§2.1　函数及其表示.ppt

函数及其表示 函数与基本初等函数 函数概念与表示 函数单调性 值域最值 函数奇偶性 函数的图象 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数 函数概念与性质 基本初等函数 函数的应用 函数与方程 函数模型的应用 函数与方程 抽象函数 复合函数 函数零点 二分法 一元二次方程根的分布 单调性 同增异减 奇偶性 内偶则偶 内奇同外 赋值法 函数的应用 函数的基本性质 单调性 奇偶性 周期性 对称性 1 求单调区间 定义法 导数法 用已知函数的单调性 2 复合函数单调性 同增异减 1 先看定义域是否关于原点对称 再看f x f x 还是 f x 2 奇函数图象关于原点对称 若x 0有意义 则f 0 0 3 偶函数图象关于y轴对称 反之也成立 f x T f x 周期为T的奇函数有 f T f T 2 f 0 0 函数的概念 定义 列表法 解析法 图象法 表示 三要素 观察法 判别式法 分离常数法 单调性法 最值法 重要不等式 三角法 图象法 线性规划等 定义域 对应关系 值域 函数常见的几种变换 平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换 基本初等函数 正 反 比例函数 一次 二次 函数 幂 指数 对数函数 函数 常见函数模型 幂 指 对函数模型 分段函数 对勾函数模型 轴对称 f a x f a x 中心对称 f a x f a x 2b 忆一忆知识要点 1 函数的基本概念 1 函数的定义设A B是非空的 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的 一个数x 在集合B中都有 的数f x 和它对应 那么就称f A B为从集合A到集合B的一个函数 记作 2 函数的定义域 值域在函数y f x x A中 x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的 显然 值域是集合B的子集 3 函数的三要素 和 4 相等函数 如果两个函数的 和 完全一致 则这两个函数相等 这是判断两函数相等的依据 数集 任意 唯一确定 y f x x A 定义域 值域 定义域 值域 对应关系 定义域 对应关系 忆一忆知识要点 2 函数的表示法表示函数的常用方法有 3 映射的概念设A B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B中 确定的元素y与之对应 那么就称对应f A B为从集合A到集合B的 4 函数与映射的关系由映射的定义可以看出 映射是 概念的推广 函数是一种特殊的映射 要注意构成函数的两个集合A B必须是 解析法 图象法 列表法 都有唯一 一个映射 函数 非空数集 函数的概念及应用 对于 1 函数f x g x 的定义域分别为 x x R且x 0 R 所以二者不是同一函数 对于 3 f x 与g t 的定义域 值域和对应关系均相同 所以f x 和g t 表示同一函数 函数的概念及应用 函数的三要素是 定义域 值域 对应关系 这三要素不是独立的 值域可由定义域和对应关系唯一确定 因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数 特别值得说明的是 对应关系是就效果而言的 判断两个函数的对应关系是否相同 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值 按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 不是指形式上的 即对应关系是否相同 不能只看外形 要看本质 若是用解析式表示的 要看化简后的形式才能正确判断 综上可知 正确的判断是 2 3 答案 2 3 函数与映射 例2 课本改编题 下列对应关系是集合P上的函数的是 1 P Z Q N 对应关系f 对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应 2 P 1 1 2 2 Q 1 4 对应关系 f x y x2 x P y Q 3 P 三角形 Q x x 0 对应关系f 对P中三角形求面积与集合Q中元素对应 2 1 中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素 3 中集合P不是数集 所以 1 和 3 都不是集合P上的函数 函数是一种特殊的对应 要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系 只需要检验 定义域和对应关系是否给出 根据给出的对应关系 自变量在其定义域中的每一个值 是否都有唯一确定的函数值 D A 2 已知映射f A B 其中A B R 对应关系f x y x2 2x 对于实数k B 在集合A中不存在元素与之对应 则k的取值范围是 A k 1B k 1C k 1D k 1 由题意知 方程 x2 2x k无实数根 即x2 2x k 0无实数根 4 1 k 1时满足题意 函数的表示方法 例3 如图 有一直角墙角 两边的长度足够长 在P处有一棵树与两墙的距离分别是am 0 a 12 4m 不考虑树的粗细 现在想用16m长的篱笆 借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD 设此矩形花圃的面积为Sm2 S的最大值为f a 若将这棵树围在花圃内 则函数u f a 的图象大致是 C 函数的表示方法 当a 8时 面积的最大值为定值 当8 a 12时 面积的最大值是一个以a为自变量的二次函数 且在区间 8 12 上是递减的 分类讨论思想是解决本题的关键 龟兔赛跑 讲述了这样的故事 领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟 骄傲起来 睡了一觉 当它醒来时 发现乌龟快到达终点了 于是急忙追赶 但为时已晚 乌龟还是先到达了终点 用s1 s2分别表示乌龟和兔子所行的路程 t为时间 则下图与故事情节相吻合的是 B 根据故事的描述 B图象与事实相吻合 分段函数及其应用 0 方法一由已知得 方法二 x 0时 f x f x 1 f x 2 f x 1 f x f x 1 两式相加得f x 1 f x 2 f x 3 f x f x 6 f x 3 f x f x 的周期为6 因此 f 2013 f 6 335 3 f 3 0 求分段函数的函数值时 应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解 有时每段交替使用求值 若给出函数值求自变量值 应根据每一段的解析式分别求解 但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围 D 忽略分段函数中自变量的限制条件致误 设函数 若f 2 f 0 f 1 3 求关于x的方程f x x的解 02 1 在判断两个函数是否为同一函数时 要紧扣两点 一是定义域相同 二是对应关系相同 2 定义域优先原则 函数定义域是研究函数的基础依据 对函数性质的讨论 必须在定义域上进行 坚持定义域优先的原则 之所以要做到这一点 不仅是为了防止出现错误 有时还会为解题带来很大的方便 1 判断对应是否为映射 即看A中元素是否满足 每元有象 和 且象惟一 但要注意 1 A中不同元素可有相同的象 即允许多对一 但不允许一对多 2 B中元素可无原象 即B中元素可有剩余 2 求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f x0 时 一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集 然后再代入相应的关系式 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 作业布置 作业纸 课时规范训练 P 1 2 预祝各位同学 2013年高考取得好成绩 一 选择题 二 填空题 A组专项基础训练题组 三 解答题 7 甲同学家到乙同学家的途中有一公园 甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km 甲10时出发前往乙家 如图所示 表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y km 与时间x 分 的关系 试写出y f x 的函数解析式 三 解答题 一 选择题 二 填空题 B组专项能力提升题组 三 解答题 1 函数与映射的概念的异同 数集 集合 数x 唯一确定 任意 任意 f A B f A B 用解析法表示函数关系的优点是 函数关系清楚 容易根据自变量的值求出对应的函数值 便于用解析式来研究函数的性质 课堂互动讲练 用图象法表示函数关系的优点是 能直观形象地表示出函数值的变化情况 用列表法表示函数关系的优点是 不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值 课堂互动讲练 已知某人在2009年1月份至6月份的月经济收入如下 1月份为1000元 从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍 用列表 图象 解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y 元 与月份序号x的函数关系 并指出该函数的定义域 值域和对应法则 解 列表法 解 图象法 解 解析法 解析式 y 1000 2x 1 x 1 2 3 4 5 6 其中定义域为 1 2 3 4 5 6 值域为 1000 2000 4000 8000 16000 32000 对应法则f x y 1000 2x 1 规律小结 列表法 图象法和解析式法是表示函数的三种方法 其实质是一样的 只是形式上的区别 列表和图象更加直观 解析式更适合计算和应用 在对待不同题目时 选择不同的表示方法 因为有的函数根本写不出其解析式 1 判断对应是否为映射 即看A中元素是否满足 每元有象 和 象唯一 即可以是 一对一 或者 多对一 2 f A B形成函数时 A即函数的定义域 但B不一定是值域 如果B中的元素都有原象 则B才是值域 即函数就是从定义域到值域的映射 已知函数f x g x 分别由下表给出则f g 1 的值为 满足f g x g f x 的x的值是 1 2 解析 当x 1时 g 1 3 f g 1 f 3 1 而f 1 1 g f 1 g 1 3 不适合f g x g f x 当x 2时 不等式f g x g f x 成立 1 设集合A a b B c d e 则从A到B的映射共有 个 9 总结 1 函数的定义中应注意A B是两个非空的数集 函数的值域C与B的关系是C B 2 在映射中 集合A与B的地位是不对等的 在集合B中不要求每个元素在集合A中都有元素与之对应 即集合B中可以有空闲的元素 D 1 2008 山东 设函数的值为 A C 2 2008 陕西 定义在R上的函数f x 满足f x y f x f y 2xy x y R f 1 2 则f 3 等