福建省八县一中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省八县一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1命题：“若x21，则x1或x1”的逆否命题是（）a若x21，则1x1b若1x1，则x21c若1x1，则x21d若x1或x1，则x212双曲线=1的焦距是（）a4b2c6d与m有关3以正方体abcda1b1c1d1的顶点d为坐标原点o，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）a（2，2，2）b（2，2，2）c（2，2，2）d（2，2，2）4直线l：2xy+2=0过椭圆左焦点f1和一个顶点b，则该椭圆的离心率为（）abcd5“点p的轨迹方程为y=|x|”是“点p到两条坐标轴距离相等”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d不充分不必要条件6已知o（0，0，0），a（2，1，1），b（1，1，1），点p（，1，3）在平面oab内，则=（）a2b3c4d57在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题pq表示（）a甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米b甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米c甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米d甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米8双曲线x2y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于o，a，b三点，o为坐标原点，则|ab|等于（）a4b6c8d169在空间直角坐标系oxyz中，平面oab的法向量为，o为坐标原点已知p（1，3，8），则p到平面oab的距离等于（）a4b2c3d110已知抛物线c：x2=4y的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与抛物线c的一个交点，若，则|qf|=（）abc3d611如图，在正三棱柱abcabc中，若aa=2ab，则异面直线ab与bc所成角的余弦值为（）a0bcd12已知集合d=，有下面四个命题：p1：（x，y）d，3 p2：（x，y）d，1p3：（x，y）d，4 p4：（x，y）d，2其中的真命题是（）ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，ac与bd的交点为点m设，用，表示向量，则=14已知p：（x+2）（x3）0，q：|x+1|2，命题“pq”为真，则实数x的取值范围是15直线l：y=k（x+1）与抛物线y2=x只有一个公共点，则实数k的值为16椭圆的左焦点为f1，p为椭圆上的动点，m是圆上的动点，则|pm|+|pf1|的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知命题p：关于x的方程x2ax+a+3=0有实数根，命题q：m1am+1（） 若p是真命题，求实数a的取值范围；（） 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围18已知双曲线（a0，b0）的离心率为，虚轴长为4（）求双曲线的标准方程；（）过点（0，1），倾斜角为45的直线l与双曲线c相交于a、b两点，o为坐标原点，求oab的面积19如图所示，dc平面bcef，且四边形abcd为矩形，四边形bcef为直角梯形，bfce，bcce，dc=ce=4，bc=bf=2（） 求证：af平面cde；（） 求平面aef与平面abcd所成锐二面角的余弦值20点p在圆o：x2+y2=8上运动，pdx轴，d为垂足，点m在线段pd上，满足（） 求点m的轨迹方程；（） 过点q（1，）作直线l与点m的轨迹相交于a、b两点，使点q为弦ab的中点，求直线l的方程21如图，已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1=ab=ac=2，bc=2，m，n分别是cc1，bc的中点，点p在直线a1b1上，且（）证明：无论取何值，总有ampn；（）当取何值时，直线pn与平面abc所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值22已知抛物线c：y2=x，过点m（2，0）作直线l：x=ny+2与抛物线c交于a，b两点，点n是定直线x=2上的任意一点，分别记直线an，mn，bn的斜率为k1，k2，k3（） 求的值；（） 试探求k1，k2，k3之间的关系，并给出证明2015-2016学年福建省八县一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1命题：“若x21，则x1或x1”的逆否命题是（）a若x21，则1x1b若1x1，则x21c若1x1，则x21d若x1或x1，则x21【考点】四种命题【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可【解答】解：命题的逆否命题为：若1x1，则x21，故选：b2双曲线=1的焦距是（）a4b2c6d与m有关【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的a，b，由c2=a2+b2，解得c，即可得到双曲线的焦距2c【解答】解：由双曲线=1，可得4m20，即有a2=5+m2，b2=4m2，可得c2=a2+b2=9，解得c=3，即有双曲线的焦距为2c=6故选：c3以正方体abcda1b1c1d1的顶点d为坐标原点o，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）a（2，2，2）b（2，2，2）c（2，2，2）d（2，2，2）【考点】共线向量与共面向量【分析】设正方体的棱长为1，由图形求出b1点的坐标，表示出，从而求出与它共线的向量坐标【解答】解：由图形可知，b1点在正方体的上底面上，设正方体的棱长为1，b1点的坐标是（1，1，1），则与共线的向量的坐标可以是（1，1，1）；=2时，为（2，2，2）故选：d4直线l：2xy+2=0过椭圆左焦点f1和一个顶点b，则该椭圆的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【分析】分别令直线方程中y=0和x=0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得【解答】解：直线l：2xy+2=0中，令x=0，得y=2；令y=0，得x=1，直线l：2xy+2=0过椭圆左焦点f1和一个顶点b，椭圆左焦点f1（1，0），顶点b（0，2），c=1，b=2，a=，该椭圆的离心率为e=故选：c5“点p的轨迹方程为y=|x|”是“点p到两条坐标轴距离相等”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d不充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：设动点p（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，即y=|x|，“点p的轨迹方程为y=|x|”是“点p到两条坐标轴距离相等”的充分不必要条件，故选：a6已知o（0，0，0），a（2，1，1），b（1，1，1），点p（，1，3）在平面oab内，则=（）a2b3c4d5【考点】空间中的点的坐标【分析】问题转化为=a+b，根据坐标相等求出的值即可【解答】解：o（0，0，0），a（2，1，1），b（1，1，1），点p（，1，3）在平面oab内，=a+b，（，1，3）=（2a，a，a）+（b，b，b）=（2a+b，a+b，ab），解得：=3，故选：b7在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题pq表示（）a甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米b甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米c甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米d甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米【考点】逻辑联结词“或”【分析】根据命题pq的意义，即可得到结论【解答】解：命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题pq表示：甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米，故选：d8双曲线x2y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于o，a，b三点，o为坐标原点，则|ab|等于（）a4b6c8d16【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程，求得交点a，b的坐标，可得ab的长【解答】解：双曲线x2y2=1的两条渐近线方程为y=x，代入抛物线的方程y2=4x，可得a（4，4），b（4，4），可得|ab|=8故选：c9在空间直角坐标系oxyz中，平面oab的法向量为，o为坐标原点已知p（1，3，8），则p到平面oab的距离等于（）a4b2c3d1【考点】点、线、面间的距离计算【分析】直接利用空间点到平面的距离公式d=求解即可【解答】解：平面oab的一个法向量为=（2，2，1），已知点p（1，3，8），则点p到平面oab的距离d=4故选：a10已知抛物线c：x2=4y的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与抛物线c的一个交点，若，则|qf|=（）abc3d6【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出p，q的坐标，得到向量pf，qf的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得【解答】解：抛物线c：x2=4y的焦点为f（0，1），准线为l：y=1，设p（a，1），q（m，），则=（a，2），=（m，1），a=4m，2=4（1），m2=2，由抛物线的定义可得|qf|=+1=故选：b11如图，在正三棱柱abcabc中，若aa=2ab，则异面直线ab与bc所成角的余弦值为（）a0bcd【考点】异面直线及其所成的角【分析】以a为原点，在平面abc中作ac的垂线为x轴，ac为y轴，aa为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线ab与bc所成角的余弦值【解答】解：以a为原点，在平面abc中作ac的垂线为x轴，ac为y轴，aa为z轴，建立空间直角坐标系，设aa=2ab=2，则a（0，0，0），b（，2），b（，0），c（0，1，2），=（，2），=（，2），设异面直线ab与bc所成角为，则cos=异面直线ab与bc所成角的余弦值为故选：d12已知集合d=，有下面四个命题：p1：（x，y）d，3 p2：（x，y）d，1p3：（x，y）d，4 p4：（x，y）d，2其中的真命题是（）ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p4【考点】命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题【分析】集合d=表示焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，表示椭圆上的点到（1，0）点的距离，进而得到答案【解答】解：集合d=表示焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，表示椭圆上的点到（1，0）点的距离d，则d1，3，故p1：（x，y）d，3，为真命题，p2：（x，y）d，1，为假命题，p3：（x，y）d，4，为真命题，p4：（x，y）d，2，为假命题，故p1，p3是真命题，故选：a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，ac与bd的交点为点m设，用，表示向量，则=+【考点】空间向量的加减法【分析】结合图形，利用空间向量的线性表示与运算，进行运算即可【解答】解：平行六面体abcda1b1c1d1中，=（+）=（）=（），=；向量=+=（）=+故答案为：+14已知p：（x+2）（x3）0，q：|x+1|2，命题“pq”为真，则实数x的取值范围是1，3【考点】复合命题的真假【分析】分别解出p，q的x的范围，再利用命题“pq”为真即可得出【解答】解：p：（x+2）（x3）0，解得2x3q：|x+1|2，解得x1或x3命题“pq”为真，解得1x3则实数x的取值范围是1，3故答案为：1，315直线l：y=k（x+1）与抛物线y2=x只有一个公共点，则实数k的值为0或【考点】抛物线的简单性质【分析】当斜率k=0时，直线l：y=0，与抛物线y2=4x仅有一个公共点，当斜率不等于0时，把l：y=k（x+1）代入抛物线的方程化简，由判别式=0求得实数k的值【解答】解：当斜率k=0时，直线l：y=0，与抛物线y2=4x仅有一个公共点当斜率不等于0时，把l：y=k（x+1）代入抛物线y2=4x得k2x2+（2k21）x+k2=0，由题意可得，此方程有唯一解，故判别式=（2k21）24k4=0，k=，故答案为：0或16椭圆的左焦点为f1，p为椭圆上的动点，m是圆上的动点，则|pm|+|pf1|的最大值是17【考点】椭圆的简单性质【分析】设c，|pf1|+|pf2|=2a，取|pm|=|pc|+1，可得|pm|+|pf1|=11+|pc|pf2|11+|cf2|，即可得出【解答】解：设c，f1（4，0），f2（4，0）|pf1|+|pf2|=2a=10，取|pm|=|pc|+1，|pm|+|pf1|=11+|pc|pf2|11+|cf2|=11+=17|pm|+|pf1|的最大值是17故答案为：17三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知命题p：关于x的方程x2ax+a+3=0有实数根，命题q：m1am+1（） 若p是真命题，求实数a的取值范围；（） 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定【分析】（）根据命题的否定是真命题，进行转化求解即可（）根据充分条件和必要条件的定义和关系建立不等式关系进行求解即可【解答】解：法一：（） 当命题p是真命题时，满足0则a24（a+3）0，解得 a2或a6； p是真命题，则p是假命题即2a6，实数a的取值范围是（2，6）（）p是q的必要非充分条件，则m1，m+1（，26，+，即m+12或m16，解得 m3或m7，实数m的取值范围是（，37，+）法二：（） 命题p：关于x的方程x2ax+a+3=0没有实数根p是真命题，则满足0即 a24（a+3）0解得2a6实数a的取值范围是（2，6）（） 由 （）可得 当命题p是真命题时，实数a的取值范围是（，26，+，p是q的必要非充分条件，则m1，m+1是（，26，+）的真子集即 m+12或m16解得 m3或m7，实数m的取值范围是（，37，+）18已知双曲线（a0，b0）的离心率为，虚轴长为4（）求双曲线的标准方程；（）过点（0，1），倾斜角为45的直线l与双曲线c相交于a、b两点，o为坐标原点，求oab的面积【考点】双曲线的简单性质【分析】（）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=1，b=2，进而得到双曲线的方程；（）直线l的方程为y=x+1，代入双曲线的方程，设a（x1，y1）、b（x2，y2），运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算即可得到所求值【解答】解：（）依题意可得，解得，双曲线的标准方程为（）直线l的方程为y=x+1，设a（x1，y1）、b（x2，y2），由可得3x22x5=0，由韦达定理可得，即，原点到直线l的距离为，于是，aob的面积为19如图所示，dc平面bcef，且四边形abcd为矩形，四边形bcef为直角梯形，bfce，bcce，dc=ce=4，bc=bf=2（） 求证：af平面cde；（） 求平面aef与平面abcd所成锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）以c为原点，cb所在直线为x轴，ce所在直线为y轴，cd所在直线为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能证明af平面cde（）求出平面aef的一个法向量和平面abcd一个法向量，利用向量法能求出平面ade与平面bcef所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（）以c为原点，cb所在直线为x轴，ce所在直线为y轴，cd所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系则c（0，0，0），b（2，0，0），d（0，0，4），e（0，4，0），a（2，0，4），f（2，2，0），则=（0，2，4），=（2，0，0）=（2，0，0）为平面cde的一个法向量 又=0，af平面cde，af平面cde 解：（）设平面aef的一个法向量为=（x1，y1，z1），则，取z1=1，得 又ce平面abcd，平面abcd一个法向量为，设平面ade与平面bcef所成锐二面角的大小为，则因此，平面ade与平面bcef所成锐二面角的余弦值为 20点p在圆o：x2+y2=8上运动，pdx轴，d为垂足，点m在线段pd上，满足（） 求点m的轨迹方程；（） 过点q（1，）作直线l与点m的轨迹相交于a、b两点，使点q为弦ab的中点，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）判断m线段pd的中点，设m（x，y），则p（x，2y），运用代入法，即可得到所求轨迹方程；（） 方法一、运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理可得斜率k，由点斜式方程可得直线方程；方法二、设a（x1，y1），b（x2，y2），a、b两点在椭圆上，代入椭圆方程，运用作差法和斜率公式，再由点斜式方程可得直线的方程【解答】解：（）点m在线段pd上，满足，点m是线段pd的中点，设m（x，y），则p（x，2y），点p在圆o：x2+y2=8上运动，则x2+（2y）2=8，即，故点m的轨迹方程为（） 方法一：当直线lx轴时，由椭圆的对称性可得弦ab的中点在x轴上，不可能是点q，这种情况不满足题意设直线l的方程为，由，可得，由韦达定理可得x1+x2=，由ab的中点为，可得=2，解得，即直线l的方程为y=（x1），则直线l的方程为x+2y2=0方法二：当直线lx轴时，由椭圆的对称性可得弦ab的中点在x轴上，不可能是点q，这种情况不满足题意设a（x1，y1），b（x2，y2），a、b两点在椭圆上，满足，由（1）（2）可得，则，由ab的中点为，可得x1+x2=2，y1+y2=1，代入上式，即直线l的方程为，直线l的方程为x+2y2=021如图，已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂