辽宁省沈阳二中高三数学四模试卷 理（含解析）.doc

2016年辽宁省沈阳二中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）a4b c4d2已知集合m=x|x1|1，n=x|y=log2（x21），则mn=（）a（1，2b（，1）0，+）c（，01，+）d（，1）0，23已知向量，满足|=4，在方向上的投影是，则=（）a2b2c0d4命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（）a若x2+y2=0，则x0且y0b若x2+y2=0，则x0或y0c若x2+y20，则x0且y0d若x2+y20，则x0或y05已知b，则下列不等式一定成立的是（）a b cln（ab）0d3ab16张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）a30尺b90尺c150尺d180尺7已知l是双曲线c：=1的一条渐近线，p是l上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若=0，则p到x轴的距离为（）a b c2d8设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）a若m，n，mn，则b若m，n，mn，则c若m，n，mn，则d若m，n，mn，则9设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）a b c d10（理）用随机模拟的方法估计圆周率的近似值的程序框图如图所示，p表示输出的结果，则图中空白处应填（）a b c d11设集合m=（x，y）|（x+1）2+y2=1，x，yr，n=（x，y）|x+yc0，x，yr，则使得mn=m的c的取值范围是（）a b（，c，+）d（，12定义在（0，）上的函数f（x），f（x）是它的导函数，且恒有f（x）f（x）tanx成立，则（）a f（）f（）bf（1）2f（）sin1c f（）f（）d f（）f（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13已知的展开（12x）5式中所有项的系数和为m，则14正方体abcda1b1c1d1的棱长为8，p、q分别是棱a1b1和b1c1的中点，则点a1到平面apq的距离为15以下命题正确的是函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；函数f（x）=x+（x0）的最小值为2；某校开设a类选修课3门，b类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；在某项测量中，测量结果服从正态分布n（2，2）（0）若在（，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内取值的概率为0.416已知数列an的前n项和为sn，s1=6，s2=4，sn0，且s2n，s 2n1s 2n+2成等比数列，s2n1s2n+2，s2n+1成等差数列，则a2016等于三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知，b=3（）求角b；（）若sina=，求abc的面积18根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位x（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位x27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河a企业影响如下：当x23，27）时，不会造成影响；当x27，31）时，损失10000元；当x31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由19已知一四棱锥pabcd的三视图如图，e是侧棱pc上的动点（）求四棱锥pabcd的体积；（）当点e在何位置时，bdae？证明你的结论；（）若点e为pc的中点，求二面角daeb的大小20已知椭圆： +=1（ab0）的离心率为，若与圆e：（x）2+y2=1相交于m，n两点，且圆e在内的弧长为（i）求a，b的值；（ii）过的中心作两条直线ac，bd交于a，c和b，d四点，设直线ac的斜率为k1，bd的斜率为k2，且k1k2=（1）求直线ab的斜率；（2）求四边形abcd面积的取值范围21定义在r上的函数f（x）满足f（x）=e2x+x2ax，函数g（x）=f（）x2+（1b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直（）求函数f（x）的解析式；（）求函数g（x）的单调区间；（）若s，t，r满足|sr|tr|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x1时，比ex1+b更靠近，试求b的取值范围请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分.选修41；几何证明选讲22如图，过圆e外一点a作一条直线与圆e交于b，c两点，且，作直线af与圆e相切于点f，连结ef交bc于点d，已知圆e的半径为2，ebc=30（1）求af的长；（2）求证：ad=3ed选修4-4；坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0），以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为=（p0）（）写出直线l的极坐标方程和曲线c的直角坐标方程；（）若直线l与曲线c相交于a，b两点，求+的值选修45；不等式选讲24设函数f（x）=|2x+1|x4|（1）解不等式f（x）0；（2）若f（x）+3|x4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围2016年辽宁省沈阳二中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）a4b c4d【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【分析】由题意可得 z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部【解答】解：复数z满足（34i）z=|4+3i|，z=+i，故z的虚部等于，故选：d2已知集合m=x|x1|1，n=x|y=log2（x21），则mn=（）a（1，2b（，1）0，+）c（，01，+）d（，1）0，2【考点】并集及其运算【分析】解绝对值不等式|x1|1，可以求出集合m，根据对数函数定义域，可以求出集合n，进而根据集合并集运算规则，求出结果【解答】解：若|x1|1则1x11即0x2故集合m=0，2，y=log2（x21），x210，解的x1或x1，m=（，1）（1，+），mn=（，1）0，+），故选：b3已知向量，满足|=4，在方向上的投影是，则=（）a2b2c0d【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据投影的定义便可得到，而，从而可求出的值【解答】解：根据条件，；故选b4命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（）a若x2+y2=0，则x0且y0b若x2+y2=0，则x0或y0c若x2+y20，则x0且y0d若x2+y20，则x0或y0【考点】命题的否定【分析】直接利用四种命题的逆否关系，写出否定命题即可【解答】解：命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为：若x2+y20，则x0或y0故选：d5已知b，则下列不等式一定成立的是（）a b cln（ab）0d3ab1【考点】对数函数的图象与性质【分析】直接利用对数函数的单调性写出结果即可【解答】解：y=是单调减函数，可得ab0，3ab1故选：d6张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）a30尺b90尺c150尺d180尺【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的定义与前n项和求解即可【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列an中，a1=5，a30=1，s30=90（尺）故选：b7已知l是双曲线c：=1的一条渐近线，p是l上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若=0，则p到x轴的距离为（）a b c2d【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设p（m， m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得p到x轴的距离【解答】解：双曲线c：=1的a=，b=2，c=，即有f1（，0），f2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且p（m， m），=（m，m）（m，m）=（m）（m）+（m）2=0，化为3m26=0，解得m=，则p到x轴的距离为|m|=2故选：c8设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）a若m，n，mn，则b若m，n，mn，则c若m，n，mn，则d若m，n，mn，则【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案【解答】解：选择支c正确，下面给出证明证明：如图所示：mn，m、n确定一个平面，交平面于直线lm，ml，lnn，l，l，故c正确故选c9设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）a b c d【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t）处切线的斜率为在点（t，f（t）处的导数值，可得答案【解答】解：f（x）=xsinx+cosxf（x）=（xsinx）+（cosx）=x（sinx）+（x）sinx+（cosx）=xcosx+sinxsinx=xcosxk=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x0时g（t）0故选b10（理）用随机模拟的方法估计圆周率的近似值的程序框图如图所示，p表示输出的结果，则图中空白处应填（）a b c d【考点】程序框图【分析】由题意以及框图的作用是用随机模拟的方法估计圆周率的近似值，可得处理框中应为计算值，由于试验共进行了600次，满足条件的共m次，进而可推断空白框内应填入的表达式【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图，m是点落在以原点为圆心，在半径为球内的次数，由当i600时，退出循环球内的点的次数为m，总试验次数为600，所以要求的概率满足=，故=所以空白框内应填入的表达式是故选a11设集合m=（x，y）|（x+1）2+y2=1，x，yr，n=（x，y）|x+yc0，x，yr，则使得mn=m的c的取值范围是（）a b（，c，+）d（，【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】集合m表示圆，集合n表示平面区域，画出图形，由数形结合知识，得出c的取值范围【解答】解：集合m=（x，y）|（x+1）2+y2=1，x，yr，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆，集合n=（x，y）|x+yc0，x，yr表示直线x+yc=0的左上方的平面区域且包含直线；画出图形，； 数形结合知，由圆心（1，0）到直线x+yc=0的距离dr=1，即1，解得c1或c1，由题意知，c1；故答案为：b12定义在（0，）上的函数f（x），f（x）是它的导函数，且恒有f（x）f（x）tanx成立，则（）a f（）f（）bf（1）2f（）sin1c f（）f（）d f（）f（）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，对选项一一加以判断，即可得到答案【解答】解：因为x（0，），所以sinx0，cosx0由f（x）f（x）tanx，得f（x）cosxf（x）sinx即f（x）sinxf（x）cosx0令g（x）=，x（0，），则g（x）=0所以函数g（x）=在x（0，）上为增函数，对于a，由于g（）g（），即，化简即可判断a错；对于b，由于g（1）g（），即，化简即可判断b正确；对于c，由于g（）g（），即，化简即可判断c错误；对于d，由于g（）g（），即，所以，即f（）f（）故d错误故选b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13已知的展开（12x）5式中所有项的系数和为m，则ln2【考点】二项式系数的性质【分析】根据展开式中所有项的系数和求出m的值，再计算定积分的值即可【解答】解：展开（12x）5式中所有项的系数和为m=（12）5=1，x1dx=lnx=ln2ln1=ln2故答案为：ln214正方体abcda1b1c1d1的棱长为8，p、q分别是棱a1b1和b1c1的中点，则点a1到平面apq的距离为frac83【考点】点、线、面间的距离计算【分析】利用等体积转换，即可求出点a1到平面apq的距离【解答】解：由题意，ap=4，pq=4，aq=12，cosapq=，sinapq=，sapq=24，设点a1到平面apq的距离为h，则由等体积可得=，h=故答案为：15以下命题正确的是函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；函数f（x）=x+（x0）的最小值为2；某校开设a类选修课3门，b类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；在某项测量中，测量结果服从正态分布n（2，2）（0）若在（，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内取值的概率为0.4【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据三角函数的图象平移关系进行判断，根据函数单调性和最值的关系进行判断，根据排列组合的公式进行求解判断，根据正态分布的性质进行求解判断【解答】解：函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sinx2（x）+=3sin2x，故正确，当a0时，函数f（x）=x+（x0）为增函数，此时没有最小值，故错误；某校开设a类选修课3门，b类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有=18+12=30种；故正确，在某项测量中，测量结果服从正态分布n（2，2）（0）若在（，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）的概率为0.50.1=0.4，则在（2，3）内取值的概率和在（1，2）的概率相同，都为0.4，故正确，故答案为：16已知数列an的前n项和为sn，s1=6，s2=4，sn0，且s2n，s 2n1s 2n+2成等比数列，s2n1s2n+2，s2n+1成等差数列，则a2016等于1009【考点】等比数列的前n项和【分析】由已知推导出数列是等差数列，且s3=12，s4=9，从而数列是首项为2，公差为1的等差数列，由此能求出a2016的值【解答】解：数列an的前n项和为sn，s1=6，s2=4，sn0，且s2n，s 2n1s 2n+2成等比数列，s2n1s2n+2，s2n+1成等差数列，依题意，得，sn0，+，即，故数列是等差数列，又由，（3b2+a2）（b2a2）=0，得s3=12，s4=9，数列是首项为2，公差为1的等差数列，即，故=（n+1）（n+2），故，s2015=10091010，故a2006=s2006s2005=1009故答案为：1009三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知，b=3（）求角b；（）若sina=，求abc的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（i）利用正弦定理与余弦定理即可得出；（ii）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（），a2b2=acc2，b（0，），（）由b=3，得a=2，由ab得ab，从而，故，abc的面积为18根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位x（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位x27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河a企业影响如下：当x23，27）时，不会造成影响；当x27，31）时，损失10000元；当x31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由二项分布求出未来3年，至多有1年河流水位x27，31）的概率值；（2）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好【解答】解：（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位x27，31）的概率为：p=+=，所以在未来3年，至多有1年河流水位x27，31）的概率为；（2）由题意知，p（23x27）=0.74，p（27x31）=0.25，p（31x35）=0.01；用x1、x2、x3分别表示采取方案一、二、三的损失，由题意知，x1=3800，x2的分布列如下； x2200062000p0.990.01所以e（x2）=20000.99+620000.01=2600；x3的分布列如下，x301000060000p0.740.250.01e（x3）=600000.01+100000.25=3100；因为采用方案二的损失最小，所以采用方案二最好19已知一四棱锥pabcd的三视图如图，e是侧棱pc上的动点（）求四棱锥pabcd的体积；（）当点e在何位置时，bdae？证明你的结论；（）若点e为pc的中点，求二面角daeb的大小【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）由该四棱锥的三视图知，该四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，侧棱pc底面abcd，且pc=2，由此能求出四棱锥pabcd的体积（）不论点e在pc上的何位置，都有bdae，欲证明此结论，只需证明bd平面pac，不论点e在何位置，都有ae平面pac即可（）法一：在平面dae内过点d作dgae于g，连接bg，由cd=cb，ec=ec，知rtecdrtecb，故bg=ea，所以dgb是二面角deab的平面角，由此能求出二面角daeb的大小法二：以点c为坐标原点，cd所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角daeb的大小【解答】解：（）由该四棱锥的三视图知，该四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，侧棱pc底面abcd，且pc=2，四棱锥pabcd的体积vpabcd=（）不论点e在pc上的何位置，都有bdae，证明如下：连接ac，abcd是正方形，bdac，pc底面abcd，且bd平面abcd，bdpc，acpc=c，bd平面pac，不论点e在何位置，都有ae平面pac，不论点e在何位置，都有bdae（）解法一：在平面dae内过点d作dgae于g，连接bg，cd=cb，ec=ec，rtecdrtecb，bg=ea，dgb是二面角deab的平面角，bcde，adbc，adde，在rtade中，dg=bg，在dgb中，由余弦定理得dgb=解法二：以点c为坐标原点，cd所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：则d（1，0，0），a（1，1，0），b（0，1，0），e（0，0，1），从设平面ade和平面abe的法向量分别为由可得：a+c=0，b=0，同理得：a=0，b+c=0令c=1，c=1，则a=1，b=1，设二面角daeb的平面角为，则dgb=20已知椭圆： +=1（ab0）的离心率为，若与圆e：（x）2+y2=1相交于m，n两点，且圆e在内的弧长为（i）求a，b的值；（ii）过的中心作两条直线ac，bd交于a，c和b，d四点，设直线ac的斜率为k1，bd的斜率为k2，且k1k2=（1）求直线ab的斜率；（2）求四边形abcd面积的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（i）由圆e在内的弧长为，可得该弧所对的圆心角为，可得m，n，可得：，解出即可得a，b（ii）（1）设a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立，可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，利用根与系数的关系代入k1k2=，即4y1y2=x1x2，可得4k2=1，解得k（2）|ab|=，点o到直线ba的距离d=，四边形abcd的面积s=4sabo=2|ab|d，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（i）由圆e在内的弧长为，可得该弧所对的圆心角为，可得m，n，可得：，解得a=2，b=1椭圆的方程为：（ii）（1）设a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab的方程为：y=kx+m，联立，可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，=16（1+4k2m2）0，x1+x2=，x1x2=y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，k1k2=，即4y1y2=x1x2，4k2=1，解得（2）|ab|=，点o到直线ba的距离d=，四边形abcd的面积s=4sabo=2|ab|d=4|m|4=4，m2（0，2），且m21，s（0，4）21定义在r上的函数f（x）满足f（x）=e2x+x2ax，函数g（x）=f（）x2+（1b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直（）求函数f（x）的解析式；（）求函数g（x）的单调区间；（）若s，t，r满足|sr|tr|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x1时，比ex1+b更靠近，试求b的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明【分析】（）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）的解析式；（）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数g（x）的单调区间；（）根据更靠近的定义，构造函数，求函数的导数，利用最值和导数的关系进行求解即可【解答】解：（）f（x）=e2x+x2ax，f（x）=2e2x+2xa，函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直f（0）=2a=0，得a=2，f（x）=e2x+x22x；（）g（x）=f（）x2+（1b）x+b=exb（x1），则g（x）=exb，若b0，g（x）0，则g（x）在（，+）上为增函数，若b0，由g（x）0得xlnb，由g（x）0得xlnb，即g（x）在（，lnb）上为减函数，则（lnb，+）上为增函数；（）函数g（x）有极值，b0，由题意知|lnx|ex1+blnx|，（），设p（x）=lnx，x1，q（x）=ex1+blnx，（x1），p（x）在1，+）上是减函数，p（e）=0，当1xe时，p（x）=lnx0，当xe时，p（x）=lnx0，q（x）=ex1，q（x）在1，+）上为增函数，q（x）q（1）=0，即q（x）在1，+）上为增函数，则q（x）q（1）=b+10，则q（x）=ex1+blnx0，当1xe时，lnxex1+blnx，即bex1，设m（x）=ex1，m（x）=ex1，在1，e上为减函数，bm（1），即be1，当xe时，（）即lnxex1+blnx，即b+2lnxex1，设n（x）=+2lnxex1，xe，则n（x）=+ex1，xe，则n（x）在（e，+）上为减函数，n（x）n（e），n（e）=ee10，n（x）在（e，+）上为减函数，n（x）n（e）=1ee1，则b1ee1，综上be1请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分.选修41；几何证明选讲22如图，过圆e外一点a作一条直线与圆e交于b，c两点，且，作