一些二次函数的压轴题.doc

26如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n（mn）分别是方程x22x3=0的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD当OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可；利用SBOD=SODQ+SBDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可解答：解（1）解方程x22x3=0，得 x1=3，x2=1mn，m=1，n=3（1分）A（1，1），B（3，3）抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx解得：，抛物线的解析式为（4分）（2）设直线AB的解析式为y=kx+b解得：，直线AB的解析式为C点坐标为（0，）（6分）直线OB过点O（0，0），B（3，3），直线OB的解析式为y=xOPC为等腰三角形，OC=OP或OP=PC或OC=PC设P（x，x），（i）当OC=OP时，解得，（舍去）P1（，）（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，P2（，）（iii）当OC=PC时，由，解得，x2=0（舍去）P3（，）P点坐标为P1（，）或P2（，）或P3（，）（9分）过点D作DGx轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BHx轴，垂足为H设Q（x，x），D（x，）SBOD=SODQ+SBDQ=DQOG+DQGH，=DQ（OG+GH），=，=，0x3，当时，S取得最大值为，此时D（，）（13分）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识，求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出【15. 2012衢州】24如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移过程中与COD重叠部分面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，解得a=，b=，抛物线解析式为y=x2+x（2）设点P的横坐标为t，PNCD，OPNOCD，可得PN=P（t，），点M在抛物线上，M（t，t2+t）如解答图1，过M点作MGAB于G，过P点作PHAB于H，AG=yAyM=2（t2+t）=t2t+2，BH=PN=当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，t2t+2=，化简得3t28t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，点P的坐标为（，）存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形（3）如解答图2，AOB沿AC方向平移至AOB，AB交x轴于T，交OC于Q，AO交x轴于K，交OC于R求得过A、C的直线为yAC=x+3，可设点A的横坐标为a，则点A（a，a+3），易知OQTOCD，可得QT=，点Q的坐标为（a，）解法一：设AB与OC相交于点J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，=HT=2a，KT=AT=（3a），AQ=yAyQ=（a+3）=3aS四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQHT=（3a）（3a）（a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法二：过点R作RHx轴于H，则由ORHOCD，得 由RKHAOB，得 由，得KH=OH，OK=OH，KT=OTOK=aOH 由AKTAOB，得，则KT= 由，得=aOH，即OH=2a2，RH=a1，所以点R的坐标为R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SQOTSROK=OTQTOKRH=aa（1+a）（a1）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法三：AB=2，OB=1，tanOAB=tanOAB=，KT=ATtanOAB=（a+3）=a+，OK=OTKT=a（a+）=a，过点R作RHx轴于H，tanOAB=tanRKH=2，RH=2KH又tanOAB=tanROH=，2RH=OK+KH=a+RH，RH=a1，OH=2（a1），点R坐标R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQ（xQxR）=（3a）（3a）（a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力【16. 2012绍兴】25如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。当PQAC时，求t的值；当PQAC时，对于抛物线对称轴上一点H，HOQPOQ，求点H的纵坐标的取值范围。考点：二次函数综合题。解答：解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=2，A（0，2）。由于四边形OABC是矩形，所以ABx轴，即A、B的纵坐标相同；当时，解得，B（4，2），AB=4。（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为。当Q点在OA上时，即，时，如图1，若PQAC，则有RtQAPRtABC。，即，。，此时t值不合题意。当Q点在OC上时，即，时，如图2，过Q点作QDAB。AD=OQ=7（t1）2=7t9。DP=t（7t9）=96t。若PQAC，则有RtQDPRtABC，即，。，符合题意。当Q点在BC上时，即，时，如图3，若PQAC，过Q点作QGAC，则QGPG，即GQP=90。QPB90，这与QPB的内角和为180矛盾，此时PQ不与AC垂直。综上所述，当时，有PQAC。当PQAC时，如图4，BPQBAC，解得t=2，即当t=2时，PQAC。此时AP=2，BQ=CQ=1，P（2，2），Q（4，1）。抛物线对称轴的解析式为x=2，当H1为对称轴与OP的交点时，有H1OQ=POQ，当yH2时，HOQPOQ。作P点关于OQ的对称点P，连接PP交OQ于点M，过P作PN垂直于对称轴，垂足为N，连接OP，在RtOCQ中，OC=4，CQ=1。OQ=，SOPQ=S四边形ABCDSAOPSCOQSQBP=3=OQPM，PM=，PP=2PM=，NPP=COQ。RtCOQRtNPP， ，P（），直线OP的解析式为，OP与NP的交点H2（2，）。当时，HOPPOQ。综上所述，当或时，HOQPOQ。【17.2012南充】22.如图，C的内接AOB中，AB=AO=4,tanAOB=,抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式（2）直线m与C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQAD时,求运动时间t的值（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点R的坐标.考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数最值的应用；三角函数和勾股定理的应用；待定系数法求二次函数解析式。专题：计算题；代数几何综合题。分析：（1）点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax2+bx，得：16a+4b=0 a=4a-2b=6 解得： b= -2 从而求出解析式。（2）先得到 OAD=AOB ，作OFAD于F，再算出OF的长，t秒时，OP=t,DQ=2t,若PQAD 则FQ=OP= tDF=DQ-FQ= t ODF中，t=DF=1.8（秒）（3）先设出R(x, x2-2x) ，作RGy轴于G 作RHOB于H交y轴于I，则RG= x OG= x2+2x 再算出IR、HI的长，从而求出RH的长( x-)2+当x=时，RH最大。SROB最大。这时：x2-2x=()2-2=-点R(,-)解答：（1）把点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax2+bx，得：16a+4b=0 a=4a-2b=6 解得： b= -2抛物线的函数解析