高中数学 1.2.3直线与平面的位置关系课件 苏教版必修2.ppt

1 2点 线 面之间的位置关系 1 2 3直线与平面的位置关系 栏目链接 课标点击 1 理解空间中直线与平面的位置关系 2 掌握线面平行 线面垂直的判定定理和性质定理 栏目链接 典例剖析 栏目链接 直线与平面的位置关系 下列命题中正确的命题的个数为 如果一条直线与一平面平行 那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 如果一条直线与一平面相交 那么这条直线与平面内的无数条直线垂直 过平面外一点有且只有一条直线与平面平行 一条直线上有两点到一个平面的距离相等 则这条直线平行于这个平面 栏目链接 解析 对于 直线与平面平行 只是说明直线与平面没有公共点 也就是直线与平面内的直线没有公共点 没有公共点的两条直线其位置关系除了平行之外 还有异面 如右图 正方体abcda1b1c1d1 a1b1 平面abcd a1b1与bc的位置关系是异面 并且容易知道 异面直线a1b1与bc所成的角为90 因此命题 是错误的 栏目链接 对于 如上图 a1b1 ab a1d1 ad且ad ab 平面abcd a1d1 a1b1 平面abcd a1b1 平面abcd a1d1 平面abcd 可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行 而是无数多条 可以想象 经过面a1b1c1d1内一点a1的任一条直线 与平面abcd的位置关系都是平行的 命题 也是错误的 栏目链接 对于 我们可以继续借用正方体abcda1b1c1d1来举反例 如右图 分别取ad bc的中点e f a1d1 b1c1的中点g h 连接ef hg e f h g分别为ad bc b1c1 a1d1的中点 可以证明efhg为正方形 且该截面恰好把正方体一分为二 a d两个点到该截面的距离相等 且ad 平面efhg e 命题 也是错误的 对于 把一直角三角板的一直角边放在桌面内 让另一直角边抬起 即另一直角边与桌面的位置关系是相交 可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直 正确命题的个数只有1个 答案 1个 栏目链接 规律总结 正方体 或长方体 是立体几何中的一个重要的 又是最基本的模型 而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映 因而人们给它以 百宝箱 之称 本例中的命题 就是利用这个 百宝箱 来判定它们的真假的 栏目链接 变式训练1 下列说法中正确的是 填序号 直线l平行于平面 内无数条直线 则l 若直线a在平面 外 则a 若直线a b 直线b 则a 若直线a b 直线b 那么直线a就平行于平面 内的无数条直线 栏目链接 解析 对于 直线l虽然与平面 内无数条直线平行 但l有可能在平面 内 l不一定平行于 错误 对于 直线a在平面 外 包括两种情况 a 和a与 相交 a和 不一定平行 错误 对于 直线a b 直线b 则只能说明a和b无公共点 但a可能在平面 内 a不一定平行于 错误 对于 a b b 那么a 或a a能与平面 内的无数条直线平行 从而填 答案 栏目链接 直线与平面平行的判定定理 已知ab bc cd是不在同一平面内的三条线段 e f g分别是ab bc cd的中点 求证 平面efg和ac平行 也和bd平行 分析 欲证明ac 平面efg 根据直线和平面平行的判定定理 只需证明ac平行于平面efg内的一条直线 由图可知 只需证明ac ef 栏目链接 证明 如右图 连接ac eg ef gf 在 abc中 e f分别是ab bc的中点 ac ef 又 ac 平面efg ef 平面efg ac 平面efg 同理可证 bd 平面efg 规律总结 由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的程序是 寻求两直线的平行关系 证明这两条直线中的一条在平面内 另一条在平面外 由判定定理得出结论 栏目链接 变式训练2 如图 在四棱锥pabcd中 底面abcd是矩形 e f分别是pb pc的中点 证明 ef 平面pad 证明 e f分别是pb pc的中点 ef bc abcd是矩形 bc ad ef ad 又 ef 平面pad ad 平面pad ef 平面pad 栏目链接 直线与平面平行的性质定理 如图 a b分别是异面直线a b上的两点 自ab的中点o作平面 与a b分别平行 m n分别是a b上的任意两点 mn与 交于点p 求证 p是mn的中点 栏目链接 分析 利用线面平行的性质定理 通过三角形的中位线进行过渡 证明 连接an交 于点q 连oq pq b 平面abn oq b oq 同理pq a 在 abn中 o是ab的中点 oq bn q是an的中点 又 pq a 点p是mn的中点 栏目链接 规律总结 利用线面平行的性质定理解题的步骤 确定 或寻找 一条直线平行一个平面 确定 或寻找 过这条直线且与这个平行平面相交的平面 确定交线 由定理得出结论 栏目链接 变式训练3 如图 四边形abcd是平行四边形 点p是平面abcd外一点 m是pc的中点 在dm上取一点g 过点g和ap作平面交平面bdm于gh 求证 ap gh 栏目链接 证明 如图 连接ac交bd于点o 连接mo 四边形abcd是平行四边形 o是ac的中点 又m是pc的中点 ap om 根据直线和平面平行的判定定理 则pa 平面bmd 平面pahg 平面bmd gh 根据直线和平面平行的性质定理 pa gh 栏目链接 直线与平面垂直的概念 过一点与已知直线垂直的平面只有一个 已知 点a和直线a 如下图 栏目链接 求证 过点a和直线a垂直的平面只有一个 分析 必须证明存在性和唯一性 证明 不论点a是否在直线a上 如上图 设过点a与直线a垂直的平面为 如果还有一个平面 过点a且与直线a垂直 且 l 设过点a和直线a且不过l的平面为 且 b c 栏目链接 a a a b a c 这样在同一平面 内 过一点a就有两条直线b c都与a垂直 这是不可能的 所以 过点a和直线a垂直的平面只有一个 规律总结 1 由直线与平面垂直的定义可知 若直线a 平面 则a垂直于 内任一条直线 它也可作为定理来运用 2 本例的结论以及课本上例题的结论 过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条 都可作为定理来运用 3 反证法是证明唯一性问题的有效方法 栏目链接 变式训练4 给出以下结论 若直线a垂直平面 内的无穷多条直线 则直线a垂直平面 无论直线a与平面 是否垂直 a总垂直平面 内的无穷多条直线 若直线a垂直平面 内的两条直线 则直线a垂直平面 若直线a垂直平面 内的所有直线 则直线a垂直平面 其中正确的结论为 填序号 栏目链接 解析 是错的 如果这无数条直线都是互相平行的 即使直线a垂直于这些直线 直线a也不一定垂直平面 可能是斜交或直线a在平面 内 也是错的 也可能是与 一样的情形 答案 栏目链接 直线与平面垂直的判定定理 如右图 三棱锥abcd中 bc ac ad bd be cd e为垂足 ah be于点h 求证 ah 平面bcd 分析 若证ah 平面bcd 只需利用直线和平面垂直的判定定理 证ah垂直平面bcd内两条相交直线即可 证明 取ab中点f 连cf df ac bc cf ab 又 ad bd df ab 又 cf df f ab 平面cdf ab cd 栏目链接 又be cd 且ab be b cd 平面abe 又 ah 平面abe cd ah 又ah be 且be cd e ah 平面bcd 规律总结 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的程序是 在这个平面内找两条直线 使它和这条直线垂直 确定这个平面内的两条直线是相交的直线 根据判定定理得出结论 栏目链接 变式训练5 如图 已知pa o所在平面 ab为 o的直径 点c是圆周上任一点 过点a作ae pc于点e 求证 ae 平面pbc 证明 pa 平面abc pa bc 又 ab为圆o直径 ac bc pa ac a bc 平面pac ae 平面pac bc ae 又 ae pc pc bc c ae 平面pbc 栏目链接 直线与平面垂直的性质定理 设a b为异面直线 ab是它们的公垂线 与两异面直线都垂直且相交的直线 证明 1 若a b都平行于平面 则ab 2 若a b分别垂直于平面 且 c 则ab c 分析 1 依据直线和平面垂直的判定定理证明ab 2 证明线与线的平行 由于此时垂直的关系很多 因此可以考虑利用线面垂直的性质证明ab c 栏目链接 证明 1 如右图 在 内任取一点p 设直线a与点p确定的平面与平面 的交线为a 设直线b与点p确定的平面与平面 的交线为b a b a a b b 又 ab a ab b ab a ab b ab 栏目链接 2 如右图 过点b作bb 则bb a ab bb 又 ab b ab垂直于由b和bb 确定的平面 b b c 又 bb bb c c也垂直于由bb 和b确定的平面 故c ab 栏目链接 规律总结 由第 2 问的证明可以看出 利用线面垂直的性质证明线与线的平行 其关键是构造平面 使所证线皆与该平面垂直 如本题中 通过作出辅助线bb 构造出平面 即由相交直线b与bb 确定的平面 然后借助于题目中的其他垂直关系证得 栏目链接 变式训练6 如右图 已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体 点e在aa1上 点f在cc1上 且ae fc1 1 1 求证 e b f d1四点共面 2 若点g在bc上 bg 点m在bb1上 gm bf 垂足为h 求证 em 面bcc1b1 栏目链接 证明 1 如右图 在dd1上取点n 使dn 1 连接en cn 则ae dn 1 cf nd1 2 因为ae dn nd1 cf 所以四边形adne cfd1n都为平行四边形 从而en綊ad fd1綊cn 又因为ad綊bc 所以en綊bc 故四边形bcne是平行四边形 由此推知cn be 从而fd1 be 因此 e b f d1四点共面 栏目链接 栏目链接 直线与平面垂直的性质 如右图 已知矩形abcd 过点a作sa 平面abcd 再过点a作ae sb交sb于点e 过点e作ef sc交sc于点f 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于点g 求证 ag sd 栏目链接 分析 本题是证线线垂直问题 可通过证线面垂直来实现 结合上图 欲证af sc 只需证sc垂直于af所在平面 即sc 平面aef 由已知 欲证sc 平面aef 只需证ae垂直于sc所在平面 即ae 平面sbc 再由已知只需证ae bc 而要证ae bc 只需证bc 平面sab 而这可由已知得证 证明 1 sa 平面ac bc 平面ac sa bc abcd是矩形 ab bc bc 平面sab ae 平面sab bc ae 栏目链接 又sb ae且sb bc b ae 平面sbc ae sc 又ef sc sc 平面aef af sc 2 sa 平面ac sa dc 又ad dc dc 平面sad 又 ag 平面sad dc ag 又由 1 有sc 平面aef ag 平面aef sc ag ag 平面sdc ag sd 栏目链接 规律总结 上述直线与平面垂直的性质定理是线线 线面垂直以及线面 面面平行的相互转化的桥梁 因此必须熟练掌握这些定理 并能灵活地运用它们 栏目链接 变式训练7 如下图 正方体abcda1b1c1d1中 ac bd o a1c1 b1d1 o1 求证 oo1 平面abcd 证明 方法一在正方体中 aa1 a1b1 aa1 a1d1 且a1b1 a1d1 a1 a1a 平面a1b1c1d1 a1c1 面a1b1c1d1 a1a a1c1 同理cc1 a1c1 又 a1o1 o1c1 aa1 cc1 aa1o1 cc1o1 o1a o1c 栏目链接 栏目链接 四边形aa1c1c为平行四边形 又 o o1分别为ac a1c1的中点 oo1 aa1 oo1 平面abcd 栏目链接 直线与平面所成的角 已知平面 外两点a b到平面 的距离分别为1和2 a b两点在平面 内的射影之间的距离为 求直线ab和平面 所成的角 分析 平面 外两点a b到平面 的距离分别为1和2 首先应想到a b两点与平面 所处的位置关系 a b两点与平面 的位置不外乎有以下两种情形 1 点a b位于平面 的同侧 2 点a b位于平面 的异侧 应按这两种情形来解答直线ab与平面 所成角的大小 栏目链接 栏目链接 2 当点a b位于平面 的异侧时 如图所示 由点a b分别向平面 作垂线 垂足分别为a1 b1 ab与平面 相交于点c a1b1为ab在平面 上的射影 bcb1或 aca1为直线ab与平面 所成的角 在rt bcb1中 bb1 2 在rt aa1c中 aa1 1 栏目链接 bcb1 60 直线ab与平面 所成的角为60 综合 1 2 可知 直线ab与平面 所成的角为30 或60 栏目链接 规律总结 1 根据问题的具体情况 想到问题可能出现的各种情况 然