数学华东师大版八年级上册勾股定理的应用2

第一课时 14.1.1勾股定理（一）一、本节课必须解决的问题：直角三角形三边之间有怎样的关系？ 二、考试重点：能用勾股定理进行简单的计算。难 点：勾股定理的验证。三、学前准备：1.知识链接：（1）平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。即若 ，则 。 （2）算术平方根： ，叫做a的算术平方根，表示为 。（3）化简下列根式：= ， = ，= ，= ，= 。（4）ABC中，已知边AB=5,BC=7,则边AC的取值范围是 。2.预习教材48页和49页并完成填空。3.通过预习，思考：给你任意一个RABC，C=90，三边长分别为a、b、c，那么这个直角三角形三边之间的数量关系是 ，文字叙述： 。我们把较短的直角边叫做 ，较长的直角边叫做 ，斜边叫做 。BACacb弦勾股四、探究过程：1.勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 。注意：（1）使用勾股定理的前提条件是 ，结论是 ；（2）勾股定理反映的是图形（直角三角形）与数量（三边长度之间的平方关系）之间的关系，体现了数形结合思想；（3）非直角三角形边的计算，可通过作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。2.验证勾股定理：如右图（1）,剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图（2）所示的正方形。大正方形的面积可以表示为_,又可以表示为_。对比两种表示方法，利用面积相等，看看能不能得到勾股定理的结论。 （1） （2）利用下面的图形（3）、（4），用类似的方法，也能验证勾股定理（请逐一说明）。 （3） （4）归纳其共有的思路：利用图形的割补，借助前后的面积相等可验证直角三角形三边的数量关系（勾股定理）。3.精读教材50页例题1，完成51页练习1。五、勾股定理的应用：例1.(1)RABC中，C=90,AC=4,AB=5,求BC.(2)RABC中，,AB=c,BC=a,AC=b,B=90.已知a=5,c=12,求b；已知a=60,b=61,求c.小结：已知直角三角形的任意两边，应用勾股定理可求出第三边，关键是确认斜边。例2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？例3.已知直角三角形的斜边比一条直角边长2，另一条直角边为6，求斜边。六、目标检测：1.在RtABC中，=90，(1)已知：a=6，=8，= ；(2)已知：a=40，c=41，= ，(3) 已知：c=13，b=5，a = ；(4)若a:b=3:4,c=10,则a=_,b=_。2.在ABC中，C=90，且A=B，若=5，则= ，= ；若=5，则= ，= 。3.在ABC中，A=90，若=12，=5，则= 。4.如图,如果正方形A的面积是16,正方形B的面积是9,那么正方形C的面积是 ;如果正方形B的面积是36,正方形C的面积是100,那么正方形A的面积是 5.在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方 。6.若正方形的面积是1，则它的对角线长为（ ）。A.1 B. C. D.27.若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为 （ ）A.6 B.8 C.10 D.以上答案均不对8.如图, RABC中,两条直角边AC,BC的长分别是12厘米和16厘米,CD是斜边AB上的高,请计算:(1) RABC的面积； (2)斜边AB的长；(3)斜边AB上的高CD的长。AM B B BCN七、拓展提高：如图，在ABC中，若ACB=90，AC=12,CB=5,AM=AC,BN=BC,求MN的长。八、阅读材料（勾股数）：1、勾股数的定义：满足的三个正整数a,b,c称为勾股数。2、常见的勾股数：（1）3，4，5 ； （2）5，12，13； （3）6，8，10； （4）7，24，25； （5）8，15，17； （6）9，12，15； （5）9，40，41； （6）11，60，61。 注意：（1）3，4，5既是勾股数，又是连续整数，他们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数（如3，4，5与9，12，15）。3、在RtABC中，(1)若=90，a=6，=8，则= ；(2)若=90，a=6，=8，则= 。九.小结与反思：1.你本节课收获的知识有哪些？2.你还存在哪些疑惑？3.你还有哪些创新题和创新的想法？有哪些好的建议？第二课时 14.1.1勾股定理（二）一、本节必须解决的问题：如何熟练利用勾股定理求三角形的边？ 二、考试重点、难点：利用勾股定理求三角形的边。三、学前准备：1、知识链接：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 。ACBD（2）在RtABC中，=90， (1) 已知：a=9，=12，= ；(2) 已知：a=5，c=13，= ，(3) 已知：c=25，b=7，a = 。2、预习教材52页例2，完成53页练习。四、探究过程：例1.如图，等边三角形ABC的边长6.求：（1）高AD的长；（2）ABC的面积。ABCDE例2.如图，已知DAAB于点A，CBAB于点B，AB=25，DA=15，CB=10，E为AB上一点，CE=DE，求AE的长。五、目标检测：1.一个直角三角形斜边的长为20cm，则这个三角形三边的平方和为 。2.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 。3. 一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 。4.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 。5.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP4，SQ9，则Sk 。6.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 。 7.等腰三角形的两边长分别为4cm和2cm,则底边上的高为 ，面积为 。8.校园内有两棵树，相距12m，一棵树高18m,一棵树高9m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m。9.如图,小方格的面积为1,找出图中以格点为端点且长度为5的线段。10.如图在ABD中，AB=25，AC=30，BC边上的高AD=24，求BC的长。11.如图，在四边形ABCD中，DBC=BAD=90，AD=3,AB=4,BC=12,求CD的长和四边形ABCD的面积。六、拓展提高：1.在ABC中，若AB=15,AC=13,高AD=12,则ABC的周长是（ ）。A.42 B.37 C.42或37 D.42或322.已知如图在RABC中，B=90，两直角边分别为AB=7，BC=24，且在直角三角形内有一点P到各边的距离相等，求这个距离。3.直角三角形的一条直角边长为11，另两条边均为自然数，则周长是多少？提示：根据已知条件列出不定方程，利用两自然数之积仍为自然数。七、小结与反思：1.你本节课收获的知识有哪些？2.你还存在哪些疑惑？3.你还有哪些创新题和创新的想法？有哪些好的建议？第三课时 14.1.2勾股定理（三）一、本节课必须解决的问题：如何判断一个三角形是否是直角三角形？二、考试重点：利用三角形的三边关系，判断这个三角形是否是直角三角形。三、 课前准备：1、知识链接：（1） 的三角形叫做直角三角形。（2）三角形中大边对 。（3）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 。两直角边分别为a，b，斜边为c，则一定有 。2、阅读课本53页至54页例3前的内容，完成下列问题：（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ,那么这个三角形是 ，角 为直角。（2）预习54页例3，完成54页练习1。四、探究过程：例1.判断分别以下列各组数为边的三角形是否是直角三角形。如果是，那么哪一条边所对的角是直角？（1）5,12,13； （2）1，2，； （3）7，24，25 （4）40，9，40（5）25，20，15； （6）9，11，13； （7）2，7，8。思考:已知三角形的三边长a、b、c，判断这个三角形是不是直角三角形的步骤： 。 拓展：若最长边的平方比较短两边的平方和大，则三角形是 三角形；若最长边的平方比较短两边的平方和小，则三角形是 三角形。例2.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形。如果是，那么哪一个角是直角？（1）在ABC中，A=15，B=75；（2）在ABC中，AC = 12, AB = 20, BC=16；（3）一个三角形的三边之比为345；（4）三边长为m2+n2 、mn、m2-n2；（5）一个三角形的三边长a、b、c满足。思考：判断一个三角形是否为直角三角形哪有两种方法： 利用定义，如果已知条件与角度有关，则 ；利用勾股定理的逆定理，如果已知条件与边有关，则 。例3. 如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30cm，DC12cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面积。 五、目标检测1.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A.3，4，5B.10，6，8 C.4，5，6 D.12，13，52.4个三角形的边长分别为：a=5,b=12,c=13;a=2,b=3,c=4; a=2.5,b=6,c=6.5; a=21,b=20,c=29.其中，直角三角形的个数是（）A.4B.3C.2D.13.若ABC的两边长为8和15，则能使ABC为直角三角形的第三边的平方是（） A.161B.289C.17D.161或2894.设ABC的3条边长分别是a、b、c，且a =n-1,b =2n,c=n+1。(n1,且n为整数)问：ABC是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？5. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BD = 5,DC = 13 , BC=12，你能根据所给的数据说明这个零件是否符合要求吗？6.如图，已知四边形ABCD中，AB24，BC7，CD=15，AD=20，B=90。试说明DAB+DCB=180。ADCB7.已知:如图,在ABC中,D是BC边上的一点，AB=15,AC=13，AD=12,CD=5.求BC的长。六、拓展提高：1.如果把直角三角形的三边同时扩大n倍，得到的三角形还是直角三角形吗？试说明理由。 2.若ABC的三边长a,b,c满足条件试判断ABC的形状。3.若a,b,c为ABC的三边，且满足条件a2c2b2c2=a4b4,试判断ABC的形状。七、小结与反思：1.你本节课收获的知识有哪些？2.你还存在哪些疑惑？3.你还有哪些创新题和创新的想法？有哪些好的建议？14.1 勾股定理 小节练习1.任意三角形的三边为a,b,c，则下列关系错误的是（ ）A. abc B. a-b0 2.在RABC中，,三边a, b,c,有关系a2+c2=b2，则下列选项正确的是（ ）A.A =90 B .B=90 C.C=90 D.不确定3.将直角三角形的三边同时扩大一倍数，得到的三角形是（ ）A.钝角三角形 B .锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形4.在ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断ABC为直角三角形的是（ ）。A. abc B. a:b:c3:4:5 C. ab2c D. ABC5.若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为（ ） A. 6 B. 4.8 C. 2.4 D. 86.在ABC中,AB13,AC15,高AD12,则BC的长为（ ）A. 14 B. 4 C.14或4 D.以上都不对 7.以下列各组数为边长的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.21，22，23 B.， C.0.8，1.7，1.5， D.，8.满足下列条件的三角形中，不属于直角三角形的是（ ）A.三角形三边的比为5：12：13 B.三角形三个内角的比为1：2：3C.三角形一边的中线等于这边的一半 D.三角形的三边的比为1：9.在ABC中，B=90，A、B、C所对的边分别是a、b、c. （1）若a8cm，b17cm，则c= cm；（2）若a2cm，ccm，则b = cm；（3）若ac11，b4cm，则a= cm。10.以ABC的三边为边长的三个正方形的面积分别为9、25和34，则这个三角形的面积为 。 11.在ABC中，若 则 A+B= 度。12.已知一个三角形三边长分别为，当正整数 时，这个三角形为直角三角形。13.在ABC中，AB=7,BC=24,AC=25,则AC边上的高为 。14.直角三角形的周长为 ，斜边上的中线长为1，则此直角三角形的面积为 。15.如图在RABC中，C=90，AB=13，BC=12，BD=BC，求（1）AD的长。（2）ABC的面积。16.如图，在四边形ABCD中，已知：AB1，BC2，CD2，AD3，且ABBC.试说明ACCD的理由。17.已知：如图，AD4，CD3，ADC90，AB13，BC12.求图形的面积。 18.如图，A=D=90，AB=CD=24,AD=BC=50,E为AD上一点，且AE:ED=9:16,求BEC的度数。 19.在ABC中，AC=26,BC=20,BC边上的中线AD=24,求AB的长。20.已知，为ABC的三边长，且满足试判断ABC的形状。第四课时 14.2勾股定理的应用（一）一、本节课必须解决的问题：1.如何利用直角三角形画长度为无理数的线段？2.如何应用勾股定理及其逆定理解决实际问题？3.如何根据实际问题，简单构图建立数学模型？二、考试重点：综合应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。难 点：实际问题转化成数学问题，再转化为直角三角形（“转化”思想的应用）。 三、课前准备：1.知识链接：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 。（2）勾股定理的逆定理：如果ABC的三边长a、b、c满足 ,那么这个三角形是 ，且角 为直角。（3）判断一个三角形是否为直角三角形的两种常用方法： ； 。 “路”3m4m2如图 ，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”.他们仅仅少走了多少步路（假设2步为1米），却踩伤了花草？3.完成教材60页练习1。四、探究过程：例1. 精读教材59页例3，思考归纳总结方法，完成教材60页练习2。分析：因为图中每个小正方形的面积都是1，而2= = ，所以要画的线段AB只能是边长为 的直角三角形的 。小结：线段的长为无理数时，可转化为两直角边长为有理数的直角三角形的斜边长。例2精读教材59页例4，思考归纳总结方法，完成完成教材60页习题14.2第6题。例3.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米? （提示:画出图形建立直角三角形）五、课堂练习：1.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为 （ ）A.440 m B.460 m C.480 m D. 500 m2.如图，每个小正方形的边长为1，ABC的三边a、b、c的大小关系是（ ） A.acb B.abc C.cab D.cba3. 如图是一个育苗棚，棚宽a=6m， 棚高b=2.5m，棚长d=10m，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_m24.旗杆上的绳子垂到地面还多出1m，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m后，绷紧的绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为_m.5.要登上9m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子固定在一个高1m的固定架上，并且底端离建筑物6m，梯子至多需要_m.6.如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，请你以格点为顶点，画一个三边长分别为4、的三角形。BACbacbda(第3题) （ 第2题） （ 第6题）7.完成教材63页7题，10题。六、拓展提高：（2009年牡丹江）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长提示：由于此直角三角形三边均不等，将其扩充为等腰三角形时各边均可能成为等腰三角形的腰或底，所以分三种情况讨论。七、小结与反思：1.你本节课收获的知识有哪些？2.你还存在哪些疑惑？3.你还有哪些创新题和创新的想法？有哪些好的建议？第五课时 14.2勾股定理的应用（二）一、本节课必须解决的问题：1如何应用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题？2如何应用勾股定理解决距离最短问题？二、考试重点：应用勾股定理解决距离最短问题。难 点：实际问题转化成数学问题，再转化为直角三角形（“转化”思想的应用）。 三、探究过程：1.完成教材58页练习1、2。2精读教材57页例1。方法总结：此类问题一般将 图形转化为 图形（侧面展开），从而转化为 求 的距离问题，通过构造直角三角形，根据 来解。AC变式练习：如图所示，长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm，现有一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面到达C处，问最短路程是多少？3精读教材58页例2。方法总结：利用勾股定理解答此类问题，关键是建立正确的数学模型。AOB东北西南变式练习： 如图所示，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点。且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？四、课堂练习：1.甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1h，甲往东走了4km，乙往南走了6km这时甲、乙两人相距多少km？按这个速度，他们出发多少h后相距13km？实验室B4545办公室A教室C北东D仪器室2.校园内各室的分布及相关数据所示，戴老师在某一时段的行程如下：办公室教室实验室仪器室办公室.已知：AB80m，AD82m.在此期间，戴老师走了多长的路（结果保留3个有效数字）？（1.414）一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少m？AB4如图，有一个棱长为1米的正方体盒子，一只蚂蚁从顶点A想顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？ABCD 5.如图所示，圆柱体的高为40cm，底面周长为60cm , 如果一只蚂蚁要自圆柱体的下面一点A爬到与点A相对的上底面上的B点，然后另找一条路线爬回A点，求爬行的最短路线的长度。 五、拓展提高：（2009恩施市）如下图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）A B25 C D六、小结与反思：1.你本节课收获的知识有哪些？ 2.你还存在哪些疑惑？3.你还有哪些创新题和创新的想法？有哪些好的建议？第六课时 14.2勾股定理的应用（三）一、本节课必须解决的问题：如何应用勾股定理解决折叠问题？二、考试重点：应用勾股定理解决折叠问题。难 点：实际问题转化成数学问题，再转化为直角三角形（“转化”思想的应用）。 三、知识链接：1.如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形。这条 就叫做它的 。2.对称轴过对称点连线的 ，并且与对称点的连线 。3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段 ，对应角 。EBDCAF四、探究过程：例1.如图，将正方形纸片ABCD折叠两次，第二次折痕为AE，且点D落在点F处。若正方形边长是1，求DE的长。ABCFED例2.一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm.现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)，求EC的长ABCDEFC例3.长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm,按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。 思考：能否求出EF的长？怎么求？五、课堂练习：1. 已知：如图，在RtABC中，两直角边AC、BC的长分别为6和8，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于 （ ） ACDEB图 ABDE图CA.2 B.3 C.4 D.5AECBD C12.在上题中的RtABC折叠，使点B与A重合，折痕为DE（如图），则CD的长为 （ ） A.1.50 B.1.75 C.1.95 D.以上都不对3.如图 ，一张宽为3，长为4的长方形纸片ABCD，沿着对角线BD对折，点C落在点C1的位置，BC1交AD于E.求AE的长.ABCDFE4.如图，四边形ABCD为长方形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6，求AF的长.5.完成教材63页第11题。六、拓展提高： 1.（2008，南昌）如图20-7，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处 （1）求证：BE=BF； （2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明abc34551213724252.观察右表中所给出的三个数，a,b,c，且abn），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数 （1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的ABC是直角三角形； （2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：勾m3511股（m2-1）412 60弦（m2+1）51361 m233444556 n121321435a=m2-n23587121591611b=2mn412624168403060