甘肃省张掖市临泽县九级数学下册 1.5《三角函数的应用》教案 （新版）北师大版.doc

三角函数的应用教学目标（一）教学知识点1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用2能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明（二）能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力（三）情感与价值观要求1在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气2选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望教学重点1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用2发展学生数学应用意识和解决问题的能力教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图教学过程（一）复习旧知，引入新课1一物体沿坡度为18的山坡向上移动，则物体升高了m答案：12在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45，沿水平方向，再向塔底前进am，又测得塔尖的仰角为60，那么电视塔的高为m答案：a3如图所示，在高2m，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_m答案：4创设问题，引入新课海中有一个小岛a，该岛四周10海里内有暗礁今有货轮由西向东航行，开始在a岛南偏西55的b处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的c处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流（二）讲授新课1思路点拔（1）我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？应该是“上北下南，左西右东”（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的首先我们可将小岛a确定，货轮b在小岛a的南偏西55的b处，c在b的正东方，且在a南偏东25处示意图如下（3）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到a的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险a到bc所在直线的最短距离为过a作adbc，d为垂足，即ad的长度我们需根据题意，计算出ad的长度，然后与10海里比较（4）下面我们就来看ad如何求根据题意，有哪些已知条件呢？已知bc=20海里，bad=55，cad=25（5）在示意图中，有两个直角三角形rtabd和rtacd你能在哪一个三角形中求出ad呢？在rtacd中，只知道cad=25，不能求ad在rtabd中，知道bad=55，虽然知道bc=20海里，但它不是rtabd的边，也不能求出ad（6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？这两个三角形有联系，ad是它们的公共直角边而且bc是这两个直角三角形bd与cd的差，即bc=bd-cdbd、cd的对角是已知的，bd、cd和边ad都有联系（7）有何联系呢？在rtabd中，；在rtacd中，利用bc=bd-cd就可以列出关于ad的一元一次方程，即adtan55-adtan25=20总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一解：过a作bc的垂线，交bc于点d得到rtabd和rtacd，从而bd=adtan55，cd=adtan25，由bd-cd=bc，又bc=20海里得 adtan55-adtan25=20ad（tan55-tan25）=20， （海里）这样ad20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险2小组合作，探索问题（1）想一想你会更聪明：接下来，我们再来研究一个问题还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度如图，小明想测量塔cd的高度他在a处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至b处测得仰角为60那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）（2）思路点拔：我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30的仰角、60的仰角分别指哪两个角？当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角30的仰角指dac，60的仰角指dbc很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答首先，我们可以注意到cd是两个直角三角形rtadc和rtbdc的公共边，在rtadc中，即，在rtbdc中，即，又ab=ac-bc=50 m，得解得cd43（m），即塔cd的高度约为43 m提出质疑，再探新知：小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量cd的高度时是否应考虑小明的身高？在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？示意图如图所示，由前面的解答过程可知cc43 m，则cd=43+1.6=44.6 m即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m3巩固新知、解决问题：现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40减至35，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0l m）请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）（1）思路点拔 要注意调整前后梯楼的高度是一个不变量根据题意可画示意图（如右图）其中ab表示楼梯的高度ac是原楼梯的长，bc是原楼梯的占地长度；ad是调整后的楼梯的长度，db是调整后的楼梯的占地长度acb是原楼梯的倾角，adb是调整后的楼梯的倾角转化为数学问题即为：如图，abdb，acb=40，adb=35，ac=4m求ad-ac及dc的长度（2）解决问题解：由条件可知，在rtabc中，即ab=4sin40m，原楼梯占地长bc=4cos40m调整后，在rtadb中，则m楼梯占地长m调整后楼梯加长（m），楼梯比原来多占（m）（三）随堂练习1如图，一灯柱ab被一钢缆cd固定，cd与地面成40夹角，且db=5m，现再在c点上方2m处加固另一条钢缆ed，那么钢缆ed的长度为多少？解：在rtcbd中，cdb=40，db=5 m，bc=dbsin40=5sin40（m）在rtedb中，db=5 m，be=bc+ec=2+5sin40（m）根据勾股定理，得（m）所以钢缆ed的长度为7.96 m2如图，水库大坝的截面是梯形abcd，坝顶ad=6 m，坡长cd=8 m坡底bc=30 m，adc=135（1）求abc的大小；（2）如果坝长100 m那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m3）解：过a、d分别作aebc，dfbc，e、f为垂足（1）在梯形abcd中adc=135，fdc=45，ef=ad=6 m在rtfdc中，dc=8mdf=fc=cd（m）（m）在rtaeb中，（m）abc17821（2）梯形abcd的面积：（m2）坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料（m3）综上所述，abc=17821，建筑大坝共需10182.34 m3土石料（四）活动与探究，拓展知识例题：如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由a处运往正西方向的b处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由a向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响（1）问：b处是否会受到台风的影响？请说明理由（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ 过程这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征在转化、抽象成数学问题上下功夫 结果（1）过点b作bdac垂足为d依题意，得bac=30，在rtabd中，b处会受到台风影响（2）以点b为圆心，200海里为半径画圆