湖南省衡阳市高三数学三模试卷 理（含解析）.doc

湖南省衡阳市2017届高三数学三模试卷 理一、选择题：本大题共12小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位，复数，则a+b=（）a0b2c1d22设集合，b=（x，y）|y=3x，则ab的子集的个数是（）a4b3c2d13已知sin（+）+sin=，0，则cos（+）等于（）abcd4为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）a150b180c200d2805执行如图所示的程序框图，若输出的s值为4，则条件框内应填写（）ai3？bi5？ci4？di4？6直三棱柱abca1b1c1中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若p是a1b1c1中心，且三棱柱的体积为，则pa与平面abc所成的角大小是（）abcd7函数f（x）=2sin（x），x的所有零点之和为（）a2b4c6d88如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）abc6d9已知对任意平面向量=（x，y），把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量=（xcosysin，xsin+ycos），叫做把点b绕点a逆时针方向旋转角得到点p，设平面内曲线c上的每一点绕原点逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2y2=2，则原来曲线c的方程是（）axy=1bxy=1cy2x2=2dy2x2=110已知f1、f2分别为双曲线c： =1的左、右焦点，p为双曲线c右支上一点，且|pf1|=2|pf2|，则pf1f2外接圆的面积为（）abcd11如图在abc中，d是bc的中点，e、f是ad上的两个三等分点， =4， =1，则的值是（）a4b8cd12数学统综有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”现已知凹函数f（x）=x22x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a），（b，f（b），（c，f（c），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）abcd二、填空题：本大题共4小题每小题5分13展开式中第三项为14设函数f（x）=，d是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2+y2+2x+2y在d上的最小值为15已知，数列的前n项和为sn，数列bn的通项公式为bn=n8，则bnsn的最小值为16已知函数f（x）=log（x2+）|，则使得f（x+1）f（2x1）成立x的范围是三、解答题（本大题含6个小题共70分解答应写出文字说明或演算步骤）17已知数列an的首项a1=4，当n2时，an1an4an1+4=0，数列bn满足bn=（1）求证：数列bn是等差数列，并求bn的通项公式；（2）若cn=4bn（nan6），如果对任意nn*，都有cn+t2t2，求实数t的取值范围18据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制（）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为x，求x的分布列和数学期望参考数据： =25， =5.36， =0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=， =19如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd和侧面bcc1b1都是矩形，e是cd的中点，d1ecd，ab=2bc=2（1）求证：bcd1e；（2）若平面bcc1b1与平面bed1所成的锐二面角的大小为，求线段d1e的长度20已知椭圆e： =1（ab0）的左焦点f1（，0），若椭圆上存在一点d，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段df1相切于线段df1的中点f（1）求椭圆e的方程；（2）过坐标原点o的直线交椭圆w： =1于p、a两点，其中点p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连结ac并延长交椭圆w于b，求证：papb21已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做则按所做的第一个题计分作答时，请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22已知直线l的极坐标方程为sin（+）=，圆c的参数方程为：（其中为参数）（1）判断直线l与圆c的位置关系；（2）若椭圆的参数方程为（为参数），过圆c的圆心且与直线l垂直的直线l与椭圆相交于a，b两点，求|ab|23已知函数f（x）=|2xa|+a（1）若不等式f（x）6的解集为x|2x3，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）mf（n）成立，求实数m的取值范围2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位，复数，则a+b=（）a0b2c1d2【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则，得=1+i，再利用，由复数相等的概念能求出a+b的值【解答】解： =1+i，a=b=1，a+b=2故选b2设集合，b=（x，y）|y=3x，则ab的子集的个数是（）a4b3c2d1【考点】1e：交集及其运算；16：子集与真子集【分析】由题意集合，b=（x，y）|y=3x，画出a，b集合所表示的图象，看图象的交点，来判断ab的子集的个数【解答】解：集合，为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为a1、a2，则ab的子集应为，a1，a2，a1，a2共四种，故选a3已知sin（+）+sin=，0，则cos（+）等于（）abcd【考点】gp：两角和与差的余弦函数【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答【解答】解：sin（+）+sin=，cos（）=，cos（+）=cos=cos（）=故选c4为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）a150b180c200d280【考点】d3：计数原理的应用【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有c53a33=60种，若是1，2，2，则有a33=90种所以共有150种不同的方法故选：a5执行如图所示的程序框图，若输出的s值为4，则条件框内应填写（）ai3？bi5？ci4？di4？【考点】ef：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出s的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，s=10满足判断框内的条件，第1次执行循环体，s=1021=8，i=2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，s=822=4，i=3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，s=423=4，i=4，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的s值为4，则条件框内应填写：i4，故选：d6直三棱柱abca1b1c1中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若p是a1b1c1中心，且三棱柱的体积为，则pa与平面abc所成的角大小是（）abcd【考点】mi：直线与平面所成的角；lf：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意设底面正abc的边长为a，过p作po平面abc，垂足为o，则点o为底面abc的中心，故pao即为pa与平面abc所成角，由此能求出pa与平面abc所成的角【解答】解：由题意设底面正abc的边长为a，过p作po平面abc，垂足为o，则点o为底面abc的中心，故pao即为pa与平面abc所成角，|oa|=，|op|=，又直三棱柱abca1b1c1中体积为，由直棱柱体积公式得v=，解得a=，tanpao=，pa与平面abc所成的角为故选：c7函数f（x）=2sin（x），x的所有零点之和为（）a2b4c6d8【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】作出y=2sinx与y=的函数图象，根据图象的交点个数和对称性得出答案【解答】解：令f（x）=0得2sin（x）=，作出y=2sinx与y=的函数图象，如图所示：由图象可知两图象在上共有8个交点，f（x）共有8个零点，又两图象都关于点（1，0）对称，8个交点两两关于点（1，0）对称，8个零点之和为42=8故选d8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）abc6d【考点】lf：棱柱、棱锥、棱台的体积；l!：由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位三棱锥pabc如图所示，其中，正方体棱长为4，点p是正方体其中一条棱的中点，则： ，所以最长棱为6故选：c9已知对任意平面向量=（x，y），把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量=（xcosysin，xsin+ycos），叫做把点b绕点a逆时针方向旋转角得到点p，设平面内曲线c上的每一点绕原点逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2y2=2，则原来曲线c的方程是（）axy=1bxy=1cy2x2=2dy2x2=1【考点】j3：轨迹方程【分析】设平面内曲线c上的点p（x，y），根据把点b绕点a逆时针方向旋转角得到点p的定义，可求出其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点p（xy），（x+y），另由点p在曲线x2y2=2上，代入该方程即可求得原来曲线c的方程【解答】解：设平面内曲线c上的点p（x，y），则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点p（xy），（x+y），点p在曲线x2y2=2上，（xy）2（x+y）2=2，整理得xy=1故选：a10已知f1、f2分别为双曲线c： =1的左、右焦点，p为双曲线c右支上一点，且|pf1|=2|pf2|，则pf1f2外接圆的面积为（）abcd【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】先由双曲线的方程求出|f1f2|=6，再由|pf1|=2|pf2|，求出|pf1|，|pf2|，由此能求出pf1f2的面积，利用余弦定理求得cospf1f2，由正弦定理求得pf1f2外接圆的半径，即可求得pf1f2外接圆的面积【解答】解：双曲线c： =1，的两个焦点f1（3，0），f2（3，0），|f1f2|=6，a=2，由|pf1|=2|pf2|，设|pf2|=x，则|pf1|=2x，由双曲线的性质知，2xx=4，解得x=4|pf1|=8，|pf2|=4，|f1f2|=6，p=9，pf1f2的面积s=3在pf1f2中，由余弦定理可知：cospf1f2=，由0pf1f2，则sinpf1f2=，=2r，r为pf1f2外接圆的半径，则r=，pf1f2外接圆的面积s=r2=，故选d11如图在abc中，d是bc的中点，e、f是ad上的两个三等分点， =4， =1，则的值是（）a4b8cd【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】把所用向量都用表示，结合已知求出的值，则的值可求【解答】解：d是bc的中点，e，f是ad上的两个三等分点，=， =， =+3， =，=，=9，又，=4，故选：c12数学统综有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”现已知凹函数f（x）=x22x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a），（b，f（b），（c，f（c），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）abcd【考点】ht：三角形中的几何计算【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m2m+22，即可得出结论【解答】解：由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，f（x）=x22x+2=2，x=0或2，m2m+22，0m1，故选a二、填空题：本大题共4小题每小题5分13展开式中第三项为60【考点】da：二项式定理【分析】确定展开式的通项公式，令r=2，可得结论【解答】解：展开式的通项公式为：tr+1=令r=2，可得t2+1=154=60故答案为：6014设函数f（x）=，d是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2+y2+2x+2y在d上的最小值为【考点】6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域d，利用线性规划的方法求出目标函数z的最小值即可【解答】解：当x0时，f（x）=，则f（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x1，d是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分而z=x2+y2+2x+2y=（x+1）2+（y+1）22，表示以（1，1）为圆心，以（1，1）与阴影部分内的点为半径的平方再减2，显然（1，1）到直线ac的距离最小，由c（，0），a（0，1）得ac的方程是：2x+y+1=0，此时，r=d=，r2=，故z的最小值是2=，故答案为：15已知，数列的前n项和为sn，数列bn的通项公式为bn=n8，则bnsn的最小值为4【考点】67：定积分；82：数列的函数特性；8e：数列的求和【分析】由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列的前n项和为sn，然后代入求bnsn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x） =n2+n=数列的前n项和为sn=+=1+=1=又bn=n8，nn*，则bnsn=（n8）=n+1+10210=4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故bnsn的最小值为4故答案为：416已知函数f（x）=log（x2+）|，则使得f（x+1）f（2x1）成立x的范围是（0，2）【考点】4n：对数函数的图象与性质【分析】根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为|x+1|2x1|，解出即可【解答】解：f（x）=log（x2+）|，f（x）=f（x），f（x）是偶函数，x0时，f（x）=log（x2+），f（x）为减函数，当x0时，f（x）为增函数若f（x+1）f（2x1），则|x+1|2x1|，解得：0x2，故答案为：（0，2）三、解答题（本大题含6个小题共70分解答应写出文字说明或演算步骤）17已知数列an的首项a1=4，当n2时，an1an4an1+4=0，数列bn满足bn=（1）求证：数列bn是等差数列，并求bn的通项公式；（2）若cn=4bn（nan6），如果对任意nn*，都有cn+t2t2，求实数t的取值范围【考点】8k：数列与不等式的综合；8h：数列递推式【分析】（1）通过作差可知bnbn1=，结合an1an4an1+4=0可知bnbn1=，进而利用数列bn是等差数列即可求出通项公式；（2）通过（1）及bn=bn=可知an=+2，进而可知cn=（2n4），结合单调性可知1cn，将y=cn+t2t2看作是关于cn的一次函数，结合其单调递增可知当cn=时y0即可，进而问题转化为解不等式+t2t20，计算即得结论【解答】（1）证明：当n2时，bnbn1=，由于an1an4an1+4=0，所以bnbn1=，即数列bn是等差数列，又因为b1=，所以bn=+（n1）（）=；（2）由（1）及bn=bn=可知an=+2，所以cn=4bn（nan6）=（2n4），由单调性可知：1cn，令y=cn+t2t2，则y是关于cn的一次函数，且单调递增，所以当cn=时y0即可，所以+t2t20，解得：t或t，故实数t的取值范围是：（，+）18据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制（）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为x，求x的分布列和数学期望参考数据： =25， =5.36， =0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=， =【考点】bk：线性回归方程；b9：频率分布折线图、密度曲线【分析】（）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（）x的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求x的分布列和数学期望【解答】解：（）由题意 月份x 3 4 5 6 7 均价y 0.95 0.98 1.111.12 1.20 =5， =1.072， =10，=0.064， =0.752，从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（）x的取值为1，2，3，p（x=1）=，p（x=3）=，p（x=2）=1p（x=1）p（x=3）=，x的分布列为 x 1 2 3 pe（x）=1+2+3=19如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd和侧面bcc1b1都是矩形，e是cd的中点，d1ecd，ab=2bc=2（1）求证：bcd1e；（2）若平面bcc1b1与平面bed1所成的锐二面角的大小为，求线段d1e的长度【考点】mt：二面角的平面角及求法；lo：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）由已知底面abcd和侧面bcc1b1是矩形，可得bccd，bccc1，由线面垂直的判定可得bc平面dcc1d1，进一步得到bcd1e；（2）由（1）可知bcd1e，结合d1ecd，可得d1e平面abcd设g为ab的中点，以e为原点，eg，ec，ed1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面bed1的一个法向量与平面bcc1b1的一个法向量，由平面bcc1b1与平面bed1所成的锐二面角的大小为列式求得a值，则线段d1e的长度可求【解答】（1）证明：底面abcd和侧面bcc1b1是矩形，bccd，bccc1，又cdcc1=c，bc平面dcc1d1，d1e平面dcc1d1，bcd1e；（2）解：由（1）可知bcd1e，又d1ecd，且bccd=c，d1e平面abcd设g为ab的中点，以e为原点，eg，ec，ed1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图则e（0，0，0），b（1，1，0），c（0，1，0），g（1，0，0）设d1e=a，则d1（0，0，a），b1（1，2，a）设平面bed1的一个法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），=（0，0，a），由，令x=1，得=（1，1，0）；设平面bcc1b1的一个法向量为=（x1，y1，z1），=（1，0，0），=（1，1，a），由，令z1=1，得=（0，a，1）由平面bcc1b1与平面bed1所成的锐二面角的大小为，得|cos|=|=|cos=，解得a=1d1e=120已知椭圆e： =1（ab0）的左焦点f1（，0），若椭圆上存在一点d，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段df1相切于线段df1的中点f（1）求椭圆e的方程；（2）过坐标原点o的直线交椭圆w： =1于p、a两点，其中点p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连结ac并延长交椭圆w于b，求证：papb【考点】kl：直线与椭圆的位置关系【分析】（i）用a，b，c表示出of1f的边长，利用勾股定理列方程解出a，b，即可；（ii）设p（m，n），用m，n表示出直线ac的方程，求出b点坐标，计算pa，pb的斜率即可得出结论【解答】解：（）连接df2，fo（o为原点，f2为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为，因为fo是df1f2的中位线，且df1fo，所以|df2|=2|fo|=2b，所以|df1|=2a|df2|=2a2b，故，在rtfof1中，即b2+（ab）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，所以椭圆e的方程为（）由（）得椭圆w的方程为，设p（m，n），则a（m，n），c（m，0），直线，联立方程组，化简得，因为xa=m，所以，则所以，则kpakpb=1，即papb21已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围【考点】6d：利用导数研究函数的极值；6k：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）先求出其导函数：，利用是函数f（x）的一个极值点对应的结论f（）=0即可求a的值；（）利用：，在0a2时，分析出因式中的每一项都大于等于0即可证明结论；（）先由（）知，f（x）在上的最大值为，把问题转化为对任意的a（1，2），不等式恒成立；然后再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求即可求实数m的取值范围【解答】解：由题得：（）由已知，得且，a2a2=0，a0，a=2经检验：a=2符合题意（）当0a2时，当时，又，f（x）0，故f（x）在上是增函数（）a（1，2）时，由（）知，f（x）在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的a（1，2），不等式恒成立记，（1a2）则，当m=0时，g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）g（1）=0，由于a210，m0时不可能使g（a）0恒成立，故必有m0，若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g（a）g（1）=0，与g（a）0恒成立矛盾，故，这时，g（a）0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）g（1）=0，满足题设要求，即，所以，实数m的取值范围为请考生在22、23两题中任选一题作答注意：只能做所