高中数学 2.3数学归纳法课件 新人教B版选修22.ppt

数学归纳法1 学习目标 1 通过学习过的归纳推理及几个例子 弄明白数学归纳法的证明原理 重点 2 通过几个证明问题 梳理清楚数学归纳法的一般实施步骤 并会证明等式与不等式恒成立问题 难点 1 5 3 7 9 11 15 你猜 你猜 你猜猜猜 归纳推理 由部分到整体的推理 结论未必正确 可从简单情形出发 观察 归纳 猜想 不完全归纳法 费马 fermat 曾经提出一个猜想 形如fn 22n 1 n 0 1 2 的数都是质数 100年后 费马 1601 1665 法国伟大的业余数学家 欧拉 1707 1783 瑞士数学家及自然科学家 费马您错了 不完全归纳法能帮助我们发现猜想 但不能保证猜想正确 在使用归纳法探究数学命题时 必须对任何可能的情况进行论证后 才能判别命题正确与否 思考1 与正整数n有关的数学命题都能否通过一一验证的办法来加以证明呢 思考2 如果一个数学命题与正整数n有关 我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢 思考 这个游戏中 能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么 多米诺骨牌 domino 是一种用木制 骨制或塑料制成的长方形骨牌 玩时将骨牌按一定间距排列成行 轻轻碰倒第一枚骨牌 其余的骨牌就会产生连锁反应 依次倒下 多米诺是一项集动手 动脑于一体的运动 一幅图案由几百 几千甚至上万张骨牌组成 骨牌需要一张张摆下去 它不仅考验参与者的体力 耐力和意志力 而且还培养参与者的智力 想象力和创造力 多米诺是种文化 它起源于中国 有着上千年的历史 只要满足以下两个条件 所有多米诺骨牌就能全部倒下 2 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 传递 条件 2 事实上给出了一个递推关系 当第k块倒下时 相邻的第k 1块也倒下 思考 你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗 1 第一块骨牌倒下 基础 这种一种严格的证明方法 数学归纳法 数学归纳法的概念 定义 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 归纳奠基 2 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 归纳递推 这种证明方法就叫做 数学归纳法 注意 1 数学归纳法是用来证明与正整数有关的命题 2 数学归纳法的一般步骤 1 证明当n取第一个值n0时命题成立 2 假设当时 命题成立证明当时 命题也成立 基础 传递 3 数学归纳法第二步的证明可以用各种证明方法 但必须用到假设 思考5 试问等式2 4 6 2n n2 n 1成立吗 某同学用数学归纳法给出了如下的证明 请问该同学得到的结论正确吗 解 设n k时成立 即 这就是说 n k 1时也成立 2 4 6 2k k2 k 1 则当n k 1时2 4 6 2k 2 k 1 k2 k 1 2k 2 k 1 2 k 1 1 所以等式对任何n n 都成立 事实上 当n 1时 左边 2 右边 3左边 右边 等式不成立 该同学在没有证明当n 1时 等式是否成立的前提下 就断言等式对任何n n 都成立 为时尚早 下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程 你认为他的证法正确吗 为什么 1 当n 1时 左边 右边 2 假设n k时命题成立即那么n k 1时 左边 右边 即n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对一切正整数 命题均正确 思考6 证明 当n 1时 左边 右边 假设n k时 等式成立 那么n k 1时 等式成立 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 即 第二步的证明没有在假设条件下进行 因此不符合数学归纳法的证明要求 因此 用数学归纳法证明命题的两个步骤 缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 缺了第一步递推失去基础 缺了第二步 递推失去依据 因此无法递推下去 题型一 利用数学归纳法证明等式 应用举例 例1 利用数学归纳法证明等式 证明 1 当n 1时 左边 12 1 右边 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是 那么n k 1时 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 当堂检测1 用数学归纳法证明 证明 1 n 1时 左边 1 右边 2 假设n k时 结论成立 即 当n k 1时 右边 所以 n k 1时 结论成立 由 1 2 可知 题型二 利用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明 证明 1 n 2时 左边 2 假设n k时 结论成立 即 当n k 1时 左边 所以 n k 1时 结论成立 由 1 2 可知 当堂检测2 证明不等