甘肃省兰州市高考数学下学期冲刺考试试题 文（含解析）.doc

2017年甘肃省兰州市高考数学冲刺试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合a=x|2x2，集合b=x|x22x30，则ab=（）a（，1）（3，+）b（1，2c（，2（3，+）d2，1）2设复数z满足zi=12i，则|z|=（）a5bc2d3等差数列an的前n项和为sn，且满足a4+a10=20，则s13=（）a6b130c200d2604已知|=|=2， （）=2，则|2|=（）a2bc4d85“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y=a7平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a8b7cd7在平面直角坐标系xoy中，已知过点m（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y2）2=5相切，且与直线ax+y1=0垂直，则实数a=（）ab2cd38已知实数x，y满足条件，则z=x+2y的最小值为（）ab4c2d39宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）a2b3c4d510已知函数f（x）=cos（2x）sin（2x）（|）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则f（x）在区间上的最小值为（）a1bcd211m为双曲线c： =1（a0，b0）右支上一点，a、f分别为双曲线的左顶点和右焦点，且maf为等边三角形，则双曲线c的离心率为（）a1b2c4d612定义在r上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x0时，不等式f（x）xf（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）a1b2c3d4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知命题p：x0，总有（x+1）ex1则p为 14现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 15在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 16已知三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球o的表面上，且三棱柱的体积为，则球o的表面积为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足sin2a+sin2b=sin2csinasinb（）求角c；（）若，abc的中线cd=2，求abc面积s的值18某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率（）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（）用分层抽样的方法共抽取10天，则空气质量指数在（0，50，（50，100，已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4000元若在（）的条件下，从空气质量指数在（0，150的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为4000元的概率19在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，ab=3，abc=45，p点在底面abcd内的射影e在线段ab上，且pe=2，be=2ea，m在线段cd上，且 （）证明：ce平面pab；（）在线段ad上确定一点f，使得平面pmf平面pab，并求三棱锥pafm的体积20已知椭圆的离心率为，且点在椭圆c上（）求椭圆c的标准方程；（）若斜率为k的直线l交椭圆c于a，b两点，求oab面积的最大值21设函数（）讨论函数f（x）的单调性；（）已知函数f（x）有极值m，求证：m1（已知ln0.50.69，ln0.60.51）选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为（为参数），以o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆c的普通方程；（）直线l的极坐标方程是，射线与圆c的交点为o、p，与直线l的交点为q，求线段pq的长选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x1|+|x+1|，p为不等式f（x）4的解集（）求p；（）证明：当m，np时，|mn+4|2|m+n|2017年甘肃省兰州一中高考数学冲刺试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合a=x|2x2，集合b=x|x22x30，则ab=（）a（，1）（3，+）b（1，2c（，2（3，+）d2，1）【考点】1d：并集及其运算【分析】求解一元二次不等式化简集合b，然后直接利用并集运算得答案【解答】解：由x22x30，解得x1或x3b=x|x1或x3=（，1）（3，+）又集合a=x|2x2=2，2，ab=（，2（3，+）故选：c2设复数z满足zi=12i，则|z|=（）a5bc2d【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由zi=12i，得，|z|=故选：b3等差数列an的前n项和为sn，且满足a4+a10=20，则s13=（）a6b130c200d260【考点】85：等差数列的前n项和【分析】由等差数列前n项和公式及通项公式得s13=（a1+a13）=（a4+a10），由此能求出结果【解答】解：等差数列an的前n项和为sn，且满足a4+a10=20，s13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130故选：b4已知|=|=2， （）=2，则|2|=（）a2bc4d8【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】由已知可得，再由|2|=，展开后代入数量积公式得答案【解答】解：由|=|=2， （）=2，得，则|2|=故选：b5“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y=a7平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】2l：必要条件、充分条件与充要条件的判断；i7：两条直线平行的判定【分析】先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论【解答】解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=2，a=2时，两条直线都为xy+3=0，重合，舍去a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a1）ya+7=0平行”的充要条件故选：c6已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a8b7cd【考点】l!：由三视图求面积、体积；lf：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图画出几何体的直观图，计算正方体和截去的两个三棱锥的体积，相减可得答案【解答】解：由已知可得该几何体的直观图如下图所示：故几何体的体积v=222112122=7，故选：b7在平面直角坐标系xoy中，已知过点m（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y2）2=5相切，且与直线ax+y1=0垂直，则实数a=（）ab2cd3【考点】j9：直线与圆的位置关系【分析】求出直线ax+y1=0的斜率a，判断点与圆的位置关系，然后列出方程，即可得出结论【解答】解：由题意，点m（1，1）满足圆（x+1）2+（y2）2=5的方程，所以，点在圆上，圆的圆心（1，2），过点m（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y2）2=5相切，且与直线ax+y1=0垂直，所以直线ax+y1=0的斜率a=，a=故选：a8已知实数x，y满足条件，则z=x+2y的最小值为（）ab4c2d3【考点】7c：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件写出可行域如图，化z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过a（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=2+20=2故选：c9宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）a2b3c4d5【考点】ef：程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选c10已知函数f（x）=cos（2x）sin（2x）（|）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则f（x）在区间上的最小值为（）a1bcd2【考点】hj：函数y=asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最小值【解答】解：知函数f（x）=cos（2x）sin（2x）=2cos（2x+），（|）的图象向右平移个单位后，可得y=2cos（2x+）=2cos（2x+） 的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+=k，kz，故=，f（x）=2cos（2x+）在区间上，2x+，cos（2x+），1，故f（x） 的最小值为2（）=，故选：c11m为双曲线c： =1（a0，b0）右支上一点，a、f分别为双曲线的左顶点和右焦点，且maf为等边三角形，则双曲线c的离心率为（）a1b2c4d6【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】求出m的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，即可求出双曲线c的离心率【解答】解：由题意，a（a，0），f（c，0），m（，），由双曲线的定义可得=c23ac4a2=0，e23e4=0，e=4故选：c12定义在r上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x0时，不等式f（x）xf（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）a1b2c3d4【考点】6a：函数的单调性与导数的关系【分析】由不等式f（x）xf（x）在（0，+）上恒成立，得到函数h（x）=xf（x）在x0时是增函数，再由函数y=f（x）是定义在r上的奇函数得到h（x）=xf（x）为偶函数，结合f（0）=f（3）=f（3）=0，作出两个函数y1=xf（x）与y2=lg|x+1|的大致图象，即可得出答案【解答】解：定义在r的奇函数f（x）满足：f（0）=0=f（3）=f（3），且f（x）=f（x），又x0时，f（x）xf（x），即f（x）+xf（x）0，xf（x）0，函数h（x）=xf（x）在x0时是增函数，又h（x）=xf（x）=xf（x），h（x）=xf（x）是偶函数；x0时，h（x）是减函数，结合函数的定义域为r，且f（0）=f（3）=f（3）=0，可得函数y1=xf（x）与y2=lg|x+1|的大致图象如图所示，由图象知，函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个故选：c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知命题p：x0，总有（x+1）ex1则p为x00，使得【考点】2j：命题的否定【分析】命题p是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化【解答】解：命题p：x0，总有（x+1）ex1”是全称命题，否定时将量词对任意的x变为x，再将不等号变为即可故答案为：x00，使得14现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是【考点】8g：等比数列的性质；cb：古典概型及其概率计算公式【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，3，（3）2，（3）3（3）9其中小于8的项有：1，3，（3）3，（3）5，（3）7，（3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是p=故答案为：15在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是甲【考点】2k：命题的真假判断与应用【分析】利用反证法，可推导出丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案【解答】解：假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为：甲16已知三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球o的表面上，且三棱柱的体积为，则球o的表面积为7【考点】lg：球的体积和表面积【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，设出三棱柱的底面边长，由棱柱的体积公式得到三棱柱的底面边长，可得球的半径，由球的表面积求出球的表面积【解答】解：如图，三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，6个顶点都在球o的球面上，三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为o，设三棱柱的底面边长为a，则三棱柱的体积为， =，a=设球的半径为r，上底面所在圆的半径为a=1，且球心o到上底面中心h的距离oh=，r=，球o的表面积为4r2=7故答案为：7三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足sin2a+sin2b=sin2csinasinb（）求角c；（）若，abc的中线cd=2，求abc面积s的值【考点】ht：三角形中的几何计算【分析】（）正余弦定理化简可得答案（）由可得：，由余弦定理求出ab的值，即可求出abc面积s的值【解答】解：（i）在abc中，sin2a+sin2b=sin2csinasinb，由正弦定理得：a2+b2c2=ab由余弦定理可得0c，（ii）由，可得：，即a2+b2ab=16又由余弦定理得a2+b2+ab=24，ab=4故得abc面积18某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率（）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（）用分层抽样的方法共抽取10天，则空气质量指数在（0，50，（50，100，已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4000元若在（）的条件下，从空气质量指数在（0，150的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为4000元的概率【考点】cc：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；b8：频率分布直方图【分析】（i）利用频率直方图的性质可得频率（0.1+0.2），进而得出全年空气质量优良的天数为（）利用分层抽样的方法即可得出（）设空气质量指数在（0，50的一天为a，空气质量指数在（50，100的两天为b、c，空气质量指数在，（a2），（a3），（bc）利用古典概率计算公式即可得出【解答】解：（）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为（0.1+0.2）365=0.3365=109.5110（天） （）在（0，50，（50，100，设空气质量指数在（0，50的一天为a，空气质量指数在（50，100的两天为b、c，空气质量指数在，（ac），（a1），（a2），（a3），（bc），（b1），（b2），（b3），（c1），（c2），（c3），（12），（13），（23）共15种其中这两天的净化空气总费用为4000元的可能结果为（a1），（a2），（a3），（bc）p（这两天的净化空气总费用为4000元）=19在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，ab=3，abc=45，p点在底面abcd内的射影e在线段ab上，且pe=2，be=2ea，m在线段cd上，且 （）证明：ce平面pab；（）在线段ad上确定一点f，使得平面pmf平面pab，并求三棱锥pafm的体积【考点】lf：棱柱、棱锥、棱台的体积；lw：直线与平面垂直的判定【分析】（）由余弦定理得ec=2，从而beec，由pe平面abcd，得peec，由此能证明ce平面pab（）取f是ad的中点，作anec交cd于点n，则anec推导出fmec，从而平面pfm平面pab，由此能求出三棱锥pafm的体积【解答】证明：（）在bce中，be=2，abc=45，由余弦定理得ec=2所以be2+ec2=bc2，从而有beec由pe平面abcd，得peec所以ce平面pab解：（）取f是ad的中点，作anec交cd于点n，则四边形aecn为平行四边形，cn=ae=1，则anec在and中，f，m分别是ad，dn的中点，则fman，所以fmec因为ce平面pab，所以fm平面pab又fm平面pfm，所以平面pfm平面pabv=20已知椭圆的离心率为，且点在椭圆c上（）求椭圆c的标准方程；（）若斜率为k的直线l交椭圆c于a，b两点，求oab面积的最大值【考点】k4：椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆的离心率公式求得a2=4b2，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得|x1x2|，则oab的面积s=|m|x1x2|，利用基本不等式的性质，即可求得oab面积的最大值【解答】解：（）由已知得e=，a2=4b2，将代入椭圆方程：，解得a2=4，b2=1，椭圆c的方程是；（）设直线l的方程为y=kx+m，a（x1，y1），b（x2，y2）将y=kx+m代入椭圆c的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，由0，可得m24+16k2，则有x1+x2=，x1x2=|x1x2|=由直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），oab的面积s=|m|x1x2|=设=t，由可知0t4，因此s=22=4，故s4，当且仅当4t=t，即t=2时取得最大值4oab面积的最大值为421设函数（）讨论函数f（x）的单调性；（）已知函数f（x）有极值m，求证：m1（已知ln0.50.69，ln0.60.51）【考点】6d：利用导数研究函数的极值；6b：利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出，根据f（a）=alnaf（a）=0有唯一根a0，得到a0（0.5，0.6），代入判断即可【解答】解：（i）当a0时，f（x）0恒成立，所以f（x）在（0，+）上单调递增当a0时，解f（x）0得xa，解f（x）0得0xa所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增综上