2015年北京市中考数学试卷.docx

2015年北京市高级中等学校招生考试(满分:120分时间:120分钟第卷(选择题,共30分)一、选择题(本题共30分,每小题3分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.1.截止到2015年6月1日,北京市已建成34个地下调蓄设施,蓄水能力达到140 000立方米,将140 000用科学记数法表示应为()A.14104B.1.4105C.1.4106D.0.141062.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最大的是()A.aB.bC.cD.d3.一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除了颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为()A.16B.13C.12D.234.剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品中,是轴对称图形的为()5.如图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4l1,若1=124,2=88,则3的度数为()A.26B.36C.46D.566.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为()A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km7.某市6月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别是()A.21,21 B.21,21.5C.21,22 D.22,228.下图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图,若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向,表示太和门的点的坐标为(0,-1),表示九龙壁的点的坐标为(4,1),则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()A.景仁宫(4,2)B.养心殿(-2,3)C.保和殿(1,0)D.武英殿(-3.5,-4)9.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠:会员年卡类型办卡费用(元)每次游泳收费(元)A类5025B类20020C类40015例如,购买A类会员年卡,一年内游泳20次,消费50+2520=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于4555次之间,则最省钱的方式为()A.购买A类会员年卡B.购买B类会员年卡C.购买C类会员年卡D.不购买会员年卡10.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示,通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA,OB,OC组成.为记录寻宝者的行进路线,在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则寻宝者的行进路线可能为()A.AOBB.BACC.BOCD.CBO第卷(非选择题,共90分)二、填空题(本题共18分,每小题3分)11.分解因式:5x3-10x2+5x=.12.下图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则1+2+3+4+5=.13.九章算术是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中,方程术是九章算术最高的数学成就.九章算术中记载:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问:牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值金10两;2头牛、5只羊,值金8两.问:每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两,每只羊值金y两,可列方程组为.14.关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:a=,b=.15.北京市2009-2014年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息,预估2015年北京市轨道交通日均客运量约万人次,你的预估理由是.16.阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图:作一条线段的垂直平分线.已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.小芸的作法如下:如图,(1)分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;(2)作直线CD.所以直线CD就是所求作的垂直平分线.老师说:“小芸的作法正确.”请回答:小芸的作图依据是.三、解答题(本题共72分,第1726题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.计算:12-2-(-7)0+|3-2|+4sin 60.18.已知2a2+3a-6=0,求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.19.解不等式组4(x+1)7x+10,x-5x-83,并写出它的所有非负整数解.20.如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E.求证:CBE=BAD.21.为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底,全市已有公租自行车25 000辆,租赁点600个.预计到2015年底,全市将有公租自行车50 000辆,并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底,全市将有租赁点多少个?22.在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连结AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.23.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k0)与双曲线y=8x的一个交点为P(2,m),与x轴、y轴分别交于点A,B.(1)求m的值;(2)若PA=2AB,求k的值.24.如图,AB是O的直径,过点B作O的切线BM,弦CDBM,交AB于点F,且DA=DC,连结AC,AD,延长AD交BM于点E.(1)求证:ACD是等边三角形;(2)连结OE,若DE=2,求OE的长.25.阅读下列材料:2015年清明小长假,北京市属公园开展以“清明踏青,春色满园”为主题的游园活动.虽然气温小幅走低,但游客踏青赏花的热情很高,市属公园游客接待量约为190万人次.其中,玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧,两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次;颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地,游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次;北京动物园游客接待量为18万人次,熊猫馆的游客密集度较高.2014年清明小长假,天气晴好,北京市属公园游客接待量约为200万人次.其中,玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增长了25%;颐和园游客接待量为26.2万人次,比2013年清明小长假增加了4.6万人次;北京动物园游客接待量为22万人次.2013年清明小长假,玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次.根据以上材料解答下列问题:(1)2014年清明小长假,玉渊潭公园游客接待量为万人次;(2)选择统计表或统计图,将2013-2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来.26.有这样一个问题:探究函数y=12x2+1x的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是;(2)下表是y与x的几组对应值.x-3-2-1-12-131312123y25632-12-158-531855181783252m求m的值;(3)如下图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是1,32.结合函数的图象,写出该函数的其他性质(一条即可):.27.在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线与直线y=x-1交于点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B.(1)求点A,B的坐标;(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标;(3)若抛物线C2:y=ax2(a0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.备用图28.在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连结AP,平移ADP,使点D移动到点C,得到BCQ,过点Q作QHBD于点H,连结AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图1,依题意补全图1;判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上,且AHQ=152,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果) 图1备用图29.在平面直角坐标系xOy中,C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P,满足CP+CP=2r,则称P为点P关于C的反称点.下图为点P及其关于C的反称点P的示意图.特别地,当点P与圆心C重合时,规定CP=0.(1)当O的半径为1时,分别判断点M(2,1),N32,0,T(1,3)关于O的反称点是否存在.若存在,求其坐标;点P在直线y=-x+2上,若点P关于O的反称点P存在,且点P不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;(2)C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=-33x+23与x轴、y轴分别交于点A,B.若线段AB上存在点P,使得点P关于C的反称点P在C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.2015年北京市高级中等学校招生考试一、选择题1.B140 000=1.4105.故选B.2.A因为a对应的点到原点的距离最大,所以a的绝对值最大.故选A.3.B一共有6个小球,其中有2个黄球,所以摸出黄球的概率为26=13.故选B.4.D选项A、B既不是中心对称图形也不是轴对称图形;选项C是中心对称图形,不是轴对称图形;选项D是轴对称图形.故选D.5.Bl4l1,4=180-1=180-124=56,3=180-2-4=180-88-56=36.故选B.6.DACBC,M是AB的中点,MC=12AB=AM=1.2 km.故选D.7.C在这组数据中,21出现的次数最多,所以众数为21;6月份一共30天,所以中位数是排序后第15和第16个数的平均数,这两个数均为22,所以中位数是22.故选C.8.B因为表示太和门的点的坐标为(0,-1),表示九龙壁的点的坐标为(4,1),所以可以确定表示中和殿的点的坐标为(0,0),即坐标原点,所以表示景仁宫、养心殿、保和殿、武英殿的点的坐标分别为(2,4)、(-2,3)、(0,1)、(-3.5,-3),选项B正确.故选B.评析本题考查了平面直角坐标系的实际应用,属容易题.9.C由题意可知,若购买A类会员年卡,则需要消费1 175元至1 425元;若购买B类会员年卡,则需要消费1 100元至1 300元;若购买C类会员年卡,则需要消费1 075元至1 225元;若不购买会员年卡,则需要消费1 350元至1 650元,所以最省钱的方式为购买C类会员年卡.故选C.10.C由于表示y与x的函数关系的图象是轴对称图形,那么行走路线相对于M来说也是对称的,从而排除A选项和D选项.B选项,BA过程中,寻宝者与定位仪器之间的距离先减小,然后增大,但增大的时间比减小的时间要长,所以B选项错误.选项C符合题意.故选C.评析本题考查了函数图象的实际应用,解决本题的关键是将题目中行进路线与定位仪器之间的距离有机结合,从而寻找出合理的行进路线.属中等难度题.二、填空题11.答案5x(x-1)2解析5x3-10x2+5x=5x(x2-2x+1)=5x(x-1)2.12.答案360解析多边形的外角和为360,1+2+3+4+5=360.13.答案5x+2y=102x+5y=8解析由译文可知,5x+2y=10,2x+5y=8,这两个条件要同时满足,所以可列方程组为5x+2y=10,2x+5y=8.14.答案1;1(满足a=b2(a0)即可)解析方程为一元二次方程,且有两个相等的实数根, a0,=b2-a=0.a=b2(a0).例如a=1,b=1.答案不唯一.15.答案1 000;增长趋势变缓(答案不唯一.预估理由需包含统计图提供的信息,且支撑预估的数据)解析折线图反映了日均客运量的具体数据和增长趋势,每年都在增加,幅度在50210之间.答案不唯一,只要有支撑预估的数据即可.例如不超过1 000万人次,预估理由是增长趋势变缓.16.答案到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,两点确定一条直线解析由小芸的作法可知,AC=BC,AD=BD,所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点C、D在线段AB的垂直平分线上,再由“两点确定一条直线”可知直线CD就是所求作的垂直平分线.评析本题考查了作线段的垂直平分线的依据,需要学生对相关的定理非常熟悉,题目不难,但对于学生而言题目非常新颖,同时提醒教师在平时授课中要重视尺规作图.属中档题.三、解答题17.解析原式=4-1+(2-3)+432=5+3.18解析原式=6a2+3a-4a2+1=2a2+3a+1=(2a2+3a-6)+7=7.19.解析4(x+1)7x+10, x-5x-83. 解不等式,得x-2.解不等式,得x72.原不等式组的解集为-2x0.当直线经过第一、二、三象限时,如图1.图1过点P作PHx轴于点H,可得PHABOA,PA=2AB,PHBO=PABA=2.PH=4,OB=2.点B的坐标为(0,2).由直线经过点P,B,可得k=1.当直线经过第一、三、四象限时,如图2.图2同理,由PA=2AB,可得点B的坐标为(0,-2).由直线经过点P,B,可得k=3.综上所述,k=1或k=3.24.解析(1)证明:AB是O的直径,BM是O的切线,ABBM.CDBM,ABCD.AD=AC.DA=DC,AD=AC=DC.AD=AC=DC.ACD是等边三角形.(2)连结BD,如图.AB是O的直径,ADB=90.ABD=C=60,DBE=30.在RtBDE中,DE=2,可得BE=4,BD=23.在RtABD中,可得AB=43.OB=23.在RtOBE中,由勾股定理可得OE=27.25.解析(1)40.(2)统计表如下:2013-2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量统计表(单位:万人次)公园年份游客接待量玉渊潭公园颐和园北京动物园2013年3221.614.92014年4026.2222015年382618评析本题通过三段文字来阐述清明小长假北京市属公园的游客接待量,需要独立设计合理的统计图表,这与以往“直接”给出图表完全不同,更能体现出考查“应用意识”.属中档题.26.解析(1)x0.(2)当x=3时,y=296.m=296.(3)该函数的图象如下图所示.(4)该函数的其他性质:当x0时,y随x的增大而减小;当0x0.当抛物线C2经过点B时,a=2,此时抛物线C2与线段AB有两个公共点,不符合题意.当抛物线C2经过点A时,a=29.结合函数的图象可知,a的取值范围为29a2.评析本题考查了对称点的坐标、函数解析式的确定以及临界点问题,解决最后一问的关键是画图.属中档题.28.解析(1)补全图形,如图1所示.图1AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AHPH.证明:如图1.由平移可知,PQ=DC.四边形ABCD是正方形,AD=DC,ADB=BDQ=45.AD=PQ.QHBD,HQD=HDQ=45.HD=HQ,ADB=DQH.ADHPQH.AH=PH,AHD=PHQ.AHD+DHP=PHQ+DHP.即AHP=DHQ=90.AHPH.(2)求解思路如下:a.由AHQ=152画出图形,如图2所示;b.与同理,可证AHDPHQ,可得AH=PH;c.由AHP=AHD-PHD=PHQ-PHD=90,可得AHP是等腰直