福建省莆田市高考数学一模3月质量检测试卷 理（含解析）.doc

2016年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足（2+i）z=z+2i，则z=（）a1+ib1ic1+id1i2已知集合a=x|x2+2x80，b=x|1x5，u=r，则cu（ab）（）a（4，1b4，1）c（2，1d2，1）3已知函数f（x）=sin（x）cos（x）（xr），则下列结论错误的是（）a函数f（x）的最小正周期为b函数f（x）的图象关于直线x=对称c函数f（x）的图象关于点（，0）对称d函数f（x）在区间0，上是增函数4若的展开式中存在常数项，则常数项为（）a15b20c30d1205已知函数，若不等式f（x）+10在xr上恒成立，则实数a的取值范围为（）a（，0）b2，2c，2d0，26执行如图所示的程序框图，欲使输出的s11，则输入整数n的最小值为（）a3b4c5d67据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布n，则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300的概率为（）附：若xn（，2），则：p（x+）=0.6826，p（2x+2）=0.9544，p（3x+3）=0.9974a0.4987b0.8413c0.9772d0.99878已知公比为2的等比数列an的前n项和为sn，若a4+a5+a6=16，则s9=（）a56b128c144d1469点a为双曲线=1（a0，b0）的右顶点，过右焦点f（1，0）且倾斜角为的直线与直线x=a2交于点p若apf为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）a2bc3d10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ab3cd11已知抛物线y2=4x的焦点为f，圆c：x2+（y5）2=r2与该抛物线交于a，b两点，若a、b、f三点共线，则ab的长度为（）a4b6c8d1012在abc中，bc=7，cosa=，sinc=若动点p满足=+（1）（r），则点的轨迹与直线ab，ac所围成的封闭区域的面积为（）abcd12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13若变量x，y满足约束条件，则z=xy的最小值为14已知数列an满足a1=1，an+1=an+2n+2，则a8=15已知一个棱长为的正四面体内接于球，则该球的表面积是16定义在r上的偶函数f（x）满足：对任意的xr，有f（x+4）=f（x）f（8），且当x2，4时，f（x）=2x+8若函数y=f（x）exa在x（0，+）上至少有3个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且asinbbcosa=b（1）求a；（2）若b+c=2，当a取最小值时，求abc的面积18某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示（i）估计产品中该物质含量的平均数及方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）规定产品的级别如表：产品级别cba某押麴质含量范围60，70）70，80）80，100现质检部门从三个等级的产品中采用分层抽样的方式抽取10件产品，再从中随机抽取3件产品进行检测，记质检部门“抽到b或c级品的个数为”，求的分布列和数学期望19如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧面pad是正三角形，pdcd，e为pc的中点（）求证：平面abe平面pcd；（）求二面角bdec的余弦值20己知两点a（2，0），b（2，0），直线l过点b且与x轴垂直，点c是l上异于点b的动点，直线bp垂直线段oc并交线段ac于点p，记点p的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点d（1，0）的直线与曲线 交于m，n两点，直线am，an分别与l交于e，f两点当aef的面积是amn的面积的2倍时，求直线mn的方程21己知函数f（x）=x3+（a+1）x2ax，ar（） 讨论f（x）的单调性；（） 若f（x）是f（x）的导函数，且不等式f（x）xlnx恒成立，求a的值选做题：选修41几何证明选讲22如图所示，ac为o的直径，d为的中点，e为bc的中点（）求证：deab；（）求证：acbc=2adcd选修44极坐标与参数方程23在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为，（ 为参数），以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为sin（）=，直线l2的极坐标方程为=，l1与l2的交点为m（i）判断点m与曲线c的位置关系；（）点p为曲线c上的任意一点，求|pm|的最大值选修4-5不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|2|x+1|（i）求不等式f（x）1的解集；（）若关于x的不等式f（x）3a1有解，求实数a的取值范围2016年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足（2+i）z=z+2i，则z=（）a1+ib1ic1+id1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（2+i）z=z+2i，得（1+i）z=2i，故选：a2已知集合a=x|x2+2x80，b=x|1x5，u=r，则cu（ab）（）a（4，1b4，1）c（2，1d2，1）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合a，求出ab，再求cu（ab）即可【解答】解：集合a=x|x2+2x80=x|x4或x2，b=x|1x5，u=r，ab=x|x4或x1，cu（ab）=x|4x1=（4，1故选：a3已知函数f（x）=sin（x）cos（x）（xr），则下列结论错误的是（）a函数f（x）的最小正周期为b函数f（x）的图象关于直线x=对称c函数f（x）的图象关于点（，0）对称d函数f（x）在区间0，上是增函数【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】求出的周期、对称轴、对称中心、单调性，可得a、b、d都正确，c错误【解答】解：f（x）=sin（x）cos（x）=sin（2x），由周期公式可得：t=，故a正确；由2x=k+，得：x=+，k=1时，x=，故b正确；由2x=k，得：x=+，k=1时，x=，故（，0），故c错误；由2k2x2k+，可解得函数的单调递增区间为：k，k+，kz，故明显d正确；故选：c4若的展开式中存在常数项，则常数项为（）a15b20c30d120【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x、y的幂指数等于0，求出r、n的值，即可得出结论【解答】解：由于的展开式的通项公式为tr+1=xn2ry3r，若展开式中存在常数项，则 r=3，n=2r=6故展开式的常数项为=20，故选：b5已知函数，若不等式f（x）+10在xr上恒成立，则实数a的取值范围为（）a（，0）b2，2c，2d0，2【考点】函数恒成立问题【分析】由f（x）的解析式可得当x0时，2x11，结合指数函数的值域即可判断；再由x0时，x2ax1，结合参数分离和基本不等式即可得到a的范围【解答】解：由f（x）1在r上恒成立，可得当x0时，2x11，即2x0显然成立；又x0时，x2ax1，即为a=x+，由x+2=2，当且仅当x=1时取得最小值2，可得a2综上可得a2故选：c6执行如图所示的程序框图，欲使输出的s11，则输入整数n的最小值为（）a3b4c5d6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，k的值，当k=5时，应该满足条件5n，退出循环输出s的值为2611，从而可得输入整数n的最小值【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，s=0，k=1s=1，a=3，k=2不满足条件2n，s=4，a=7，k=3不满足条件3n，s=11，a=15，k=4不满足条件4n，s=26，a=31，k=5由题意，可得此时应该满足条件5n，退出循环，输出s的值为2611，故输入整数n的最小值为4故选：b7据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布n，则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300的概率为（）附：若xn（，2），则：p（x+）=0.6826，p（2x+2）=0.9544，p（3x+3）=0.9974a0.4987b0.8413c0.9772d0.9987【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布n，p（3x+3）=0.9974，可得（x1300）=12（10.9974）=0.0013，从而可得结论【解答】解：夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布n，p（3x+3）=0.9974，p（|x1000|300）=0.9974，p（x1300）=（10.9974）=0.0013，p（x1300）=10.0013=0.9987，故选：d8已知公比为2的等比数列an的前n项和为sn，若a4+a5+a6=16，则s9=（）a56b128c144d146【考点】等比数列的前n项和【分析】由已知式子可解得数列的首项，代入求和公式计算可得【解答】解：公比为2的等比数列an的前n项和为sn，且a4+a5+a6=16，a4+a5+a6=a4（1+2+4）=16，解得a4=，a1=，则s9=146，故选：d9点a为双曲线=1（a0，b0）的右顶点，过右焦点f（1，0）且倾斜角为的直线与直线x=a2交于点p若apf为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）a2bc3d【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得c=1，a2+b2=1，（0a1），右准线方程为x=a2，a（a，0），f（1，0），求得直线pf的方程，求出p的坐标，由题意可得|af|=|ap|，解方程即可得到a的值，由离心率公式可得所求【解答】解：由题意可得c=1，a2+b2=1，（0a1），右准线方程为x=a2，a（a，0），f（1，0），直线pf：y=tan（x1），即y=（x1），代入x=a2，可得p（a2，（a21），由题意可得|af|=|ap|，即为1a=，解得a=，则e=2故选：a10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ab3cd【考点】由三视图求面积、体积【分析】将两个相同的几何体可以组合成一个高为6的圆柱【解答】解：由三视图可知将两个相同的几何体可以组合成一个底面半径为1，高为6的圆柱，所以几何体的体积v=3故选：b11已知抛物线y2=4x的焦点为f，圆c：x2+（y5）2=r2与该抛物线交于a，b两点，若a、b、f三点共线，则ab的长度为（）a4b6c8d10【考点】抛物线的简单性质【分析】设出直线方程x=ty+1，分别联立直线方程与抛物线方程和圆的方程，利用根与系数的关系可得等式，求得t的值，则答案可求【解答】解：如图，设ab所在直线方程为x=ty+1，联立，得y24ty4=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则y1+y2=4t，联立，得（t2+1）y2+（2t10）y+26r2=0则，则，即4t3+4t=102t，4t3+6t10=0，解得：t=1ab所在直线方程为y=x1，则化为y24y4=0，y1+y2=4，|ab|=x1+x2+2=y1+y2+2+2=8故选：c12在abc中，bc=7，cosa=，sinc=若动点p满足=+（1）（r），则点的轨迹与直线ab，ac所围成的封闭区域的面积为（）abcd12【考点】向量的线性运算性质及几何意义；轨迹方程【分析】根据向量加法的几何意义得出p点轨迹，利用正弦定理解出ab，得出abc的面积，从而求出围成封闭区域的面积【解答】解：取ab的中点d，连结cd则=+（1）=+（1）c，d，p三点共线p点轨迹为直线cd在abc中，sina=cosc=由正弦定理得，即，解得ab=5sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc=sabc=6sacd=sabc=3故选：a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13若变量x，y满足约束条件，则z=xy的最小值为1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=xy得y=xz，作出不等式组约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=xz，由图象可知当直线y=xz，过点a点，由，可得a（1，2）时，直线y=xz的截距最大，此时z最小，目标函数z=xy的最小值是1故答案为：114已知数列an满足a1=1，an+1=an+2n+2，则a8=120【考点】数列递推式【分析】由题意可知数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，即可求出通项公式，代值计算即可【解答】解：an+1=an+2n+2，=+2，=2，a1=1，=1，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，=1+2（n1）=2n1，an=2n2n，a8=2828=120，故答案为：12015已知一个棱长为的正四面体内接于球，则该球的表面积是3【考点】球的体积和表面积【分析】由题意正四面体扩展为正方体，两者的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积【解答】解：一个棱长均为的四面体内接于一个球，正四面体扩展为正方体，两者的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，正方体的棱长为：1；正方体的对角线长为：；所以外接球的表面积为：4=3故答案为：316定义在r上的偶函数f（x）满足：对任意的xr，有f（x+4）=f（x）f（8），且当x2，4时，f（x）=2x+8若函数y=f（x）exa在x（0，+）上至少有3个零点，则实数a的取值范围是5+ln2，+）【考点】函数与方程的综合运用；抽象函数及其应用【分析】根据条件求出f（8）=0，得到函数的周期是4，利用函数奇偶性和周期性的关系求出函数f（x）在一个周期上的图象，利用函数与方程之间的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可【解答】解：f（x）是偶函数，且f（x+4）=f（x）f（8），令x=2，则f（2+4）=f（2）f（8），即f（2）=f（2）f（8），则f（8）=0，即f（x+4）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，当x2，4时，f（x）=2x+8当x2，0时，x+42，4，则f（x）=f（x+4）=2（x+4）+8=2x（x2，0），当x0，2时，x2，0若f（x）=f（x）=2x，（x0，2），由y=f（x）exa=0，得f（x）=exa，作出函数f（x）和g（x）=exa在（0，+）上的图象如图：当x4，6时，x40，2时，则f（x）=f（x4）=2（x4）=2x8x4，6时，当g（x）=exa与f（x）=2x8x4，6相切时，设切点为（m，2m8），则满足g（m）=ema=2，ema=2m8，则2m8=2，得2m=10，m=5，即切点坐标为（5，2），要使函数y=f（x）exa在x（0，+）上至少有3个零点，则满足g（5）2，即e5a2，则5aln2，则a5+ln2，故答案为：5+ln2，+）三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且asinbbcosa=b（1）求a；（2）若b+c=2，当a取最小值时，求abc的面积【考点】正弦定理【分析】（1）由题意和正弦定理可得sin（a）=，结合三角形内角的范围可得角a；（2）由余弦定理可得a2=43bc，再由已知式子和基本不等式可得bc的范围，可得此时边长，可得三角形的面积【解答】解：（1）在abc中asinbbcosa=b，由正弦定理可得sinasinbsinbcosa=sinb，由三角形内角的范围可得sinb0，约掉sinb可得sinacosa=1，2sin（a）=1，即sin（a）=，a=或，解得a=，或a=（舍去），故a=；（2）由余弦定理可得a2=b2+c22bccosa=b2+c2bc=（b+c）23bc=43bc，由基本不等式可得bc（）2=1，当且仅当b=c=1时取等号，故bc1，3bc3，故a2=43bc1，a的最小值为1，此时abc=bcsina=18某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示（i）估计产品中该物质含量的平均数及方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）规定产品的级别如表：产品级别cba某押麴质含量范围60，70）70，80）80，100现质检部门从三个等级的产品中采用分层抽样的方式抽取10件产品，再从中随机抽取3件产品进行检测，记质检部门“抽到b或c级品的个数为”，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（）利用频率分布直方图能估计产品中该物质含量的平均数及方差（）按分层抽样的方法，所抽出的a级品为7件，b和c级品共3件，根据题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解：（）平均数=650.1+750.2+850.4+950.3=84，方差s2=（6584）20.1+（7584）20.2+（8584）20.4+（9584）20.3=89（）按分层抽样的方法，从a级品中抽取n1=100.7=7件，从b级品中抽取n2=100.2=2件，从c级品中抽取n3=100.1=1件，所抽出的a级品为7件，b和c级品共3件，根据题意的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，的分布列为： 0 12 3 pe=19如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧面pad是正三角形，pdcd，e为pc的中点（）求证：平面abe平面pcd；（）求二面角bdec的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）根据面面垂直的判定定理进行证明即可（2）建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】解：（）取pd的中点f，连接af，ef，pad为正三角形，afpd，adcd，pdcd，adpd=d，cd平面pad，af平面pad，cdaf，cdpd=d，af平面pcd，e为pc的中点，efcd，abcd，abef，af平面abe，平面abe平面pcd；（）取ad，bc的中点o，m，连接po，om，omad，pa=pd，poad，cd平面pad，po平面pad，cdpo，omcd，ompo，以o为坐标原点，分别以oa，om，op，为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图：设ad=1，则d（0，0，0），a（，0，0），b（，1，0），c（，1，0），d（，0，0），p（0，0，），e（，），f（，0，），则=（，0，），af平面pcd，平面cde的一个法向量为=（，0，1），设平面bde的法向量为=（x，y，z），则=（1，1，0），=（，），则由得，可取=（1，1，），则cos，=即二面角bdec的余弦值是20己知两点a（2，0），b（2，0），直线l过点b且与x轴垂直，点c是l上异于点b的动点，直线bp垂直线段oc并交线段ac于点p，记点p的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点d（1，0）的直线与曲线 交于m，n两点，直线am，an分别与l交于e，f两点当aef的面积是amn的面积的2倍时，求直线mn的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设点c（2，m）（m0），则koc=，kac=，直线bp的方程为：y=（x+2），直线ac的方程为：y=（x2），联立消去m解出即可（2）设m（x1，y1），n（x2，y2），（y1y2），由题意可设直线mn的方程为x=ty1，与椭圆方程联立化为（m2+2）y22my3=0直线am的方程为：（x2），由xe=2，可得ye同理可得：yf=可得|ef|=|yeyf|saef=，samn=利用saef=2samn，即可得出【解答】解：（1）设点c（2，m）（m0），则koc=，kac=，直线bp的方程为：y=（x+2），直线ac的方程为：y=（x2），联立，消去m可得=1曲线的方程为=1（y0）（2）由题意可设直线mn的方程为x=ty1，联立，化为（m2+2）y22my3=0，设m（x1，y1），n（x2，y2），（y1y2），则y1+y2=，y1y2=直线am的方程为：（x2），由xe=2，可得ye=同理可得：yf=|ef|=|yeyf|=，saef=，samn=saef=2samn，=3|y1y2|，化为=8，化简可得： =8，解得m=，直线mn的方程为：y=2（x+1）21己知函数f（x）=x3+（a+1）x2ax，ar（） 讨论f（x）的单调性；（） 若f（x）是f（x）的导函数，且不等式f（x）xlnx恒成立，求a的值【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）问题即xlnx+x2（a+1）x+a0，令g（x）=xlnx+x2（a+1）x+a，则g（1）=0，要使g（x）0对任意正数x恒成立，只需g（x）在x=1处取得最小值，得到关于a的方程，解出a，并检验即可【解答】解：（）f（x）=（x1）（xa），令f（x）=0，解得：x=1或a，a=1时，f（x）0恒成立，f（x）在r递减，a1时，令f（x）0，解得：1xa，令f（x）0，解得：xa或x1，f（x）在（，1）递减，在（1，a）递增，在（a，+）递减，a1时，令f（x）0，解得：ax1，令f（x）0，解得：x1或xa，f（x）在（，a）递减，在（a，1）递增，在（1，+）递减；（）f（x）xlnx即xlnx+x2（a+1）x+a0，令g（x）=xlnx+x2（a+1）x+a，则g（1）=0，要使g（x）0对任意正数x恒成立，只需g（x）在x=1处取得最小值，g（x）=lnx+2xa，g（1）=2a，令2a=0，解得：a=2，a=2时，g（x）=xlnx+x23x+2，g（x）=lnx+2x2，g（x）在（0，+）递增，且g（1）=0，g（x）有唯一零点，且是x=1，g（x）在x=1处取得最小值，且最小值是g（1）=0，即g（x）0，综上，不等式f（x）xlnx恒成立时，a=2选做题：选修41几何证明选讲22如图所示，ac为o的直径，d为的中点，e为bc的中点（）求证：deab；（）求证：acbc=2adcd【考点】与圆有关的比例线段【分析】（i）欲证deab，连接bd，因为d为的中点及e为bc的中点，可得debc，因为ac为圆的直径，所以abc=90，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（ii）欲证acbc=2adcd，转化为adcd=acce，再转化成比例式=最后只须证明dacecd即可【解答】证明：（）连接bd，因为d为的中点，所以bd=dc因为e为bc的中点，所以debc因为ac为圆的直径，所以abc=90，所以abde（）因为d为的中点，所以bad=dac，又bad=dcb，则dac=dcb又因为addc，dece，所以dacecd所以=，adcd=acce，2adcd=ac2ce，因此2adcd=acbc选修44极坐标与参数方程23在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为，（ 为参数），以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为sin（）=，直