【素材】《证明复习题》典型例题（苏科）.docx

典型例题例1：C岛在A岛北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛北偏西40方向，从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？解法1CAB=BAD-CAD=80-50=30ADBE（已知）BAD+ABE=180（两直线平行同旁内角互补）ABE=180-BAD=180-80=100ABC=ABE-CBE=100-40=60在ABC中ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90（三角形内角和等于180）答：从C岛看A，B两岛视角ACB为90解法2过点C作CFADADBE（已知）CFBE（平行于第三条直线的两条直线平行）ACF=CAD=50（两直线平行内错角相等）BCF=CBE=40（两直线平行内错角相等）ACB=ACF+BCF=50+40=90答：从C岛看A、B两岛视角ACB为90反思：这种解法没有用到DAB=80的条件因为ADBE，DAB+ABE=180CAD+CBE=50+40=90，CAB+CBA=180-90=90即ABC的两个角CAB与CBA和是不变的，这决定ACB的大小，而DAB的大小不影响CAB与CBA的和例2：已知BAF，CBD，ACE是ABC的三个外角求证：BAF+CBD+ACE=360证明：BAF=2+3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）CBD=1+3ACE=1+2BAF+CBD+ACE=2（1+2+3）1+2+3=180（三角形内角和等于180）BAF+CBD+ACE=2180=360例3：已知P是ABC内一点求证：BPCBAC分析：找中间量证明：延长BP交AC于D在PCD中BPCPDC（三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）同理：PDCBACBPCBAC例4：三角形三条外角平分线相交构成的三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D都有可能如图中，ABC的三条外角平分线AA，BB，CC反向延长后交出ABC分析：EAB=2+3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）FBC=1+2+EAB+FBC=1+2+3+2（EAB+FBC）=90+2（三角形内角和等于180）即4+5=90+290A90（三角形内角和等于180）同理B90C5B，3C2B，则这个三角形是（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形分析：由已知条件可知，A最大，应继续分析A是否大于90，还是等于或小于90，若条件为等式则可求角，而本题条件为不等式则可求角的范围解法1：由已知3A5B3A3B+CAB+C又A+B+C=180A90选（A）解法2：由已知：，设B为3份，则A5份，C2份AB+C又A+B+C=180A90选（A）解法3：不等量代换：由已知：A+B+C=180选（A）解法4：由已知（1）（2）（2）代入（1）AB+C选（A）例6：已知AD、BE分别是CAG、CBG的平分线，AFB=100，1+2=35求：C的度数解法1：AD，BE分别是CAG，CBG的平分线3=1，4=2（角平分线定义）1+2=353+4=35AFB=3+5，5=C+4（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）AFB=3+4+CC=AFB-（3+4）=10035=65答：C=65解法2：连接AB，在AFB中AFB=100FAB+FBA=180-100=80（三角形内角和等于180）3+4=1+2=35（角平分线定义）C=180-CAB-CBA=180-（80+35）=65答：C=65例7：已知：ABC的外角ACE的平分线与BA延长线交于D求证：BACB证明：BAC1（三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角）同理2B而1=2（角平分线定义）BACB例8：已知：ABC中B的平分线与ACD的平分线交于点P求证：2P=A证明：ACD=A+ABC（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）即（角平分线定义）又2+3+A=1+4+P=180（三角形内角和定理）且3+4（对顶角相等）2+A=1+P代入2P=A证明方法2（简证）在ABC中，A=180-ABC-ACB（三角形内角和等于180）在PCB中，2P=A例9、已知：图中A=D=30，DFA=100，1=2求：1的度数解：DFA=100A=30AMF=100-30=70DMC=180-70=110在DMC中MCD=180-DMC-D=180-110-30=40答：1=70例10、已知：在ABC中，B=C，在ADE中ADE=AED，BAD=40求：EDC度数解：EDC=ADC-ADE，B=C又ADC=B+BAD，BAD=40ADC=C+40AED=EDC+C且AED=ADEADE=EDC+C把，代入：EDC=C+40-EDC-C2ED