高二数学(新人教必修5)：《解三角形的应用举例》.ppt

解 斜 三 角 形 的应用 解三角形问题是三角学的基本问题之一 什么是三角学 三角学来自希腊文 三角形 和 测量 最初的理解是解三角形的计算 后来 三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科 解三角形的方法在度量工件 测量距离和高度及工程建筑等生产实际中 有广泛的应用 在物理学中 有关向量的计算也要用到解三角形的方法 我国古代很早就有测量方面的知识 公元一世纪的 周髀算经 里 已有关于平面测量的记载 公元三世纪 我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形 正十二边形的边长时 就已经取得了某些特殊角的正弦 正弦定理 余弦定理 R为三角形的外接圆半径 请回答下列问题 2 关于解斜三角形 你掌握了哪几种类型 例1海上有A B两个小岛相距10海里 从A岛望C岛和B岛成60 的视角 从B岛望C岛和A岛成75 的视角 那么B岛和C岛间的距离是 A C B 解斜三角形 解 应用正弦定理 C 45 BC sin60 10 sin45 BC 10sin60 sin45 知道它有多远吗 例2 为了开凿隧道 要测量隧道口D E间的距离 为此在山的一侧选取适当的点C 如图 测得CA 482m CB 631 5m ACB 56018 又测得A B两点到隧道口的距离AD 80 12m BE 40 24m A D E B在一直线上 计算隧道DE的长 C 解斜三角形 由余弦定理可解AB长 进而求DE 析 知道它有多宽吗 解斜三角形理论在实地测量中的应用 解斜三角形 解三角形的应用 实地测量举例 例3 为了测定河对岸两点A B间的距离 在岸边选定1公里长的基线CD 并测得 ACD 90o BCD 60o BDC 75o ADC 30o 求A B两点的距离 A B C D 知道它有多长吗 练习1 一艘船以32 2nmile hr的速度向正北航行 在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向 30min后航行到B处 在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向 已知距离此灯塔6 5nmile以外的海区为航行安全区域 这艘船可以继续沿正北方向航行吗 练习2 自动卸货汽车的车厢采用液压机构 设计时需要计算油泵顶杆BC的长度 已知车厢的最大仰角是60 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1 95m AB与水平线之间的夹角为6 20 AC长为1 40m 计算BC的长 精确到0 01m 已知 ABC中AB 1 95m AC 1 40m 夹角 CAB 66 20 求BC 解 由余弦定理 得 答 顶杆BC约长1 89m 解斜三角形应用举例 小结 实际问题 注意合理性 例4 AB是底部B不可到达的一个建筑物 A为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析 由于建筑物的底部B是不可到达的 所以不能直接测量出建筑物的高 由解直角三角形的知识 只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA 并测出由点C观察A的仰角 就可以计算出建筑物的高 所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长 解 选择一条水平基线HG 使H G B三点在同一条直线上 由在H G两点用测角仪器测得A的仰角分别是 CD a 测角仪器的高是h 那么 在 ACD中 根据正弦定理可得 例4 AB是底部B不可到达的一个建筑物 A为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度AB的方法 例5 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 54 40 在塔底C处测得A处的俯角 50 1 已知铁塔BC部分的高为27 3m 求出山高CD 精确到1m 分析 根据已知条件 应该设法计算出AB或AC的长 解 在 ABC中 BCA 90 ABC 90 BAC BAD 根据正弦定理 CD BD BC 177 27 3 150 m 答 山的高度约为150米 例6 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15 的方向上 行驶5km后到达B处 测得此山顶在东偏南25 的方向上 仰角8 求此山的高度CD 分析 要测出高CD 只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长 根据已知条件 可以计算出BC的长 例6 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15 的方向上 行驶5km后到达B处 测得此山顶在东偏南25 的方向上 仰角8 求此山的高度CD 解 在 ABC中 A 15 C 25 15 10 根据正弦定理 CD BC tan DBC BC tan8 1047 m 答 山的高度约为1047米 例7一艘海轮从A出发 沿北偏东75 的方向航行67 5nmile后到达海岛B 然后从B出发 沿北偏东32 的方向航行54 0nmile后到达海岛C 如果下次航行直接从A出发到达C 此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到0 1 距离精确到0 01nmile 解 在 ABC中 ABC 180 75 32 137 根据余弦定理 所以 CAB 19 0 75 CAB 56 0 答 此船应该沿北偏东56 0 的方向航行 需要航行113 15nmile 例8 在 ABC中 根据下列条件 求三角形的面积S 精确到0 1cm 1 已知a 14 8cm c 23 5cm B 148 5 2 已知B 62 7 C 65 8 b 3 16cm 3 已知三边的长分别为a 41 4cm b 27 3cm c 38 7cm 例9 在某市