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第四章 微分法 积分法 互逆运算 不定积分 1 二 基本积分表 三 不定积分的性质 一 原函数与不定积分的概念 第一节 机动目录上页下页返回结束 不定积分的概念与性质 2 一 原函数与不定积分的概念 机动目录上页下页返回结束 3 机动目录上页下页返回结束 问题 1 在什么条件下 一个函数的原函数存在 2 若原函数存在 它如何表示 4 定理 存在原函数 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动目录上页下页返回结束 5 定理 原函数都在函数族 C为任意常数 内 机动目录上页下页返回结束 6 不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族 机动目录上页下页返回结束 的积分曲线 7 例1 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解 所求曲线过点 1 2 故有 因此所求曲线为 机动目录上页下页返回结束 8 第二节 不定积分的概念与性质 9 二 基本积分表p170 171 从不定积分定义可知 或 或 机动目录上页下页返回结束 10 例2 求 例3 求 机动目录上页下页返回结束 11 三 不定积分的性质 机动目录上页下页返回结束 12 例4 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 13 例5 求 解 原式 例6 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 14 例7 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 15 内容小结 1 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2 直接积分法 利用恒等变形 及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 代数公式 积分性质 机动目录上页下页返回结束 16 思考与练习 1 若 提示 机动目录上页下页返回结束 17 2 若 是 的原函数 则 提示 已知 机动目录上页下页返回结束 18 3 若 的导函数为 则 的一个原函数 是 提示 已知 求 即 B 或由题意 其原函数为 机动目录上页下页返回结束 19 4 求下列积分 提示 机动目录上页下页返回结束 20 5 求不定积分 解 机动目录上页下页返回结束 21 6 已知 求A B 解 等式两边对x求导 得 机动目录上页下页返回结束 22 二 第二类换元法 第三节 一 第一类换元法 机动目录上页下页返回结束 换元积分法 第四章 23 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 机动目录上页下页返回结束 设 可导 则有 24 一 第一类换元法 机动目录上页下页返回结束 25 例1 求 解 令 则 故 原式 机动目录上页下页返回结束 26 例2 求 解 令 则 机动目录上页下页返回结束 27 例3 求 解 机动目录上页下页返回结束 28 例4 求 解 机动目录上页下页返回结束 类似 29 例5 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 30 31 例6 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 32 例7 求 解 原式 例8 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 33 例9 求 解法1 解法2 两法结果一样 机动目录上页下页返回结束 34 例10 求 机动目录上页下页返回结束 35 例11 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 36 例12 求 解 机动目录上页下页返回结束 37 例13 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 38 例14 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 分析 39 1 求 提示 法1 法2 法3 作业目录上页下页返回结束 思考与练习 40 二 第二类换元法 机动目录上页下页返回结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求 则得第二类换元积分法 难求 41 定理2 设 是单调可导函数 且 具有原函数 机动目录上页下页返回结束 则有换元公式 42 例16 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 43 例17 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 44 例18 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 45 令 于是 机动目录上页下页返回结束 46 原式 例19 求 解 令 则 原式 当x 0时 类似可得同样结果 机动目录上页下页返回结束 47 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例20 求 48 例21 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 49 例22 求 解 令 得 原式 机动目录上页下页返回结束 50 思考与练习 下列积分应如何换元才使积分简便 令 令 令 机动目录上页下页返回结束 51 第三节 由导数公式 积分得 分部积分公式 或 机动目录上页下页返回结束 分部积分法 第四章 52 例1 求 解 令 则 原式 思考 如何求 提示 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 53 例2 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 54 例3 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 55 例4 求 解 令 则 原式 再令 则 故原式 机动目录上页下页返回结束 56 解题技巧 把被积函数视为两个函数之积 按 反对幂指三 的 顺序 前者为后者为 例5 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 反 反三角函数对 对数函数幂 幂函数指 指数函数三 三角函数 57 例6 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 令 58 例7 已知 的一个原函数是 求 解 说明 此题若先求出 再求积分反而复杂 机动目录上页下页返回结束 59 60 思考与练习 下述运算错在哪里 应如何改正 得0 1 答 不定积分是原函数族 相减不应为0 求此积分的正确作法是用换元法 机动目录上页下页返回结束 61 第四节 机动目录上页下页返回结束 有理函数的积分 第四章 62 一 有理函数的积分 有理函数 时 为假分式 时 为真分式 有理函数 多项式 真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 机动目录上页下页返回结束 63 例1 将下列真分式分解为部分分式 解 1 用拼凑法 机动目录上页下页返回结束 64 2 用赋值法 故 机动目录上页下页返回结束 65 3 混合法 机动目录上页下页返回结束 原式 66 四种典型部分分式的积分 机动目录上页下页返回结束 变分子为 再分项积分 67 例2 求 解 已知 例1 3 目录上页下页返回结束 68 例3 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 69 例4 求 解 机动目录上页下页返回结束 说明 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行 但不一定简便 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 70 例5 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 71 二 简单无理函数的积分 被积函数为简单根式的有理式 可通过根式代换 化为有理函数的积分 例如 机动目录上页下页返回结束 72 例6 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 73 例7 求 解 为去掉被积函数分母中的根式 取根指数2 3的 最小公倍数6 则有 原式 令 机