高三数学单元总复习课件10.ppt

第三节等比数列 基础梳理 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 通常用字母q表示 2 等比数列的通项公式一般地 对于等比数列 an 的第n项an 有公式an a1qn 1 这就是等比数列 an 的通项公式 其中a1为首项 q为公比 3 等比中项如果a G b成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am qn m n m N 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n N 则ak al am an 3 若 an bn 项数相同 是等比数列 则 bn 0 仍是等比数列 5 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为Sn 当q 1时 Sn na1 当q 1时 Sn a1 a1q a1qn 1 即 6 等比数列前n项和的性质等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数列 题型一等比数列的基本运算 例1 设等比数列 an 的公比为q q 0 它的前n项和为40 前2n项和为3280 且前n项中数值最大项为27 求数列的第2n项 分析利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组 求出a1与q即可 但是需注意的是应分q 1和q 1两种情况讨论 解若q 1 则na1 40 2na1 3280 矛盾 得1 qn 82 qn 81 将 代入 得q 1 2a1 又 q 0 qn 81 q 1 an 为递增数列 an a1qn 1 27 由 得q 3 a1 1 n 4 a2n a8 1 37 2187 学后反思在等比数列求基本量的运算中 知三求二 问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程 组 解之即可 同时利用前n项和公式时需对q进行讨论 解析 a9 a10 a a9 1 q a 又 a19 a20 b a19 1 q b 由得则a99 1 q x 由得答案 举一反三1 2009 潍坊模拟 在等比数列 中 a 0 则 题型二等比数列的判定 例2 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 n N 1 求证 数列 an 1 是等比数列 2 求通项公式an 分析利用等比数列的定义证明为非零常数即可 解 1 an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 an 1 是以a1 1 2为首项 2为公比的等比数列 2 由 1 知an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 学后反思等比数列的判定方法主要有 1 定义法 q是不为0的常数 n N 2 通项公式法 an cqn c q均是不为0的常数 n N 3 中项公式法 a2n 1 an an 2 an an 1 an 2不为零 n N 4 前n项和公式法 是常数 且q 0 q 1 举一反三2 2010 合肥质检 已知数列 的前n项和为 数列 是公比为2的等比数列 求证 数列 成等比数列的充要条件是 证明 数列 是公比为2的等比数列 即 n 1 n 1 n 2 n 2显然 当n 2时 充分性 当时 所以对n N 都有 即数列 是等比数列 必要性 因为 是等比数列 所以 即 解得 题型三等比数列的性质 例3 1 在等比数列 an 中 a1 a2 324 a3 a4 36 求a5 a6的值 2 已知一个等比数列的前四项之积为 第2 3项的和为 求这个等比数列的公比 分析 1 利用等比数列的性质求解 2 注意4个数成等比数列的设法 解 1 由等比数列的性质 知a1 a2 a3 a4 a5 a6也成等比数列 则 a3 a4 2 a1 a2 a5 a6 a5 a6 4 2 依题意 设这四个数为a aq aq2 aq3 则学后反思在等比数列的基本运算问题中 一般是建立a1 q满足的方程组 求解方程组 但如果可利用等比数列的性质 便可减少运算量 提高解题速度 要注意挖掘已知 注意 隐含条件 举一反三3 1 在等比数列 an 中 S4 1 S8 3 求a17 a18 a19 a20的值 2 在等比数列 an 中 已知a3a4a5 8 求a2a3a4a5a6的值 解析 1 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12 S20 S16成等比数列 而S4 1 S8 S4 2 a17 a18 a19 a20 S4 24 1 24 16 a3a5 a24 a3a4a5 a34 8 a4 2 又 a2a6 a3a5 a24 a2a3a4a5a6 32 题型四等比数列的最值问题 例4 14分 等比数列 an 的首项为a1 2008 公比 1 设f n 表示该数列的前n项的积 求f n 的表达式 2 当n取何值时 f n 有最大值 分析 1 求出等比数列的通项公式an 然后根据f n a1a2a3 an求f n 的表达式 2 先判断f n 的符号 然后根据 f n 的单调性 进一步解决问题 解 当n 12时 f n 有最大值为学后反思只要明确a1的正负 q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和 但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有 一是用定义 若f n f n 1 f n f n 1 则f n 为最大值 二是用函数法 举一反三4 2009 潍坊模拟 已知等比数列 bn 与数列 an 满足bn n N 1 判断 an 是何种数列 并给出证明 2 若a8 a13 m 求b1 b2 b20 3 若b3 b5 39 a4 a6 3 求b1 b2 bn的最大或最小值 解析 1 证明 设 bn 的公比为q bn 3an 3a1 qn 1 3an an a1 n 1 log3q an 是以a1为首项 log3q为公差的等差数列 2 a8 a13 m 由等差数列的性质 得a1 a20 a8 a13 m 3 由b3 b5 39 得a3 a5 9 易错警示 例1 2010 临沂质检 已知数列 中 前n项的和为 对任意的自然数n 2 是与的等差中项 1 求 的通项公式 2 求 错解 1 由已知得 又 得 两式相减得 故 又 故 2 由于 是首项为1 公比为的等比数列 故 错解分析错解 1 主要忽视了成立的前提n 2 只能说明数列从第2项起为等比数列 至于整个数列 an 是否为等比数列还需验证是否等于 这种在解答过程中忽视数列 定义域 限制而致错的题目频率是非常高的 应引起足够的重视 正解 1 由已知 当n 2时 又 由 得 n 2 上两式相减得 成等比数列 其中 即 当n 2时 即 n 1 2 当n 2时 当n 1时 也符合上述公式 例2 已知一个等比数列的前四项之积为116 第2项 第3项的和为2 求这个等比数列的公比 错解依题意 设这四个数为 aq 则 由 得 代入 并整理 得解得或故原等比数列的公比为或 错解分析从表面上看 这种解法正确无误 但认真审查整个解题过程 由于设这四个数为 aq aq2 公比为q2 就等于规定了这个等比数列各项要么同正 要么同负 而例题中无此规定 错误就出在这里 正解依题意 设这四个数为a aq aq2 aq3 则解得或 考点演练 10 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 若 求 解析 由等比数列性质得 成等比数列 则 由得 又 解得 11 2010 惠州模拟 设正项等比数列 的前n项和为 已知 1