辽宁省凌海市七级数学下册 课后补习班辅导 有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算讲学案 苏科版.doc

有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算【本讲教育信息】一. 教学内容：有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算二. 重点、难点：1. 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。三. 知识要点1. 有理数的乘法（1）有理数乘法法则：a） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。b） 任何数同0相乘，都得0。注意：对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：a）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。即确定符号后把绝对值相乘。b） 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。 乘号的三种形式“”，“”，“省略不写”。 对“”和“省略不写”只能在适当的时候用。如：“54”可以写成“54”但不能写为“54”；“1”不能写成“1”。（2） 有理数乘法运算律a） 交换律：b） 结合律：c） 分配律：注意：在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。如：2. 有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。即ab=a（b0）。有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：a） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。b） 0除以任何一个不等于0的数，都得0。注意：除法是乘法的逆运算，在ab=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法。（2） 倒数在有理数范围内，我们也把乘积是1的两个数叫作互为倒数。如：2与互为倒数，因为2（）=1。由倒数的定义可知，一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。0为什么没有倒数呢？0没有倒数的原因有两个：若0能作除数，有=b（a0），则有0b=a，这样的b不存在。若=b（a=0），则有0b=a，作为商b不唯一确定。所以0不能作除数，也就没有倒数。3. 有理数的乘方（1）乘方一般地，几个相同的因数a相乘，即aaaa，记作an。这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。（2）幂乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方。an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。如：（5）2，底数是5，指数是2，（5）2=25，读作5的二次方或5的二次幂。注意：一个数可以看作这个数本身的一次方。例如，5就是51，指数1通常略去不写。二次方也叫平方，三次方也叫立方。由22=4，（2）2=4，02=0可知“一个数的平方是一个非负数。”要注意（2）424，3232，3223，（23）2232由乘法法则可知：a）正数的任何次幂都是正数；b）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（3）科学记数法一般地，一个大于10的数可以写成的形式，这种记数法称为科学记数法。4. 有理数的混合运算有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减。若有括号，先算括号里面的。【典型例题】例1. 计算= 分析：1的奇次方为1，1的偶次方则为它的相反数1；0的任何次方都为0。解：原式=1+（1）+1+0=1例2. 若规定一种运算“*”：，如，那么的值等于 解：例3. 根据二十四点算法，现有四个数3，4，6，10，每个数用且只用一次进行加减乘除，使其结果等于24，则列式为 解：（答案不唯一）例4. 计算 分析：先确定符号。小题有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。小题把小数转化为假分数，因数一正两负乘积为正，再统一约分。解：原式=原式=例5. 分析：利用分配律进行计算。小题把化为再利用分配律进行计算。解：原式=原式=例6. 计算： 分析：小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。解：原式=1+0+6.5=5.5原式=原式=例7. 计算 分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。小题还可以逆用乘法分配律，从而简化运算。解：原式= =或：原式= = = =原式= =例8. 计算 分析：绝对值是非负数，所以不论是偶次方还是奇次方，结果都是非负的，但是不要把绝对值或者乘方以外的负号带到运算里面去。解：原式=原式=原式=原式=例9. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求值。解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或2. 所以=当x=2时，原式=421=1；当x=2时，原式=4（2）1=5。例10. 半径是10cm ，高为30cm的圆柱形水桶中装满水，小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3cm 高为6cm的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长，宽，高分别为40cm ，30cm和20cm 的长方体容器内，长方体容器内水的高度大约是多少?（取3，容器厚度不算） 解：水桶内水的体积为10230 ，倒满2个杯子后，剩下的水的体积为：（102302326）长方体容器内水的高度为：（102302326）（4030）=（9000324）1200=867612007cm答：长方体容器内水的高度大约是7cm。【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 比较大小（用符号“”，“”或“=”连接 |1| |2| |（1）（2）|，|53| |5|3|。2. n为自然数，则 ， 。3. 用四舍五入法得到2.14581精确到千分位的近似值是 ；这时它的有效数字有 个；如果保留三个有效数字，它的近似值是 。4. 设有理数a， b ， c ，满足a+b+c=0，abc0，则a，b，c中正数的个数为 个。5. 定义ab= 是有理数范围内的一种运算，则=_。 6. 计算： 1）5（2）（）2）。3） 4） 5） 6） 7） 8）7. 某小区有个圆形花坛的半径为3m，中间雕塑的底面是边长为1.2m 的正方形（如图）。计算实际种花的面积是多少? （取3） 8. 小王和小张在玩“24”点游戏，他们互相给对方四张牌，要求对方根据牌上的数字凑成“24”点，他们互给对方的牌上的数字如下：黑桃1，方块2，红桃2，黑桃3；方块1，草花3，草花7和红桃12。请你帮他们凑成“24”点。【课后阅读】有理数混合运算中的六种错误 1. 概念不清 例1：计算： 错解：原式 分析：解错的原因是对乘方的概念认识不清，23表示3个2相乘，其结果是8，而不是指数与底数相乘； 犯了类似的错误。 正解：原式 2. 运算符号的错误 例2：计算： 错解：原式 分析：错解的原因是误认为14（1）4，事实上，（1）414与14互为相反数。正解：原式 3. 错用运算律 例3：计算： 错解：原式 分析：运用加法的交换律和结合律时，要连同前面的符号一起交换。正解：原式 4. 对负分数理解不清 例4：计算： 错解：原式 分析：将负分数 错误地理解为 。负带分数的整数部分和分数部分都是负数，即 正解：原式 5. 5. 违背运算顺序 例5：计算： 错解：原式 分析：乘除是同级运算，应按从左到右的运算顺序进行。错误地先计算了 ，违背了运算顺序。 正解：原式 6. 违背去括号法则 例6：计算： 错解：原式 分析：错解的原因是去掉“”和中括号时，没有将 改变符号。 正解：原式 【试题答案】1. =；。2. +1；1。3. 2.146；4；2.15。4. 1