2[1].3确定二次函数的表达式.ppt

2 3求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式 一 一般式 y ax bx c a b c为常数 a 0 求二次函数y ax2 bx c的解析式 关键是求出待定系数a b c的值 由已知条件 如二次函数图像上三个点的坐标 列出关于a b c的方程组 并求出a b c 就可以写出二次函数的解析式 例1已知 抛物线y ax2 bx c过点 2 1 1 2 0 5 三点 求抛物线的解析式 解 由题意可得 22a 2b c 1 a b c 2 c 5 解之得 a 5 b 12 c 5 所以抛物线的解析式是 y 5x2 12x 5 例2 解 设所求的二次函数为y ax2 bx c 由条件得 a b c 10a b c 44a 2b c 7 解方程得 a 2 b 3 c 5 所以所求二次函数是 y 2x2 3x 5 二 顶点式y a x h 2 k a h k为常数a 0 1 若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时 通过设函数的解析式为顶点式y a x h 2 k 2 特别地 当抛物线的顶点为原点是 h 0 k 0 可设函数的解析式为y ax2 3 当抛物线的对称轴为y轴时 h 0 可设函数的解析式为y ax2 k 4 当抛物线的顶点在x轴上时 k 0 可设函数的解析式为y a x h 2 解 1 已知抛物线的顶点为 1 3 与y轴交点为 0 5 求该抛物线的解析式 所以设所求的二次函数解析式为 y a x 1 2 3 因为已知抛物线的顶点为 1 3 又点 0 5 在抛物线上 a 3 5 解得a 2 故所求的抛物线解析式为y 2 x 1 2 3 即 y 2x2 4x 5 2 已知一个二次函数的图象经过点 4 3 并且当x 3时有最大值4 试确定这个二次函数的解析式 解法1 利用一般式 设二次函数解析式为 y ax2 bx c a 0 由题意知16a 4b c 3 b 2a 3 4ac b2 4a 4解方程组得 a 7b 42c 59 二次函数的解析式为 y 7x2 42x 59 解法2 利用顶点式 当x 3时 有最大值4 顶点坐标为 3 4 设二次函数解析式为 y a x 3 2 4 函数图象过点 4 3 a 4 3 2 4 3 a 7 二次函数的解析式为 y 7 x 3 2 4 3 二次函数y ax2 bx c的图象过点A 0 5 B 5 0 两点 它的对称轴为直线x 3 求这个二次函数的解析式 解 二次函数的对称轴为直线x 3 设二次函数表达式为y a x 3 2 k图象过点A 0 5 B 5 0 两点 5 a 0 3 2 k0 a 5 3 2 k解得 a 1k 4 二次函数的表达式 y x 3 2 4即y x2 6x 5 小结 已知顶点坐标 h k 或对称轴方程x h时优先选用顶点式 三 交点式y a x x1 x x2 a x1 x2为常数a 0 当抛物线与x轴有两个交点为 x1 0 x2 0 时 二次函数y ax2 bx c可以转化为交点式y a x x1 x x2 因此当抛物线与x轴有两个交点为 x1 0 x2 0 时 可设函数的解析式为y a x x1 x x2 在把另一个点的坐标代入其中 即可解得a 求出抛物线的解析式 交点式y a x x1 x x2 x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标 这两个交点关于抛物线的对称轴对称 则直线就是抛物线的对称轴 1 已知二次函数与x轴的交点坐标为 1 0 1 0 点 0 1 在图像上 求其解析式 解 设所求的解析式为 抛物线与x轴的交点坐标为 1 0 1 0 又 点 0 1 在图像上 a 1 即 解 交点式 二次函数图象经过点 3 0 1 0 设二次函数表达式为 y a x 3 x 1 函数图象过点 1 4 4 a 1 3 1 1 得a 1 函数的表达式为 y x 1 x 3 x2 2x 3 2 已知二次函数图象经过点 1 4 1 0 和 3 0 三点 求二次函数的表达式 其它解法 一般式 设二次函数解析式为y ax2 bx c 二次函数图象过点 1 4 1 0 和 3 0 a b c 4 a b c 0 9a 3b c 0 解得 a 1b 2c 3 函数的解析式为 y x2 2x 3 顶点式 解 抛物线与x轴相交两点 1 0 和 3 0 1 3 2 1 点 1 4 为抛物线的顶点可设二次函数解析式为 y a x 1 2 4 抛物线过点 1 0 0 a 1 1 2 4得a 1 函数的解析式为 y x 1 2 4 3已知二次函数的图象在x轴上截得的线段长是4 且当x 1 函数有最小值 4 求这个二次函数的解析式 由题意 得 解 设图象与x轴的交点坐标为 0 0 把 1 4 代入上式得 4 a 1 3 1 1 解得 a 1 y x2 2x 3 四 用平移式求二次函数的解析式 1 将抛物线向左平移4个单位 再向下平移3个单位 求平移后所得抛物线的解析式 解法 将二次函数的解析式 转化为顶点式得 1 由向左平移4个单位得 左加右减 2 再将向下平移3个单位得 上加下减 即 所求的解析式为 一 求二次函数的解析式的一般步骤 一设 二列 三解 四还原 二 二次函数常用的几种解析式的确定 1 一般式 已知抛物线上三点的坐标 通常选择一般式 已知抛物线上顶点坐标 对称轴或最值 通常选择顶点式 已知抛物线与x轴的交点坐标 选择交点式 2 顶点式 3 交点式 4 平移式 将抛物线平移 函数解析式中发生变化的只有顶点坐标 可将原函数先化为顶点式 再根据 左加右减 上加下减 的法则 即可得出所求新函数的解析式 二次函数关系 y ax2 a 0 y ax2 k a 0 y a x h 2 k a 0 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 a 0 顶点式 一般式 y a x x1 x x2 a 0 交点式 三 求二次函数解析式的思想方法 1 求二次函数解析式的常用方法 2 求二次函数解析式的常用思想 3 二次函数解析式的最终形式 待定系数法 配方法 数形结合等 转化思想 解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解 最后结果最好化为一般式 活学活用加深理解 1 某抛物线是将抛物线y ax2向右平移一个单位长度 再向上平移一个单位长度得到的 且抛物线过点 3 3 求该抛物线表达式 顶点坐标 1 1 设y a x 1 2 12 已知二次函数的对称轴是直线x 1 图像上最低点P的纵坐标为 8 图像还过点 2 10 求此函数的表达式 顶点坐标 1 8 设y a x 1 2 83 已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4 且当x 1时 函数有最小值 4 求此表达式 顶点坐标 1 4 设y a x 1 2 44 某抛物线与x轴两交点的横坐标为2 6 且函数的最大值为2 求函数的表达式 顶点坐标 4 2 设y a x 4 2 2 2 已知二次函数的图像过原点 当x 1时 y有最小值为 1 求其解析式 解 设二次函数的解析式为 x 1 y 1 顶点 1 1 又 0 0 在抛物线上 a 1 即 解 设y a x 1 2 3 1 已知抛物线的顶点为 1 3 与x轴交点为 0 5 求抛物线的解析式 0 5 5 a 3a 2 y 2 x 1 2 3 即 y 2x2 4x 5 练习 y 2 x2 2x 1 3 所以设所求的二次函数为y a x 1 x 1 3 已知抛物线与X轴交于A 1 0 B 1 0 并经过点M 0 1 求抛物线的解析式 又 点M 0 1 在抛物线上 a 0 1 0 1 1 解得 a 1 故所求的抛物线解析式为y x 1 x 1 即 y x2 1 解 因为抛物线与x轴的交点为A 1 0 B 1 0 选择最优解法 求下列二次函数解析式 1 已知抛物线的图象经过点 1 4 1 1 2 2 设抛物线解析式为 2 已知抛物线的顶点坐标 2 3 且经过点 1 4 设抛物线解析式为 3 已知二次函数有最大值6 且经过点 2 3 4 5 设抛物线解析式为 4 已知抛物线的对称轴是直线x 2 且经过点 1 3 5 6 设抛物线解析式为 5 已知抛物线与x轴交于点A 1 0 B 1 0 且经过点 2 3 设抛物线解析式为 做一做 题组训练 1 已知二次函数的最大值是2 图象顶点在直线y x 1上 并且图象经过点 3 6 求二次函数的解析式 2 已知抛物线的顶点坐标为 与轴交于点 求这条抛物线的解析式 3 已知抛物线过A 2 0 B 1 0 C 0 2 三点 求这条抛物线的解析式 4 根据下列条件 求二次函数的解析式 1 图象经过 0 0 1 2 2