曾谨严量子力学习题解答.pdf

1 曾 P 399 练习2 曾练习P 194 证明 其中 是与对易的任何两 ABA BiAB rrrrrr rrr 个矢量算符 A r B r r 证明 将左端展开成 的分量式 A r B r r xxyyzzxxyyzz ABAAABBB rr rr 222 xxxyyyzzzxyxyyxyx A BA BA BA BA B yzyzzyzyzxzxxzxz A BA BA BA B 利用 222 1 xyz xyzyx yzxzy zxyxz i i i 即得 zxyyxxyzyz ABA BiA BA BiA BA B rrrr rr yzxxz iA BA B zxy zxy A BiA BiA BiA B A BiA B rrrrrrrr rrrr r 证毕 2 曾 p 401 练习7 令 1 2 xy i 在表象中 pauli 01 00 00 10 证明 0 x y i 0 x y i 解 在表象中 z 01 10 x 0 0 y i i 且 1 0 1 0 0110 1001 x 0101 1010 x 0100 001 y i ii ii 001 0100 y ii ii i 0 1 1 0 0 0 0 0101 0010 0010 1001 000 0 101 3 曾 p402 练习12 AA 设则为 或常数矩阵A0 证 由题意可知 AA 且可以表示成 A 0123xyz AC ICCC 以分别左乘右乘上式 得到 x 0123xxzy ACCiCiC 0123xxzy ACCiCiC 根据题设条件 式 应相等 所以 2332zyyz CCCC 因为互相独立 因此必有 y z 3 0C 2 0 C 类似的 以分别左乘右乘上式 得到 y 1 0 C 3 0C 因此 123 0CCC 0 AC I 当为时 为 0 C 0 A 0 当不为时 为常数矩阵 0 C 0 A 4 曾 p 441 练习1 在表象中求的本征态 z x 解 在表象中 z x 01 10 设的本征态为 相应的本征值为即 x x aa bb a b 01 10 aa bb 1 0 1 a b 为保证不全为零 则必须满足 a b 1 0 1 2 10 1 当时代入方程 式 可求得 11 0 11 a b ab 由归一化条件即 1 1 a ab b 22 1ab 由 可解得 1 2 ab 1 x 的本征态为 1 1 12 当时 带入方程 式 可得 1 1 1 0 11 a b ab 由 可解得 1 2 ab 所以的本征态为 x 1 1 12 5 曾 p 442 练习2 在表象中 求的本征态 是方向的单位 z n r r sincos sinsin cosn r 矢量 解 在表象中 算符的矩阵表示为 z pauli 01 10 x 0 0 y i i 10 01 z 因此 nxxyyzz nnnn r r cossin sincos zxy xyz i i nnin ninn e e 设的本征函数表为n 1 2 c c 本征值 则本征方程为 0 z 1 2 cossin 0 sincos i i ce ce 即 亦即 12 12 cossin0 sincos0 i i CeC e CC 存在非平庸解的条件为 12 C C 即不全为0 cossin det0 sincos i n i e e 容易解出 即的本征值为 1 n 对于本征值由式 可得 1 n 1 2 cos 11 cos 2 sin1 sin 2 xyii z xyz nin Cn ee Cninn 1 归一化本征函数用表示 通常取为 2 1 2 coscos 22 sinsin 22 i ii e ee 或 后者形式上更加对称 它和前者相差一个公共的相因子 并无实质差别 2i e 如用的直角坐标分量来表示 可以取为 1 1 1 2 1 1 1 2 1 z n xy z xy z z n nin n nin n n r 或 n r 如二者等价如应取前者 如 1 z n 仅有相因子的差别 0 0 1 n r 0 0 1 n r 应取后者 对于本征值类似的可以求得 1 n 1 2 sin 11 cos 2 sin1 cos 2 xyii z xyz nin Cn ee Cninn 归一化本征函数为 1 sin 2 cos 2 i e 或 1 1 1 2 1 1 1 2 1 z n xy z xy z z n nin n nin n n r 或 2 2 sin 2 cos 2 i i e e 或 如取如取 0 0 1 n r 1 0 1 0 0 1 n r 1 1 0 a 设电子处于自旋态求的可能测得值及相应的概率 6 曾 p 442 练习9 1 2 1 z n n r r 是单位矢量 xyz nn n n r b 对于的自旋态 求各分量的可能测得值及相应的概率 以及的 1 n r r 平均值 解 利用上题求得的的本征函数 容易求出 n a 自旋态中 1 2 1 0 1 n 的概率为 2 2 11 2 1 cos1 22 z n 1 n 的概率为 2 2 11 2 1 1 22 z sinn b自旋态中 1 1 n 1 z 的概率为 2 11 2 1 1 2 z n 1 z 的概率为 11 111 22 zz nn 11 11 22 zzzz nnn nxxyyzz nnn 考虑到 r r 各分量以及各分量在的构造中地位相称 所以利用式 n r n 作轮换 就可推出以下各点 x y z 1 x 的概率为 1 1 2 x n xx n 1 y 的概率为 1 1 2 y n yy n 将式 合并写成矢量形式如下 自旋态中 1 1 n n rr 类似的 容易求出 自旋态中 1 1 n n rr 11 7 曾 P 447 25 曾练习 P 229 自旋为1 2的粒子 处于的共同本征态下 证明 22 z ljj rr 113 4 1 j jl l j j j r r 取 1 h 提示 也是的本征态 并利用 l ur r 2 lll ur r urur ur rr 2 2 0lll ur rur rr 证明 利用公式 2lll ur r urur ur rr 上式在态下求平均值 由于也是的本征态 故得l ur r j ljm j ljm j ljm jjjj ljmlljmljmlljm ur ur rur r ur jj ljmljml urur r 本征值 因此 ll rurur r 本征值 11 22 jll rrururur r 本征值 1 2 3 4 利用公式 2 2 0lll ur rur r r 可得 223 4 jll rrur r 2 313 2 422 llll urrur rur rur r 因此 式 4 两端各乘 即得 3 2 l ur r 本征值 22233 24 jjljjl urrrur rrrr 本征值 本征值本征值 亦即 113 4 1 j jl l j j j r r 在态下 上式即 j ljm 0 xy jj zj jm 0 x 0 y 113 4 1 zj jjl l m jj 5 6 6 7 7a 7b 以代入上式 可得 1 2 lj 1 2 1 1 2 j z j mjjl mjjl 利用 1 2 lj rrur 易得在态下的平均值为 l r j ljm 0 0 x y l l 113 41 221 zjzj j jl l lmm j j 8 9a 9b 电子的磁矩 算符 可表为 电子磁矩的实验 2 2 ls e e ls m c u ru ru rrr 8 曾 P 448 26 曾练习 P 231 观测值定义为 j jzjmjz ljmljmljjljj 求 r 解 如以Bohr磁子作为磁矩单位 则电子的磁矩算符可以 写成 以下取 2 Be em c h 1 h 1 2 2 lsjsj u rrrrrrur 利用上题结果 即得 jzjj ljmljmgm 其中 113 4 1 21 j jl l g j j 1 2 3 Lande g 因子 通常以取最大值时的平均值作为磁矩观测值的定义 记作 对于电子 j m j mj z z ljjljjgj 4 即 1 2 2122 j jjj 1 2 jl 1 2 jl 5 9 曾 P 449 30 曾练习 P 243 两个自旋为1 2的粒子组成的体系 置于均匀外磁场中 取磁场方向为 轴 方向 则体系Hamilton量可表示成 忽略轨道运动 2121 rv cbaH zz 为常数 中第一 第二项表示粒子内禀磁矩域外磁场的相互作用 abc H 第三项表示两个粒子之间自旋 自旋相互作用 求的本征值 H 解 我们将在自旋空间中 用矩阵方法求解 基矢可以取为的共同 zz21 本征态 21 21 21 21 也可取为总自旋算符的共同本征态 对于本题 从的对角 z SS 2 r s sM 21 rr 化考虑 采用作为基矢较为方便 为叙述方便 基矢的编号顺序如 下 s sM 2121 2 1 2121 2 1 21 21 004 103 112 111 将Hamilton算符改写成 zzzz cccH 212211210 rr 2 1 1 bac bac 2 1 2 四个基矢都是的共同本征态 即都是和的共同 z SS 2 r 21 rr zz21 本征态 容易看出和也是的本征态 因而和已经 1 2 zz21 1 2 是的本征态 H 202102 101101 2 2 bacccH bacccH 这样我们就得到了体系的两个能级 100 2ccE 容易算出对基矢的作用结果 为 zz21 2 0 4321 121 zz zz 3421 221 2 0 zz zz 因此 在子空间中 的矩阵元为 zz21 43 2 0 43213421 44 21 33 21 zzzz zzzz zz21 的矩阵元全部为0 的矩阵表示为H 02 20 32 2 cc cc H 设能量本征态为