1）知是平面bde的一个法向量，又是平面dec的一个法向量由向量法能够求出二面角bdec的余弦值【解答】（1）解法一：连接ac，设ac与bd交于o点，连接eo底面abcd是正方形，o为ac的中点，又e为pc的中点，oepa，oe平面bde，pa平面bde，pa平面bde解法二：以d为坐标原点，分别以da，dc，dp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设pd=dc=2，则a（2，0，0），p（0，0，2），e（0，1，1），b（2，2，0），设是平面bde的一个法向量，则由，得，又pa平面bde，pa平面bde（2）由（1）知是平面bde的一个法向量，又是平面dec的一个法向量设二面角bdec的平面角为，由题意可知19某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共2000学生，期末考试数学成绩换算为100分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取100名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为91，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的80，90），90，100的学生中，应届生与复读生的比例关系也是91，从抽取的80，90），90，100两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的80，90）的人数为随机变量，求的分布列与期望值【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）因为抽取的应届生与复读生的比为91，求出应届生抽取90人，复读生抽取10人，由此能确定确定高三应届生与复读生的人数（2）由频率分布图中小矩形面积之和为1，得a=0.04，由此能求出此次数学成绩的平均分（3）根据频率分布直方图可知抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的80，90）的人数为随机变量，可知=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望值【解答】解：（1）抽取的应届生与复读生的比为91，应届生抽取90人，复读生抽取10人，应届生的人数为9020=1800，复读生的人数为20001800=200（2）10（0.01+a+0.02+0.03）=1，a=0.04，平均分为10（0.0165+0.0475+0.0285+0.0395）=82（3）根据频率分布直方图可知，抽取的80，90），90，100的学生分别为1000.2=20，1000.3=30，抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的80，90）的人数为随机变量，可知=0，1，2，可知，的分布列为：012p20已知椭圆+=1（ab0）的焦点分别为f1（c，0），f2（c，0），离心率e=，过左焦点的直线与椭圆交于m，n两点，|mn|=，且2sinmf2n=sinmnf2+sinnmf2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点d（4，0）的直线l与椭圆有两个不同的交点a，b，且点a在d、b之间，试求aod和bod面积之比的取值范围（其中o为坐标原点）【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）在mf2n中，运用正弦定理和椭圆的定义，可得3|mn|=4a=8，解得a，再由离心率公式e=，求得c，由b=，可得b，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为x=my+4，代入椭圆方程，消去x，可得y的方程，运用韦达定理和判别式大于0，令=，由三角形的面积公式，可得=，代入韦达定理，化简整理可得的不等式，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（1）在mf2n中，2sinmf2n=sinmnf2+sinnmf2，由正弦定理可得，2|mn|=|mf2|+|nf2|，由椭圆的定义可得，|mf1|+|mf2|=|nf1|+|nf2|=2a，即有|mn|+|mf2|+|nf2|=4a，可得3|mn|=4a=8，解得a=2，由e=，可得c=1，b=，则椭圆的方程为+=1；（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=my+4，代入椭圆方程3x2+4y2=12，消去x，可得（3m2+4）y2+24my+36=0，由=（24m）2436（3m2+4）0，化为m24设a（x1，y1），b（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=令=，则=，且01，将y1=y2，代入可得（+1）y2=，y22=，消去y2可得， =，即m2=，由m24，可得1，所以1且3210+30，解得1或13由01，可得1故aod和bod面积之比的取值范围是（，1）21已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max结合当x1，e时及可知g（x）max=g（e）=e+1利用，且x1，e，a0，分0a1、1ae、ae三种情况讨论即可【解答】解：（1），g（x）=x+lnx，其定义域为（0，+），x=1是函数h（x）的极值点，h（1）=0，即3a2=0a0，经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，；（2）对任意的x1，x21，e都有f（x1）g（x2）成立等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max当x1，e时，函数g（x）=x+lnx在1，e上是增函数g（x）max=g（e）=e+1，且x1，e，a0当0a1且x1，e时，函数在1，e上是增函数，由1+a2e+1，得a，又0a1，a不合题意；当1ae时，若1xa，则，若axe，则函数在1，a）上是减函数，在（a，e上是增函数f（x）min=f（a）=2a由2ae+1，得a，又1ae，ae；当ae且x1，e时，函数在1，e上是减函数由e+1，得a，又ae，ae；综上所述：a的取值范围为选修4-1：几何证明选讲22如图，o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为o上一点， =，de交ab于点f，且ab=2bp=4，（1）