线面垂直的性质定理习题含详细答案.ppt

直线与平面垂直的性质 1 了解用反证法证明直线与平面垂直的性质定理的证明过程 2 理解直线与平面垂直的性质定理 3 掌握直线与平面垂直的性质定理的应用以及 平行 与 垂直 之间的相互转化 1 本课重点是直线与平面垂直的性质定理及其应用 2 本课难点是利用线面垂直的判定和性质定理进行证明时的 平行 与 垂直 之间的相互转化 直线与平面垂直的性质定理 1 文字语言 垂直于同一平面的两条直线 2 符号语言 3 图形语言 4 作用 线面垂直 作平行线 平行 a b a b 线线平行 1 垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗 提示 共面 由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的 故能确定一个平面 2 三角形的两边可以垂直于同一个平面吗 提示 不可以 若垂直于同一个平面 则这两条边平行 不能构成三角形 3 过一点有几条直线与已知平面垂直 提示 有且只有一条 假设过一点有两条直线与已知平面垂直 由两条直线均与同一平面垂直的性质定理可得这两条直线平行 应无公共点 这与过同一点相矛盾 故只有一条直线 4 垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 解析 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 可由两个平面平行的判定定理推得 答案 平行 剖析直线与平面垂直的性质定理 1 该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下 可得出什么结论 2 定理给出了判定两条直线平行的另一种方法 只要判定这两条直线都与同一个平面垂直 3 定理揭示了空间中 平行 与 垂直 关系的内在联系 提供了 垂直 与 平行 关系相互转化的依据 4 定理的推证过程采用了反证法 对直线与平面垂直的性质定理的理解 技法点拨 1 直线与平面垂直的性质定理的作用 1 直线与平面垂直的性质定理阐明了在两条直线均与同一平面垂直的条件下 可得出直线与直线平行的结论 2 该定理可用来判定两直线平行 揭示了 平行 与 垂直 这两种特殊位置关系之间的转化 2 三个常见结论 1 若两条平行线中的一条垂直于平面 则另一条也垂直于该平面 2 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 3 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 典例训练 1 ABC所在的平面为 直线l AB l AC 直线m BC m AC 则不重合的直线l m的位置关系是 A 相交 B 异面 C 平行 D 不确定2 若a b表示直线 不重合 表示平面 有下列说法 a b a b a a b b a a b b a b a b 其中正确的序号是 解析 1 选C 直线l AB l AC 且AB AC A l 平面 同理直线m 平面 由线面垂直的性质定理可得l m 2 由线面垂直的定义及性质定理可知 正确 中b可能满足b 故 错误 中b可能与 相交但不垂直 也可能平行 故 不正确 答案 变式训练 若l m n表示不重合的直线 表示平面 则下列说法中正确的个数为 l m m n l n l m m n l n m n m n A 1 B 2 C 3 D 0 解析 选C 正确 l m m n l n 又l n 正确 l m m l 又n l n 正确 由线面垂直的定义可知其正确 故正确的有3个 线面垂直的性质定理的应用 技法点拨 证明线线平行的方法 1 在平面内证明线线平行的方法 三角形 梯形中位线的性质 平行四边形对边平行的性质 平行线分线段成比例的性质 两直线平行的判定 如两直线被第三条直线所截 若同位角相等 则两直线平行 2 空间中两直线平行的判定 线线平行的定义 证共面且无公共点 平行公理 线面平行的性质定理 面面平行的性质定理 线面垂直的性质定理 典例训练 1 设l是直线 是两个不同的平面 A 若l l 则 B 若l l 则 C 若 l 则l D 若 l 则l 2 如图所示 ABC是正三角形 AE和CD都垂直于平面ABC 且AE AB 2a CD a F为BE的中点 求证 DF 平面ABC 解析 1 选B 若l l 则 可能相交故A错 若l 则平面 内必存在一直线m与l平行 则m 又m 故 故B对 若 l 则l 或l 故C错 若 l 则l与 关系不确定 故D错 2 解题流程 线线平行 线面垂直 线线平行 线面平行 取AB的中点G 连接FG GC 则FG为 BEA中位线 FG AE AE 平面ABC FG AE FG 平面ABC FG 平面ABC CD 平面ABC FG CD 又FG AE CD a 四边形CDFG为平行四边形 FD CG FD CG CG 平面ABC DF 平面ABC A G B C D E F 互动探究 在本题2中试求证AF BD 解题指南 证明AF BD可以转化为证明AF 平面BDE 证明 取AB的中点G 连接FG GC AE 平面ABC CG 平面ABC CG AE 又 ABC是正三角形 且G为AB的中点 CG AB 又 AE AB A CG 平面ABE 又 AF 平面ABE AF CG 由例题知DF CG AF DF 而EA AB F为BE中点 AF BE 又BE DF F AF 平面BDE AF BD 思考 解答题1 2的关键是什么 提示 1 解答题1的关键是利用题中的垂直关系证得a与l垂直于同一个平面 2 解答题2的关键是在平面ABC中找一直线与直线DF平行 变式训练 如图所示 正方体A1B1C1D1 ABCD中 EF与异面直线AC A1D都垂直相交 求证 EF BD1 解题指南 条件中以垂直最多 因此可通过证明EF BD1与平面AB1C垂直 利用线面垂直的性质定理证明线线平行 为此需作出辅助面 证明 如图所示 连接AB1 B1D1 B1C BD DD1 平面ABCD AC 平面ABCD DD1 AC 又AC BD DD1 BD D AC 平面BDD1B1 又BD1 平面BDD1B1 AC BD1 同理可证BD1 B1C 又B1C AC C BD1 平面AB1C EF AC EF A1D 又A1D B1C EF B1C 又AC B1C C EF 平面AB1C EF BD1 线面垂直的性质的综合应用 技法点拨 线面垂直与平行的相互转化 1 空间中直线与直线垂直 直线与平面垂直 直线与直线平行可以相互转化 每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行 最终达到目的的 2 转化关系 线线垂直线面垂直线线平行 典例训练 1 2012 浙江高考 设l是直线 是两个不同的平面 A 若l l 则 B 若l l 则 C 若 l 则l D 若 l 则l 2 如图所示 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 已知DC DD1 2AD 2AB AD DC AB DC 1 求证 D1C AC1 2 设E是DC上的一点 试确定E的位置 使D1E 平面A1BD 并说明理由 解析 1 选B 若l l 则 可能相交 故A错 若l 则平面 内必存在一直线m与l平行 又l 则m 又m 故 故B对 若 l 则l 或l 故C错 若 l 则l与 关系不确定 故D错 2 1 连接C1D DC DD1 四边形DCC1D1是正方形 DC1 D1C AD DC AD DD1 DC DD1 D AD 平面DCC1D1 又D1C 平面DCC1D1 AD D1C 又AD DC1 D D1C 平面ADC1 D1C AC1 2 如图 连接AD1 AE D1E 设AD1 A1D M BD AE N 连接MN 平面AD1E 平面A1BD MN 要使D1E 平面A1BD 需使MN D1E 又M是AD1的中点 N是AE的中点 又易知 ABN EDN AB DE 即E是DC的中点 综上所述 当E是DC的中点时 可使D1E 平面A1BD A B C D N E M B1 C1 D1 A1 变式训练 如图 在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD中 当底面四边形ABCD满足什么条件时 有A1C B1D1 注 写出一个你认为正确的条件即可 不必考虑所有可能的情形 解析 连接BD BD B1D1 要使A1C B1D1 即使A1C BD 又 A1A A1C A1 BD 平面A1AC AC 平面A1AC AC BD 由以上分析知 要使A1C B1D1 须使AC BD 或任何可能推导出AC BD的条件 如四边形ABCD是正方形 菱形等 规范解答 线面垂直证线线平行 典例 12分 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M是AB上一点 N是A1C的中点 MN 平面A1DC 求证 1 MN AD1 2 M是AB的中点 解题指导 规范解答 1 ADD1A1为正方形 AD1 A1D 1分又 CD 平面ADD1A1 CD AD1 3分 A1D CD D AD1 平面A1DC 4分又MN 平面A1DC MN AD1 6分 2 连接ON 在 A1DC中 A1O OD A1N NC ONCDAB ON AM 8分又 由 1 可知MN OA 四边形AMNO为平行四边形 ON AM ON AB AM AB 11分 M是AB的中点 12分 规范训练 12分 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 且四边形ABCD是矩形 AE PD于E l 平面PCD 求证 l AE 解题设问 1 本题给出的条件中都有哪几类垂直关系 2 若证线线平行 可利用的根据是什么 只要证得 利用 定理 即可证明l AE 线面垂直和线线垂直 AE 平面PCD 线面垂直的性质 规范答题 PA 平面ABCD CD 平面ABCD PA CD 4分又CD AD PA AD A CD 平面PAD 又 AE 平面PAD AE DC 8分又 AE PD PD CD D AE 平面PCD 又 l 平面PCD AE l 12分 1 直线l垂直于平面 m 则有 A l m B l和m异面 C l和m相交 D l和m不平行 达标训练 2 已知l与m是两条不同的直线 且直线l 平面 若直线m l 则m 若m 则m l 若m 则m l 若m l 则m 上述判断正