3.1变化率与导数(上课).ppt

牛顿 莱布尼兹 两人同时创立了微积分 导数及其应用 3 1 1变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度 变化率问题 第一次 第二次 0 62dm 0 16dm 问题一 气球膨胀率 气球的平均膨胀率为 气球的平均膨胀率为 当气球的空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 思考 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态 那么 在0 t 0 5这段时间里 在1 t 2这段时间里 问题二 高台跳水 计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题 1 运动员在这段时间里是静止的吗 2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态 探究 式子 平均变化率的定义 若设 x x2 x1 y f x2 f x1 则平均变化率为 这里 x看作是相对于x1的一个 增量 可用x1 x代替x2同理 y f x2 f x1 y x f x2 f x1 x2 x1 称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 思考 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 O A B x y Y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 直线AB的斜率 例1 已知函数 分别计算在下列区间上的平均变化率 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 4 3 2 1 例题讲解 例2 求函数y 5x2 6在区间 2 2 x 内的平均变化率 解 y 5 2 x 2 6 5 22 6 20 x 5 x2 所以平均变化率为 例题讲解 1 一质点运动的方程为s 1 2t2 则在一段时间 1 2 内的平均速度为 A 4B 8C 6D 6 C 课堂练习 2 设函数y f x 当自变量x由x0改变到x0 x时 函数的改变量为 A f x0 x B f x0 xC f x0 xD f x0 x f x0 D 3 已知f x 2x2 1 1 求 其从x1到x2的平均变化率 2 求 其从x0到x0 x的平均变化率 并求x0 1 x 时的平均变化率 1 2 x1 x2 2 4x0 2 x 5 课堂练习 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 3 函数的平均变化率的几何意义 1 求函数的改变量 f 2 计算平均变化率 表示函数图象上两点A x1 f x1 B x2 f x2 连线 割线 的斜率 在高台跳水中 函数关系h 4 9t2 6 5t 10 如何求 2时的瞬时速度 瞬时速度 物体在某一时刻的速度 3 1 2导数的概念 当 t 0 01时 当 t 0 01时 当 t 0 001时 当 t 0 001时 当 t 0 0001时 当 t 0 0001时 t 0 00001 t 0 00001 t 0 000001 t 0 000001 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 瞬时速度 在局部 先求平均速度 然后取极限 如何求瞬时速度 lim是什么意思 在其下面的条件下求右面的极限值 运动员在某一时刻 0的瞬时速度如何表示 思考 函数的平均变化率怎么表示 思考 导数的定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 导数的作用 在例2中 高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度 在例1中 我们用的是平均膨胀率 那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 求函数y f x 在点x0处的导数的基本步骤是 注意 x可正也可负 一差 二比 三极限 例1 1 求函数y 3x2在x 1处的导数 2 求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 3 质点运动规律为s t2 3 求质点在t 3的瞬时速度 例题讲解 例1 1 求函数y 3x2在x 1处的导数 例题讲解 例1 2 求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 例题讲解 例1 3 质点运动规律为s t2 3 求质点在t 3的瞬时速度 例题讲解 练习 计算第3 h 和第5 h 时 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 这说明 在第3小时附近 原油温度大约以1的速率下降 在第5小时附近 原油温度大约以3的速率上升 练习 小结 1求物体运动的瞬时速度 1 求位移增量 s s t t s t 2 求平均速度 3 求极限 2由导数的定义可得求导数的一般步骤 1 求函数的增量 y f x0 t f x0 2 求平均变化率 3 求极限 一 复习 1 导数的定义 其中 其几何意义是表示曲线上两点连线 就是曲线的割线 的斜率 其几何意义是 3 1 3导数的几何意义 P Pn o x y y f x 割线 切线 T 曲线在某一点处 切线的定义 当点Pn沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PPn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线PT称为点P处的切线 通过逼近的方法 将割线趋于的确定位置的直线定义为切线 交点可能不惟一 适用于各种曲线 所以 这种定义才真正反映了切线的直观本质 此处切线的定义与以前的定义有何不同 思考 M x y 割线与切线的斜率有何关系呢 即 当 x 0时 割线PQ的斜率的极限 就是曲线在点P处的切线的斜率 探究 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 即曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率是 故曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程是 结论 Q2 Q3 Q4 T 继续观察图像的运动过程 还有什么发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数平均变化率的极限 要注意 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 2 要根据割线是否有极限来判断与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 例1 1 求函数y 3x2在点 1 3 处的导数 2 求曲线y f x x2 1在点P 1 2 处的切线方程 例题讲解 例2 如图 已知曲线 求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 即点P处的切线的斜率等于4 2 在点P处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 h t o 函数的导函数 函数在点处的导数 导函数 导数之间的区别与联系 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 它是一个常数 不是变数 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f x 的导函数3 函数在点处的导数就是导函数在处的函数值 这也是求函数在点处的导数的方法之一 练 设f x 为可导函数 且满足条件 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 故所求的斜率为 2 巩固提高 课堂练习 如图 见课本P80 A6 已知函数的图像 试画出其导函数图像的大致形状 P80 B2 根据下面的文字叙述 画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状 1 汽车在笔直的公路上匀速行驶 2 汽车在笔直的公路上不断加速行驶 3 汽车在笔直的公路上不断减速行驶 练习 思考 物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 分析 解 1 将 t 0