湖南省长沙市高二数学上学期期末试题 文（含解析）.doc

2016-2017学年湖南省长沙市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1命题“若ab，则2a2b”的逆否命题是（）a若ab，则2a2bb若ab，则2a2bc若2a2b，则 abd若2a2b，则 ab2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）a方程x3+ax+b=0没有实根b方程x3+ax+b=0至多有一个实根c方程x3+ax+b=0至多有两个实根d方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3双曲线的焦点坐标是（）abc（2，0）d（0，2）4甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）abcd5设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=（）ae2becdln26如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）a84，84b84，85c86，84d84，867如图，m是半径r的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点n，连接mn，则弦mn的长度超过r的概率是（）abcd8已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=（）a4b2c4d29对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，8），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+x8=2（y1+y2+y3+y8）=6，则实数a的值是（）abcd10若抛物线y2=8x上一点p到其焦点的距离为9，则点p的坐标为（）a（7，）b（14，）c（7，2）d（7，2）11已知函数f（x）=x3ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是（）aa3ba=3ca3d0a312已知有相同两焦点f1、f2的椭圆和双曲线，p是它们的一个交点，则f1pf2的形状是（）a锐角三角形bb直角三角形c钝有三角形d等腰三角形13若命题“xr，ax2ax20”是真命题，则实数a的取值范围是（）a8，0b（8，0c8，0）d（8，0）14设f（x），g（x）是定义域为r的恒大于零的可导函数，且f（x）g（x）f（x）g（x）0，则当axb时，有（）af（x）g（x）f（b）g（b）bf（x）g（a）f（a）g（x）cf（x）g（b）f（b）g（x）df（x）g（x）f（a）g（a）15已知抛物线c：y2=4x的交点为f，直线y=x1与c相交于a，b两点，与双曲线e：=2（a0，b0）的渐近线相交于m，n两点，若线段ab与mn的中点相同，则双曲线e离心率为（）ab2cd二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16已知i是虚数单位，则= 17对任意非零实数a、b，若ab的运算原理如图程序框图所示，则32= 18将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为 19曲线c的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件a为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件a发生的概率p（a）= 20在平面直角坐标系xoy中，已知p是函数f（x）=ex（x0）的图象上的动点，该图象在点p处的切线l交y轴于点m，过点p作l的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21已知曲线c的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin=2（1）将c测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线c交于a，b两点，求ab的长度22设p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0，q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围23某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”p（k2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：k2=24在直角坐标系xoy中，点p到两点（0，），（0，）的距离之和等于4，设点p的轨迹为c，直线y=kx+1与c交于a，b两点（1）写出c的方程；（2）若，求k的值25已知函数f（x）=（1）求f（x）的最大值；（2）当x0时，f（x），求正实数a的取值范围2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1命题“若ab，则2a2b”的逆否命题是（）a若ab，则2a2bb若ab，则2a2bc若2a2b，则 abd若2a2b，则 ab【考点】21：四种命题【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，写出即可【解答】解：命题“若ab，则2a2b”的逆否命题是“若2a2b，则ab”，故选：c2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）a方程x3+ax+b=0没有实根b方程x3+ax+b=0至多有一个实根c方程x3+ax+b=0至多有两个实根d方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【考点】r9：反证法与放缩法【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根故选：a3双曲线的焦点坐标是（）abc（2，0）d（0，2）【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=2，即可得到双曲线的焦点坐标【解答】解：双曲线方程为双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1由此可得c=2，该双曲线的焦点坐标为（2，0）故选：c4甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）abcd【考点】c7：等可能事件的概率【分析】由于甲获胜与两个人和棋或乙获胜成立；甲获胜概率等于1减去和棋概率再减去乙获胜概率即可【解答】解：甲获胜概率是1故选c5设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=（）ae2becdln2【考点】65：导数的乘法与除法法则【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f（x0）=2解方程即可【解答】解：f（x）=xlnxf（x0）=2lnx0+1=2x0=e，故选b6如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）a84，84b84，85c86，84d84，86【考点】ba：茎叶图【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和众数【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选a7如图，m是半径r的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点n，连接mn，则弦mn的长度超过r的概率是（）abcd【考点】cf：几何概型【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦mn的长度超过r的图形测度，再代入几何概型计算公式求解【解答】解：本题利用几何概型求解测度是弧长根据题意可得，满足条件：“弦mn的长度超过r”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦mn的长度超过r的概率是p=故选：d8已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=（）a4b2c4d2【考点】6d：利用导数研究函数的极值【分析】可求导数得到f（x）=3x212，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值【解答】解：f（x）=3x212；x2时，f（x）0，2x2时，f（x）0，x2时，f（x）0；x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；a=2故选d9对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，8），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+x8=2（y1+y2+y3+y8）=6，则实数a的值是（）abcd【考点】bk：线性回归方程【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可【解答】解：x1+x2+x3+x8=2（y1+y2+y3+y8）=6，=， =，样本中心点的坐标为（，），代入回归直线方程得， =+a，a=故选：b10若抛物线y2=8x上一点p到其焦点的距离为9，则点p的坐标为（）a（7，）b（14，）c（7，2）d（7，2）【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】设p的坐标为（m，n），根据抛物线的定义得m+2=9，解出m=7，再将点p（7，n）代入抛物线方程，解之可得n=2，由此得到点p的坐标【解答】解：设p（m，n），则点p到抛物线y2=8x焦点的距离为9，点p到抛物线y2=8x准线x=2的距离也为9，可得m+2=9，m=7点p（7，n）在抛物线y2=8x上n2=87=56，可得n=2，因此，可得点p的坐标为（7，2），故选c11已知函数f（x）=x3ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是（）aa3ba=3ca3d0a3【考点】6b：利用导数研究函数的单调性【分析】求出导函数，令导函数小于等于0在（0，2）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围【解答】解：函数f（x）=x3ax2+1在（0，2）内单调递减，f（x）=3x22ax0在（0，2）内恒成立，即在（0，2）内恒成立，a3，故选a12已知有相同两焦点f1、f2的椭圆和双曲线，p是它们的一个交点，则f1pf2的形状是（）a锐角三角形bb直角三角形c钝有三角形d等腰三角形【考点】kf：圆锥曲线的共同特征【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令p在双曲线的右支上，根据椭圆和双曲线的性质以及勾股定理即可得到结论【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令p在双曲线的右支上，由双曲线的定义|pf1|pf2|=2由椭圆的定义|pf1|+|pf2|=22+2得|pf1|2+|pf2|2=4又|f1f2|=4，|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|，则f1pf2的形状是直角三角形故选b13若命题“xr，ax2ax20”是真命题，则实数a的取值范围是（）a8，0b（8，0c8，0）d（8，0）【考点】2h：全称命题【分析】对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：命题“xr，ax2ax20”是真命题，令f（x）=ax2ax2，a=0时，f（x）=20成立a0时，xr，f（x）=ax2ax20恒成立，则，解得8a0综上可得：8a0故选：a14设f（x），g（x）是定义域为r的恒大于零的可导函数，且f（x）g（x）f（x）g（x）0，则当axb时，有（）af（x）g（x）f（b）g（b）bf（x）g（a）f（a）g（x）cf（x）g（b）f（b）g（x）df（x）g（x）f（a）g（a）【考点】6b：利用导数研究函数的单调性【分析】令f（x）=，可得f（x）=0，xr即可判断出结论【解答】解：令f（x）=，则f（x）=0，xr函数f（x）在（a，b）上单调递减f（a）f（b），即，化为：f（x）g（b）f（b）g（x）故选：a15已知抛物线c：y2=4x的交点为f，直线y=x1与c相交于a，b两点，与双曲线e：=2（a0，b0）的渐近线相交于m，n两点，若线段ab与mn的中点相同，则双曲线e离心率为（）ab2cd【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式求得ab的中点d，将直线方程代入渐近线方程，求得m和n点坐标，则=3，即可求得a=b，e=【解答】解：由题意，设a（x1，y1），b（x2，y2），ab的中点d，整理得：x26x+1=0，由韦达定理可知：x1+x2=6，xd=3，则yd=xd1=3，线段ab的中点坐标为d（3，2）直线y=x1与双曲线的渐近线y=x联立，可得m（，），与双曲线的渐近线y=x联立，可得n（，），线段mn的中点坐标为（，），线段ab与mn的中点相同，=3，a=b，则e=故选：c二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16已知i是虚数单位，则=1+2i【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =，故答案为：1+2i17对任意非零实数a、b，若ab的运算原理如图程序框图所示，则32=2【考点】ef：程序框图【分析】根据ab的运算原理知a=3，b=2，通过程序框图知须执行，故把值代入求解【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，32不成立，故执行，得到32=2故答案为：218将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为48【考点】84：等差数列的通项公式；8b：数列的应用【分析】先找到数的分布规律，求出第n1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第3个数，代入n=10可得【解答】解：由排列的规律可得，第n1行结束的时候共排了1+2+3+（n1）=个数，第n行从左向右的第3个数为+3=，把n=10代入可得第10行从左向右的第3个数为48故答案为：4819曲线c的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件a为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件a发生的概率p（a）=【考点】cc：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】易得总的基本事件共36个，表示椭圆的共15个，由概率公式可得【解答】解：m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数共66=36，事件a表示焦点在x轴上的椭圆”mn，列举可得事件a包含（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共15个p（a）=，故答案为：20在平面直角坐标系xoy中，已知p是函数f（x）=ex（x0）的图象上的动点，该图象在点p处的切线l交y轴于点m，过点p作l的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e1）【考点】6k：导数在最大值、最小值问题中的应用；6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设切点坐标为（m，em），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点m的纵坐标，同理可求出点n的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可【解答】解：设切点坐标为（m，em）该图象在点p处的切线l的方程为yem=em（xm）令x=0，解得y=（1m）em过点p作l的垂线的切线方程为yem=em（xm）令x=0，解得y=em+mem线段mn的中点的纵坐标为t= （2m）em+memt= em+（2m）em+emmem，令t=0解得：m=1当m（0，1）时，t0，当m（1，+）时，t0当m=1时t取最大值（e+e1）故答案为：（e+e1）三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21已知曲线c的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin=2（1）将c测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线c交于a，b两点，求ab的长度【考点】qh：参数方程化成普通方程【分析】（1）消去参数t，求出c的普通方程即可；（2）求出直线l的普通方程，联立直线和圆，求出弦长即可【解答】解：（1）曲线c的参数方程为（t为参数），即，故（x4）2+（y5）2=25；（2）直线l的极坐标方程为sin=2，直线l的普通方程为y=2，由，解得或，故|ab|=822设p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0，q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】2l：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2e：复合命题的真假【分析】（1）利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化简命题p，q，命题p与q都为真命题，即可得出（2）p是q的必要不充分条件，可得，即可解出【解答】解：（1）当a=1，（x1）（x3）0，解得1x3，由解得2x3，p，q均正确，2x3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）p是q的必要不充分条件，p为ax3a，解得1a2，故实数a的取值范围（1，223某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”p（k2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：k2=【考点】bl：独立性检验【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率（3）利用独立性检验进行求解即可【解答】解：（1）300=90，所以应收集90位女生的样本数据（2）由频率分布直方图得12（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75（3）由（2）知，300位学生中有3000.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得k2=4.7623.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”24在直角坐标系xoy中，点p到两点（0，），（0，）的距离之和等于4，设点p的轨迹为c，直线y=kx+1与c交于a，b两点（1）写出c的方程；（2）若，求k的值【考点】j3：轨迹方程；kh：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题中条件：“点p到两点（0，），（0，）的距离之和等于4，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程（2）先将直线方程与椭圆