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第二章机器人静力分析与动力学 机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系 目的是对机器人进行控制 优化设计和仿真 机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类问题 动力学正问题是根据各关节的驱动力 或力矩 求解机器人的运动 关节位移 速度和加速度 主要用于机器人的仿真 动力学逆问题是已知机器人关节的位移 速度和加速度 求解所需要的关节力 或力矩 是实时控制的需要 1 2 1机器人雅可比矩阵 机器人雅可比矩阵 简称雅可比 揭示了操作空间与关节空间的映射关系 雅可比不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系 也表示二者之间力的传递关系 为确定机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间速度 加速度和静力的变换提供了便捷的方法 2 1 1机器人雅可比的定义 在机器人学中 雅可比是一个把关节速度向量变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵 2 3 雅可比矩阵关节坐标的表示 4 微元运动线性 角度运动速度传递分析显式求解静力分析 5 二自由度平面关节型机器人 2R机器人 端点位置X Y与关节 1 2的关系 微分形式 6 J称为图2 1所示2R机器人的雅可比矩阵 对于n自由度机器人 关节变量可用广义关节变量q表示 q q1 q2 qn T dq dq1 dq2 dqn T 机器人末端在操作空间的位置和方位 X X q 操作空间的微小运动 dX dX dY dZ D X D Y D Z T 7 n自由度机器人速度雅可比矩阵 8 直接微分法求解雅可比矩阵 m为要描述的平动或者转动投影分量数 比如绕三个坐标轴转动在xyz上投影对应m 9 三个 x1到xm中可能包括平动也可能包括转动 n为关节数 通常也为自由度数 9 10 斯坦福机械手雅可比矩阵示例 Xp为坐标原点 r1 r2 r3表示为坐标轴的单位向量的方向余弦 11 斯坦福机械手位置雅可比矩阵的求解 12 斯坦福机械手姿态雅可比矩阵的求解 13 斯坦福机械手姿态雅可比矩阵的求解 14 15 16 2 1 2机器人速度分析 利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析 对式 2 7 左 右两边各除以dt得 式中 v为机器人末端在操作空间中的广义速度 qdot为机器人关节在关节空间中的关节速度 J q 为确定关节空间速度qdot与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵 17 刚体广义速度雅可比矩阵的表示 18 机械手的笛卡儿空间运动速度与关节空间运动速度之间的变换称之为雅可比矩阵 关节空间向笛卡儿空间速度的传动比 设x为表示机械手末端位姿的广义位置矢量 q为机械手的关节坐标矢量 刚体广义速度雅可比矩阵的表示 19 平行移动情况下的速度分解 20 旋转运动情况下的速度分解 21 矢量叉积的矩阵表示 22 23 旋转和平移同时进行 24 旋转和平移同时进行 25 速度的传递 26 速度传递法求解平面速度雅可比矩阵例题1 27 速度传递法求解平面速度雅可比矩阵例题1 28 矢量积法求解广义速度雅可比矩阵 29 矢量积法求解广义速度雅可比矩阵 30 31 矢量积法求解广义速度雅可比矩阵 zi是坐标系 i 的z轴在基坐标系 o 中的表示 对于移动关节 有 对于转动关节 有 是在在基坐标系 o 中的表示 基坐标系 32 斯坦福机械手速度雅可比矩阵的求解 33 斯坦福机械手广义速度雅可比矩阵的求解 34 35 教材例题2 1 逆雅可比矩阵的示例 例2 1如图2 2所示的二自由度机械手 手部沿固定坐标系X0轴正向以1 0m s的速度移动 杆长l1 l2 0 5m 设在某瞬时 1 30 2 60 求相应瞬时的关节速度 36 解由式 2 6 知 二自由度机械手速度雅可比为 因此 逆雅可比为 37 2 1 3机器人雅可比讨论 机器人的奇异形位分为两类 1 边界奇异形位 当机器人臂全部伸展开或全部折回时 使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近 出现逆雅可比奇异 机器人运动受到物理结构的约束 这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位 2 内部奇异形位 两个或两个以上关节轴线重合时 机器人各关节运动相互抵消 不产生操作运动 这时相应的机器人形位叫做内部奇异形位 38 机器人的奇异点讨论 39 斯坦福机械手的运动学奇点 40 斯坦福机械手的运动学奇点示例 讨论theta5 0的特殊情况 theta5 0时两轴线重合 41 通过雅可比矩阵求解平面机械手的奇点分析示例 42 43 通过雅可比矩阵对斯坦福机械手的奇点分析说明 44 2 2机器人静力分析 机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和力矩 机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩 通过连杆传递到末端执行器 克服外界作用力和力矩 关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制的基础 45 2 2 1操作臂力和力矩的平衡 图2 3所示 杆i通过关节i和i 1分别与杆i 1和i 1相连接 建立两个坐标系 i 1 和 i 定义如下变量 fi 1 i及ni 1 ii 1杆通过关节i作用在i杆上的力和力矩 fi i 1及ni i 1i杆通过关节i 1作用在i 1杆上的力和力矩 fi i 1及 ni i 1i 1杆通过关节i 1作用在i杆上的反作用力和反作用力矩 fn n 1及nn n 1机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩 fn n 1及 nn n 1外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩 f0 1及n0 1机器人机座对杆1的作用力和力矩 mig 连杆i的重量 作用在质心Ci上 46 47 2 2 2机器人力雅可比矩阵 为了便于表示机器人手部端点的力和力矩 简称为端点广义力F 可将fn n 1和nn n 1合并写成一个6维矢量 各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式 即 n为关节的个数 为关节力矩 或关节力 矢量 简称广义关节力矩 对于转动关节 i表示关节驱动力矩 对于移动关节 i表示关节驱动力 48 利用虚功原理推导机器人手部端点力F与关节力矩 的关系 关节虚位移为 qi 末端执行器的虚位移为 X 式中 d dX dY dZ T jX jY jZ T分别对应于末端执行器的线虚位移和角虚位移 q为由各关节虚位移 qi组成的机器人关节虚位移矢量 49 假设发生上述虚位移时 各关节力矩为 i i 1 2 n 环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为 fn n 1和 nn n 1 由上述力和力矩所作的虚功可以由下式求出 或写成 50 根据虚位移原理 机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意符合几何约束的虚位移有 W 0 并注意到虚位移 q和 X之间符合杆件的几何约束条件 利用式 X J q 将式 2 18 写成 式中 q表示从几何结构上允许位移的关节独立变量 对任意的 q 欲使 W 0成立 必有 式 2 20 表示了在静态平衡状态下 手部端点力F和广义关节力矩 之间的线性映射关系 式 2 20 中JT与手部端点力F和广义关节力矩 之间的力传递有关 称为机器人力雅可比 显然 机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵 51 对力雅可比矩阵的补充说明 52 虚功方程力雅可比分析 53 2 2 3机器人静力计算 机器人操作臂静力计算可分为两类问题 1 已知外界环境对机器人手部的作用力F 即手部端点力F F 利用式 2 20 求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩 2 已知关节驱动力矩 确定机器人手部对外界环境的作用力或负载的质量 第二类问题是第一类问题的逆解 逆解的关系式为 54 例2 2图2 5所示为一个二自由度平面关节机械手 已知手部端点力F FX FY T 忽略摩擦 求 1 0 2 90 时的关节力矩 55 56 57 力雅可比矩阵在奇点的情况 58 练习 59 1 分析下图RRRR机械手 其正向变换矩阵和转动雅可比矩阵如下 60 a 求解当各个关节坐标为q 0 900 900 0 T的时候 相对于基坐标系的雅可比矩阵Jo b 一个作用在坐标系 4 上的力 0 6 0 7 0 8 T 在 a 中所描述的位置 计算用于平衡的关节力矩 61 62 将一个矢量变换到某一个参考系 所做的是旋转变换 没有平移部分 故 63 64 2 YouaregiventhatacertainRPRmanipulatorhasthefollowingtransformationmatrices where E istheframeoftheendffector DerivethebasicJacobianrelatingjointvelocitiestotheend effector slinearandangularvelocitiesinframe 0 65 3 ConsidertheplanarPRmanipulatorshownhere a Findtheoriginofframe 3 expressedintermsofframe 0 thatis0P3org b Givethe2 2Jacobianthatrelatesthejointvelocitiestothelinearvelocityof0P3org c Forwhatjointvaluesisthemanipulatoratasingularity Whatmotionisrestrictedatthissingularity 66 2 3机器人动力学方程 机器人动力学的研究有牛顿 欧拉 Newton Euler 法 拉格朗日 Langrange 法 高斯 Gauss 法 凯恩 Kane 法及罗伯逊 魏登堡 Roberon Wittenburg 法等 本节介绍动力学研究常用的牛顿 欧拉方程和拉格朗日方程 67 68 问题1 系统在图示位置平衡 用什么方法求F与M的关系 问题2 系统中OA杆匀角速转动 求在图示位时 力偶M的大小用什么方法 问题的引出 动力学普遍方程的补充 68 设 质点系中第i个质点的质量为mi 作用在其上的主动力Fi 约束力FNi 质点的惯性力为FIi 应用达朗贝尔原理 应用虚位移原理 若质点系所受的约束为理想约束 动力学普遍方程 其中 69 拉格朗日方程 设 具有完整理想约束的非自由质点系有k个自由度系统的广义坐标为 T为系统的动能 一般情况下动能可表示成 70 拉格朗日方程几种形式 1 当主动力均为有势力时 设 L T V 拉格朗日函数或者称为动势 2 当主动力部分为有势力时 71 拉格朗日方程为2阶k维常微分方程组 72 73 动力学的基本方法 牛顿定律 动量定理动量矩定理动能定理 达朗贝尔原理 动静法 虚位移原理 动力学普遍方程和拉格朗日方程 73 Manipulatorrigid bodydynamics 机械手关节空间动力学方程 74 Theequationsmaybederivedviaanumberoftechniques includingLagrangian energybased Newton Euler d Alembert 2 12 orKane s 13 method TheearliestreportedworkwasbyUicker 14 andKahn 15 usingtheLagrangianapproach Duetotheenormouscomputationalcostofthisapproachitwasnotpossibletocomputemanipulatortorqueforreal timecontrol Toachievereal timeperformancemanyapproachesweresuggested Themostcommonapproximationwastoignorethevelocity dependenttermC sinceaccuratepositioningandhighspeedmotionareexclusiveintypicalrobotapplications 75 如图所示RP形机械手 杆件均质 尺寸 质量 质心 如图示忽略关节处的质量 对其进行动力学分析 76 一 计算massmatrix 1 计算雅可比矩阵 77 78 2 计算构件惯性张量矩阵 inertiatensor 79 2 计算构件惯性张量矩阵 inertiatensor 以质心为原点的矩形连杆惯性张量计算公式 80 得到massmatrix的结果 81 二 科氏力和离心力矩阵 82 83 分解为科氏力部分和离心力部分 84 三 计算重力项矩阵 G 85 四 得到结果 86 拉格朗日算子L定义为系统的动能K与势能P的差L K P 3 1 系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示 并不一定要使用笛卡尔坐标 动力学方程通常表述为其中 qi是表示动能和势能的坐标值 是速度 而Fi是对应的力或力矩 Fi是力还是力矩 这取决于qi是直线坐标还是角度坐标 这些力 力矩和坐标分别称为广义力 广义力矩和广义坐标 3 2 拉格朗日 Langrange 法在机器人动力学中应用 87 为了说明问题 我们看一个具体例子 假定有如图3 1所示的两连杆的机械手 两个连杆的质量分别为m1 m2 由连杆的端部质量代表 两个连杆的长度分别为d1 d2 机械手直接悬挂在加速度为g的重力场中 广义坐标为 1和 2 88 动能的一般表达式为 质量m1的动能可直接写出势能与质量的垂直高度有关 高度用y坐标表示 于是势能可直接写出对于质量m2 由图3 1 我们先写出直角坐标位置表达式 然后求微分 以便得到速度 3 4 3 3 3 5 3 6 89 速度的直角坐标分量为 速度平方的值为 3 9 90 从而动能为 3 10 质量的高度由式 3 6 表示 从而势能就是 3 11 91 拉格朗日算子L K P可根据式 3 3 3 4 3 10 和 3 11 求得 3 12 92 为了求得动力学方程 我们现在根据式 6 2 对拉格朗日算子进行微分 3 13 3 14 3 15 93 根据式 3 2 把式 3 14 与 3 15 相减就得到关节1的力矩 3 16 94 3 17 3 18 3 19 用拉格朗日算子对求偏微分 进而得到关节2的力矩方程 95 于是关节2的力矩为 3 20 将式 3 16 和 3 20 重写为如下形式 96 在方程 6 21 和 6 22 中各项系数D的含义如下 Dii 关节i的等效惯量 Effectiveinertia 关节i的加速度使关节i产生的力矩Dij 关节i与关节j之间的耦合惯量 Couplinginertia 关节i或关节j的加速度分别使关节j或i产生的力矩和Dijj 由关节j的速度产生的作用在关节i上的向心力系数 Centripetalforce Dijk 作用在关节i上的复合向心力 哥氏力Coriolisforce 的组合项系数 这是关节j和关节k的速度产生的结果Di 作用在关节i上的重力 Gravity 97 把方程 3 16 3 20 与 3 21 3 22 比较 我们就得到各项系数的值 等效惯量D11 m1 m2 d12 m2d22 2m2d1d2cos 2 3 23 D22 m2d22 3 24 耦合惯量D12 m2d22 m2d1d2cos 2 3 25 向心加速度系数D111 0 3 26 D122 m2d1d2sin 2 3 27 D211 m2d1d2sin 2 3 28 D222 0 3 29 98 哥氏加速度系数D112 D121 m2d1d2sin 2 3 30 D212 D221 0 3 31 重力项为D1 m1 m2 gd1Sin 1 m2gd2Sin 1 2 3 32 D2 m2gd2Sin 1 2 3 33 99 下面给两连杆机械手赋予具体数值 并且对于静止状态 和在无重力环境中的机械手求解方程 6 21 和 6 22 求解在下列两种条件下进行 关节2处于锁定状态 关节2处于自由状态 T2 0 在第一种条件下 方程 6 21 和 6 22 简化为在第二种条件下 T2 0 我们可以由方程 6 22 解出 再把它代入方程 6 21 得到T1 于是 代入方程 6 21 有 3 36 3 35 3 34 100 现在 取定d1 d2 1 m1 2 而对于三个不同的m2值 分别求出各个系数 m2 1 表示机械手无负载情况 m2 4 表示有负载 m2 100 表示位于外太空 无重力环境 的机械手的负载 在外太空 没有重力负载 允许非常大的工作负载 根据求得的系数以及方程 3 34 和 3 35 分别对应关节2的四种不同的锁定状态IL和自由状态If 计算关节1的惯量如下表所示 表中IL表示锁定状态 If表示自由状态 101 102 上面三个表格中 靠右两列表明关节1的等效惯量 表3 1说明 对于无负载的机械手来说 2从0 变为180 在锁定状态情况下 等效惯量IL的变化为3 1 同时 在 2 0 时 锁定状态 IL 和自由状态 If 等效惯量的变化也为3 1 从表6 2可以看出 对于加载机械手 2从0 变为180 在锁定状态情况下 等效惯量IL的变化为9 1 而自由状态等效惯量If的变化为3 1 对于表3 3所示的负载为100的外太空机械手 在不同状态下惯量的变化竟为201 1 这些关联的变化情况对于机械手的控制问题将有重要的影响 103 机械手动力学方程 TheManipulatorDynamicsEquation 推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度 再计算它的动能K 然后推导势能P 形成拉格朗日算子L K P 对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程 104 105 2 3 1欧拉方程 欧拉方程又称为牛顿 欧拉方程 应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指 研究构件质心的运动使用牛顿方程 研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程 欧拉方程表征了力 力矩 惯性张量和加速度之间的关系 质量为m 质心在C点的刚体 作用在其质心的力F的大小与质心加速度aC的关系为 F maC 欲使刚体得到角速度为 角加速度为 的转动 则作用在刚体上力矩M的大小为M CI CI 式中 M 均为三维矢量 CI为刚体相对于原点通过质心C并与刚体固结的刚体坐标系的惯性张量 式 2 22 即为欧拉方程 106 在三维空间运动的任一刚体 其惯性张量CI可用质量惯性矩IXX IYY IZZ和惯性积IXY IYZ IZX为元素的3 3阶矩阵或4 4阶齐次坐标矩阵来表示 通常将描述惯性张量的参考坐标系固定在刚体上 以方便刚体运动的分析 这种坐标系称为刚体坐标系 简称体坐标系 107 2 3 2拉格朗日方程 在机器人的动力学研究中 主要应用拉格朗日方程建立起机器人的动力学方程 这类方程可直接表示为系统控制输入的函数 若采用齐次坐标 递推的拉格朗日方程也可建立比较方便而有效的动力学方程 对于任何机械系统 拉格朗日函数L定义为系统总动能Ek与总势能Ep之差 即 L Ek Ep 2 23 108 由拉格朗日函数L所描述的系统动力学状态的拉格朗日方程 简称L E方程 K和P可以用任何方便的坐标系来表示 为 式中 L为拉格朗日函数 又称拉格朗日算子 n为连杆数目 qi为系统选定的广义坐标 单位为m或rad 具体选m还是rad由qi为直线坐标还是转角坐标来决定 为广义速度 广义坐标qi对时间的一阶导数 单位为m s或rad s 具体选m s还是rad s由是线速度还是角速度来决定 Fi为作用在第i个坐标上的广义力或力矩 单位为N或N m 具体选N还是N m由qi是直线坐标还是转角坐标来决定 i 1 n 2 24 109 考虑式 2 24 中不显含 上式可写成 2 25 应用式 2 25 时应注意 1 系统的势能Ep仅是广义坐标qi的函数 而动能Ek是qi 及时间t的函数 因此拉格朗日函数可以写成L L qi t 2 若是线位移 则是线速度 对应的广义力Fi就是力 若qi是角位移 则是角速度 对应的广义力Fi是力