辽宁省庄河市高三数学上学期开学考试试题 文（含解析）.doc

辽宁省庄河市2018届高三上学期开学考试数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则 ( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】由条件知,.所以结果为c2. 已知复数（）的实部和虚部相等，则（ ）a. 2 b. 3 c. d. 【答案】d【解析】令,解得故3. 若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】因为，所以，由于，所以，应选答案a 。4. 下列选项中说法正确的是（ ）a. 若，则b. 若向量满足，则与的夹角为锐角c. 命题“为真”是命题“为真”的必要条件d. “，”的否定是“，”【答案】c【解析】解：,当时，结果不对. ,当两个向量夹角为零角时，向量点积仍为大于零，所以不对., 为真则两者均为真， 为真两者有一个为真即可.d,，应该为.5. 若双曲线：的左、右焦点分别是，为双曲线上一点，且，则双曲线的离心率为（ ）a. 3 b. 2 c. d. 【答案】b【解析】解：p为双曲线m上一点，且|pf1|=15，|pf2|=7，|f1f2|=10，由双曲线的定义可得a=4，c=5，则双曲线的离心率为：e=点睛：利用双曲线的定义以及双曲线的简单性质求解双曲线的离心率即可6. 等差数列中，则（ ）a. 10 b. 20 c. 40 d. 【答案】d考点：等差数列性质7. 在区间上随机取一个的值，执行如下的程序框图，则输出的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】解：由条件知，当0x6，2x13，解得2x6；当6x8时，无解，输出的y3的概率为.点睛：利用分段函数，求出输出的y3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率8. 将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）a. 1 b. c. d. 6【答案】a【解析】由三视图知，该几何体为一个边长为2的正方体截去一个底面是直角边分别为1、2的直角三角形、高为2的三棱锥，所以该几何体的体积，故选a9. 在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充要条件 d. 即不充分也不必要条件【答案】d【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则在常数列或中，不是所给方程的两根则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件故本题答案选10. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由题可知，底面 为直角三角形，且，则 ，则球的直径 ，则球的表面积 选c11. 函数，则（ ）a. b. c. d. 的大小关系不能确定【答案】c【解析】 ，令，得到 ，即函数在 上单调递增，在 上单调递减， ，选c12. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，故选b.点睛：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定b点横坐标的范围是关键；由抛物线性质抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等可得，从而可得的周长，确定b点横坐标的范围，即可得到结论.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为_【答案】【解析】由题可得，故向量与的夹角为（或写成）.14. 已知函数是偶函数，当时，则曲线在点处切线的斜率为_【答案】8【解析】试题分析：当时，则，函数是偶函数，,故选b.考点：偶函数的性质，导数的运算15. 已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为_【答案】 【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则故本题应填.16. 设是数列的前项和，且，则_【答案】【解析】解：， ,可得，可得 ，可得=n，即有sn=，则三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知直线是函数的图象的一条对称轴.（1）求函数的单调递增区间；（2）设中角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.【答案】（1）增区间：；（2）.【解析】试题分析：（1）是函数的一条对称轴或 ，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（2） 可得，又，由正弦定理得：，由，即可求出结果.试题解析：（1）是函数的一条对称轴或 增区间：（2） 又，由正弦定理得：，即18. 学校为了了解两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：班：5、5、7、8、8、11、14、20、22、31；班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35.将上述数据作为样本.（1）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（2）分别求样本中两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（3）从班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为，从班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为，求的概率.【答案】（1）班数据有集中在茎0、1、2上，班数据有集中在茎1、2、3上；班叶的分布是单峰的，班叶的分布基本上是对称的；班数据的中位数是10，班数据的中位数是23.；（2）甲的平均数为：13.2；已的平均数为20.3；因为，所以由此估计班学生平均观看的时间较长.（3）.【解析】试题分析：（）按照茎叶图的规则可得茎叶图，从图中可归纳一些数据信息（）由平均值公式可计算出均值；（）抽出的数据可组成一个数对，可用列举法得出数对个数，并能得出的数对个数，从而得概率试题解析：（）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）：从茎叶图中可看出：班数据有集中在茎0、1、2上，班数据有集中在茎1、2、3上；班叶的分布是单峰的，班叶的分布基本上是对称的；班数据的中位数是10，班数据的中位数是23（）班样本数据的平均值为小时；班样本数据的平均值为小时因为，所以由此估计班学生平均观看时间较长（）班的样本数据中不超过11的数据有6个，分别为5,5,7,8,9,11；班的样本数据中不超过11的数据有3个，分别为3,9,11从上述班和班的数据中各随机抽取一个，记为，分别为：， ，共18种，其中的有：，共7种故的概率为19. 如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，平面平面，且，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）ef平面pad，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证ef与平面pad内一直线平行，连ac，根据中位线可知efpa，ef平面pad，pa平面pad，满足定理所需条件；（2平面pad平面abcd，根据面面垂直的判定定理可知在平面abcd内一直线与平面pad垂直，根据面面垂直的性质定理可知cd平面pad，又cd平面abcd，满足定理所需条件；（3）过p作poad于o，从而po平面abcd，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可解：(1)如图所示，连接. 四边形为矩形，且为的中点,也是的中点. 又是的中点，,平面，平面.平面(2) 证明：平面平面，平面平面，平面. 平面，平面平面.(3)取的中点，连接. 平面平面，为等腰三角形，平面，即为四棱锥的高. ，. 又，四棱锥的体积.20. 设点是轴上的一个定点，其横坐标为（），已知当时，动圆过点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）当时，若直线与曲线相切于点（），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明：两点的横坐标之差为定值.【答案】（1）；（2）当动圆的面积最小时，即当动圆的面积最小时，两点的横坐标之差为定值.【解析】试题分析：（）由切线的性质知点到点的距离与到直线的距离相等，即点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得方程；（）设出直线方程为，与抛物线方程联立方程组，利用相切（判别式为0）可得斜率，点到此直线的距离就是圆的半径，变形为用基本不等式求出它的最小值，而最小值时恰好有，结论得证试题解析：（）因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于圆的半径，所以，点到点的距离与到直线的距离相等.所以，点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以圆心的轨迹方程，即曲线的方程为（）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，又，所以，因为直线与曲线相切，所以，解得所以，直线的方程为动圆的半径即为点到直线的距离.当动圆的面积最小时，即最小，而当时； .当且仅当，即时取等号，所以当动圆的面积最小时，即当动圆的面积最小时，、两点的横坐标之差为定值.21. 已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线平行.（1）求； （2）求证：当时，.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：第一问考查导数几何意义,利用，第二问证明题转化为函数最值问题，注意指对分离，利用左侧函数最小值大于右侧函数最大值解：（1），故，故，依题意，又，故联立解得，（2）证明：要证，即证令故当时，；令，的对称轴为，且故存在，使得故当时，故，即在上单调递增当时，故即在上单调递减又，故当时，又当时， ，即. 点睛：请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一题计分.22. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线的方程为，点.（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边平行于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标.【答案】（1）+点的直角坐标为；（2）周长的最小值为 此时点的直角坐标为 .【解析】试题分析：第一问考查定义，极直互化，第二问要明白e，f，两点可以不在曲线上，长度为b，两点横坐标之差，ae长度为两点纵坐标之差，分别为长方形的长和宽.最后利用三角函数求出范围.解：（1）由，曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为.（2）曲线的参数方程为（为参数，），设，依题意可得，矩形的周长当时，周长的最小值为，此时点的直角坐标为.23. 已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（）根据方程的解与不等式解集关系得：0,4为方程两根，也可先利用绝对值定义求不等式解集，再根据同解得等量关系得（）不等式有解问题，一般转化