辽宁省沈阳市铁路中学高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数z=（br，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z是（）a i bi ci di2曲线f（x）=x3+x2在p0处的切线平行于直线y=4x1，则p0的坐标为（）a（1，0） b（2，8） c（1，0）或（1，4） d（2，8）或（1，4）3设n是自然数，f（n）=1+，经计算可得，f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32）观察上述结果，可得出的一般结论是（）af（2n）bf（n2）cf（2n）d4由曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积为（）a b c1 d5用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n12（2n1）（nn+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）a2k+1 b2k+3 c2（2k+1） d2（2k+3）6函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）a（，e） b（0，） c（，） d（，+）7已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（）a20 b10 c10 d208设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体sabc的体积为v，则r=（）a bc d9若f（x）=x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是（）a1，+） b（1，+） c（，1d（，1）10已知函数f（x）=sinxx，xr，则f（）、f（1）、f（）的大小关系（）af（）f（1）f（） bf（）f（1）f（） cf（1）f（）f（） df（）f（）f（1）11设函数y=fn（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk（x）=，取函数f（x）=，恒有fk（x）=f（x），则（）ak的最大值为bk的最小值为ck的最大值为2 dk的最小值为212已知定义在r上的奇函数f（x），设其导函数为f（x），当x（，0时，恒有xf（x）f（x），令f（x）=xf（x），则满足f（3）f（2x1）的实数x的取值范围是（）a（，2） b（2，1） c（1，2） d（1，）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13已知复数z=，则|z|=14已知函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=15定积分（2+）dx=16若函数f（x）=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17（1）已知：a0，求证：（2）设x，y都是正数，且x+y2，试用反证法证明：2和2中至少有一个成立18已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f（x）=2x+2（1）求f（x）的解析式（2）求函数y=f（x）与y=x24x+1所围成的图形的面积19已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）取得的极值3（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x0，不等式f（x）+2m2m0恒成立，求实数m的取值范围20当nn*时，tn=+（）求s1，s2，t1，t2；（）猜想sn与tn的关系，并用数学归纳法证明21已知函数f（x）=（x22ax+2）ex（1）函数f（x）在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；（2）当a0时，若曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围22已知函数f（x）=ax1lnx（ar）（）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（）若函数f（x）在x=1处取得极值，对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围；（）当0xye2且xe时，试比较的大小2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数z=（br，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z是（）a i bi ci di【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的乘法运算法则，化简复数为a+bi的形式，利用虚部为0，实部为0，求出复数z【解答】解：复数z=，复数z=（br，i是虚数单位）是纯虚数，2+b=0，2b10，解得，b=2z=i故选：c2曲线f（x）=x3+x2在p0处的切线平行于直线y=4x1，则p0的坐标为（）a（1，0） b（2，8） c（1，0）或（1，4） d（2，8）或（1，4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标【解答】解：因为直线y=4x1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f（x）=4因为函数的导数为f（x）=3x2+1，由f（x）=3x2+1=4，解得x=1或1当x=1时，f（1）=0，当x=1时，f（1）=4所以p0的坐标为（1，0）或（1，4）故选c3设n是自然数，f（n）=1+，经计算可得，f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32）观察上述结果，可得出的一般结论是（）af（2n）bf（n2）cf（2n）d【考点】归纳推理【分析】已知的式子可化为f（22），f（23），f（24），f（25），由此规律可得f（2n）【解答】解：f（4）2，f（8），f（16）3，f（32）f（22），f（23），f（24），f（25），以此类推，可得f（2n）（n1）f（2）=f（2n）故选：c4由曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积为（）a b c1 d【考点】定积分【分析】把曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积转化为定积分，求定积分得答案【解答】解：由题意可知，曲线y=x2与y=的边界所围成区域的面积=故选：a5用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n12（2n1）（nn+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）a2k+1 b2k+3 c2（2k+1） d2（2k+3）【考点】数学归纳法【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求【解答】解：当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）（k+k）=（k+1）（k+2）（2k），当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：c6函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）a（，e） b（0，） c（，） d（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间【解答】解：f（x）=lnx+1，令f（x）0，解得：0x，故选：b7已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（）a20 b10 c10 d20【考点】极限及其运算【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出【解答】解：函数f（x）=2ln3x+8x，f（x）=+8，f（1）=10=2=2f（1）=20故选：d8设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体sabc的体积为v，则r=（）a bc d【考点】类比推理【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为o，则球心o到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以o为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为r=故选c9若f（x）=x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是（）a1，+） b（1，+） c（，1d（，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案【解答】解：由题意可知，在x（1，+）上恒成立，即bx（x+2）在x（1，+）上恒成立，由于y=x（x+2）在（1，+）上是增函数且y（1）=1，所以b1，故选c10已知函数f（x）=sinxx，xr，则f（）、f（1）、f（）的大小关系（）af（）f（1）f（） bf（）f（1）f（） cf（1）f（）f（） df（）f（）f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【分析】已知函数f（x）=sinxx，求其导数，利用导数研究函数f（x）的单调性，再比较f（）、f（1）、f（）的大小关系，即可解决问题【解答】解：f（x）=sinxxf（x）=cosx10，故函数f（x）在r是单调减函数，又1，f（）f（1）f（）故选a11设函数y=fn（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk（x）=，取函数f（x）=，恒有fk（x）=f（x），则（）ak的最大值为bk的最小值为ck的最大值为2 dk的最小值为2【考点】函数恒成立问题【分析】由已知条件可得kf（x）max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果【解答】解：函数fk（x）=，等价为kf（x）max，f（x）=，f（x）=，设g（x）=，则g（x）在（0，+）单调递减，且g（1）=0，令f（x）=0，即，解出x=1，当0x1时，f（x）0，f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，f（x）单调递减故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=故当k时，恒有fk（x）=f（x）因此k的最小值为故选：b12已知定义在r上的奇函数f（x），设其导函数为f（x），当x（，0时，恒有xf（x）f（x），令f（x）=xf（x），则满足f（3）f（2x1）的实数x的取值范围是（）a（，2） b（2，1） c（1，2） d（1，）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf（x）+f（x）0，得到：xf（x）0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反故建立不等式组，解不等式组求的结果【解答】解：定义在r上的奇函数f（x），所以：f（x）=f（x）设f（x）的导函数为f（x），当x（，0时，恒有xf（x）f（x），则：xf（x）+f（x）0即：xf（x）0所以：函数f（x）=xf（x）在（，0）上是单调递减函数由于f（x）为奇函数，令f（x）=xf（x），则：f（x）为偶函数所以函数f（x）=xf（x）在（0，+）上是单调递增函数则：满足f（3）f（2x1）满足的条件是：解得：所以x的范围是：（）故选：a二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13已知复数z=，则|z|=【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】化简复数z=，再求其模即可【解答】解：由复数z=化简得z=，|z|=故答案为14已知函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=2【考点】导数的运算【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f（1）的方程，进而得到f（1）的值，确定出函数f（x）的解析式，把x=1代入f（x）解析式，即可求出f（1）的值【解答】解：求导得：f（x）=2f（1）+，令x=1，得到f（1）=2f（1）+1，解得：f（1）=1，f（x）=2x+lnx，则f（1）=2+ln1=2故答案为215定积分（2+）dx=【考点】定积分【分析】根据积分的法则，（2+）dx=+，分步计算，令y=，问题得以解决【解答】解：（2+）dx=+=+=2+，令y=，得x2+y2=1（y0），点（x，y）的轨迹表示半圆，表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，故=，（2+）dx=故答案为；16若函数f（x）=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求f（x）的定义域为（0，+），求导f（x）=2x=；从而可得（a1，a+1）；从而求得【解答】解：f（x）=x2lnx+1的定义域为（0，+），f（x）=2x=；函数f（x）=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，f（x）=2x=在区间（a1，a+1）上有零点，而f（x）=2x=的零点为；故（a1，a+1）；故a1a+1；解得，a；又a10，a1；故答案为：三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17（1）已知：a0，求证：（2）设x，y都是正数，且x+y2，试用反证法证明：2和2中至少有一个成立【考点】反证法与放缩法；综合法与分析法(选修）【分析】（1）根据不等式的特点，利用分析法证明；（2）结合题目结论，采用反证法证明【解答】（1）（分析法）要证原不等式成立，只需证即证只要证（a+5）（a+4）（a+6）（a+3）即 证 2018上式显然成立，原不等式成立（2）假设和都不成立，即，又x，y都是正数，1+x2y，1+y2x两式相加得到 2+（x+y）2（x+y），x+y2与已知x+y2矛盾，所以假设不成立，即和中至少有一个成立18已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f（x）=2x+2（1）求f（x）的解析式（2）求函数y=f（x）与y=x24x+1所围成的图形的面积【考点】函数与方程的综合运用；定积分【分析】（1）用待定系数法设出解析式，据=0，和f（x）=2x+2确定结果（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数【解答】解：（1）y=f（x）是二次函数，且f（x）=2x+2可设f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，=44c=0c=1，f（x）=x2+2x+1（2）函数f（x）=x2+2x+1与函数y=x24x+1的图象交于点（0，1），（3，4），两函数图象所围成的图形的面积为=19已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）取得的极值3（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x0，不等式f（x）+2m2m0恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，求出a，b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为f（x）m2m2对任意x0恒成立，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=3ax2+2bx，当x=1时，f（x）的极值为3，解得：，f（x）=6x39x2f（x）=18x218x，由f（x）0得x0或x1，由f（x）0得0x1函数f（x）的单调递增区间是（，0）和 （1，+），单调递减区间是（0，1）（2）f（x）+2m2m0对任意x0恒成立，即f（x）m2m2对任意x0恒成立，即由（1）知当x=1，fmin（x）=f（1）=33m2m2，即2m2c30，m1或20当nn*时，tn=+（）求s1，s2，t1，t2；（）猜想sn与tn的关系，并用数学归纳法证明【考点】数学归纳法；数列的求和【分析】（）由已知直接利用n=1，2，求出s1，s2，t1，t2的值；（）利用（1）的结果，直接猜想sn=tn，然后利用数学归纳法证明，验证n=1时猜想成立；假设n=k时，sk=tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可【解答】解：（）当nn*时，tn=+s1=1=，s2=1+=，t1=，t2=+=（）猜想：sn=tn（nn*），即：1+=+（nn*）下面用数学归纳法证明：当n=1时，已证s1=t1假设n=k时，sk=tk（k1，kn*），即：1+=+则：sk+1=sk+=tk+=+=+（）=+=tk+1，由，可知，对任意nn*，sn=tn都成立21已知函数f（x）=（x22ax+2）ex（1）函数f（x）在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；（2）当a0时，若曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）切点在曲线上，求得b=2，对函数求导，利用导数的几何意义，得出f（0）=2，从而求得a=2；（2）曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，等价于其导数等于k有三个解，结合函数图象的走向，从而确定出其范围应该介于极小值和极大值之间即可【解答】解：（1）f（x）=（x22ax+2）ex，f（0）=2e0=2，2+b=0，得b=2，f（x）=（x22ax+2+2x2a）ex=x2+（22a）x+22aex，f（0）=22a=2，求得a=2，a=2，b=2（2）f（x）=x2+（22a）x+22aex，令h（x）=f（x），依题知存在k使h（x）=k有三个不同的实数根，h（x）=（x22ax+2+2x2a+2x2a+4）ex=x2+（42a）x+44aex，令h（x）=x2+（42a）x+44aex=0，求得x1=2，x2=2a2，由a0知x1x2，则f（x）在（，2），（2a2，+）上单调递增，在（2，2a2）上单调递减当x时，f（x）0，当x+时，f（x）+，f（x）的极大值