(第3章解线性方程组的数值解法)3z

1 3 4向量和矩阵的范数 为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性 我们需要对Rn n维向量空间 中的向量或Rnxn中矩阵的 大小 引入一种度量 向量和矩阵的范数 2 向量和矩阵的范数 在一维数轴上 实轴上任意一点x到原点的距离用 x 表示 而任意两点x1 x2之间距离用 x1 x2 表示 3 向量和矩阵的范数 而在二维平面上 平面上任意一点P x y 到原点的距离用表示 而平面上任意两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 的距离用表示 推广到n维空间 则称为向量范数 4 向量范数 5 常见的向量范数 6 向量范数性质 7 向量范数性质 等价性质 8 向量的收敛性 9 10 3 4 2矩阵范数 11 相容范数 12 常见的矩阵范数 13 常见的矩阵范数 14 对称矩阵范数 15 例题 16 3 4 3矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性 17 例题 18 谱半径和矩阵序列的收敛性 19 20 矩阵序列的收敛性 21 22 3 5病态方程组与矩阵的条件数 23 3 5 1病态方程组与扰动方程组的误差分析 24 病态方程组与扰动方程组的误差分析 25 病态方程组与扰动方程组的误差分析 26 病态方程组与扰动方程组的误差分析 27 病态方程组与扰动方程组的误差分析 28 病态方程组 扰动方程由于计算机字长限制 在解AX b时 舍入误差是不可避免的 因此我们只能得出方程的近似解 是方程组 A A x b b 1 29 在没有舍入误差的解 称方程 1 为方程Ax b的扰动方程 其中 A b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量 当 A b的微小扰动 解得 1 的解与Ax b的解x的相对误差不大称为良态方程 否则为病态方程 30 扰动方程组的误差界 31 32 3 5 2矩阵的条件数 33 34 矩阵的条件数的性质 35 例题 36 简单迭代法 将变为另一种等价形式 选取的某一近似值 则按递推关系产生的迭代序列 这种方法算为简单迭代法 37 3 6解线性方程组的迭代法 38 3 6 1解线性方程组迭代法概述 39 解线性方程组迭代法概述 40 解线性方程组迭代法概述 41 解线性方程组迭代法概述 42 3 6 2Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法 43 Jacobi迭代法 44 Jacobi迭代法 45 例题 46 例题 47 Jacobi迭代法的矩阵形式 48 Jacobi迭代法的算法 49 Gauss Seidel迭代法 50 Gauss Seidel迭代法 51 例题 52 Gauss Seidel迭代法的算法 53 3 6 3线性方程组迭代法收敛条件 54 迭代法的收敛条件 55 迭代法的收敛条件 56 迭代法的误差估计 57 迭代法的误差估计 58 迭代法的误差估计 59 收敛的判别条件 60 收敛的判别条件 61 收敛的判别条件 62 收敛的判别条件 63 收敛的判别条件 64 例题 65 例题 66 例题 67 例题 68 复习 关于线性方程组的数值解法一般有两类 直接法 经过有限步算术运算 可求得方程组的精确解的方法 若在计算过程中没有舍入误差 高斯消去法 列主元消去法 高斯 约当消去法 矩阵求逆矩阵三角分解 Doolittle分解 Cholesky分解三对角方程组 追赶法迭代法 用某种极限过