13.4课题学习最短路径问题教学设计.doc

13.4最短路径问题教案课题名称13.4最短路径问题类型新授课课时第一课时授课教师张琪教学目标知识与技能目标能利用所学轴对称的知识解决简单的最短路径问题过程与方法目标在探索最短路径的过程中，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力情感态 度与价值观在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的体验教学重点利用轴对称变换解决线段和的最小值问题.教学难点最短路径问题中位置的确定及说理教学方法引导发现法教学媒体多媒体，几何画板环 节教师活动学生活动设计意图复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？（展示学校操场上“请走环路”照片）2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。（板书标题）1、两点之间，线段最短。2、两边之和大于第三边。从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。探究新知1.探究一：（学生阅读）【故事引入】：唐朝诗人李颀在古从军行中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢？认真读题，仔细思考。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。探究新知探究新知2.探究二：【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？（2）【展示】：让学生猜想，并画出图形。巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。给予学生一定的提示。（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。已知：直线L和同侧两点A、B求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。【学生展示】：作法1： 作法2：作法3：【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是ACBC。不能说明AC+BC最短第3种作法应该是正确的。学生主动探索，充分发挥学生的主动性。展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。探究新知3.解决问题【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？为什么要作对称点？如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BCBC。其实直线L上所有点到B和B的距离都相等。也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段BB的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C（与点C不重合），只要证明AC+BCAC+BC即可。（3）【几何画板】下面我们可以借助数学工具几何画板来进一步验证一般性。老师动手操作，验证结论的正确性。（1）学生自主证明，教师纠错。（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。（3）共同完成证明过程。认真观察，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C（不与点C重合）1.学生独立纠错2.组内相互纠错让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。发散思维除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？还可以作点A关于直线l的对称点。发散思维，培养学生一题多解的能力。得出结论【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。运 用 新 知【问题】如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径. 分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望.课 堂 练 习 【练习1】如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在L上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）【练习2】如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径【思考1】已知如图，点A和两条直线m和n，你能在直线m、n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+AQ的值最小吗？【思考2】已知如图，点A、点B和两条直线m和L，你还能在直线m、L上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+BQ的值最小吗？让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法两道思考题是课堂备用题一方面检测学生是否真正领悟了本节课所学的知识和方法，另一方面让学有余力的孩子的课堂更充实课 堂 小 结1.【问题】：本节课研究问题的基本过程是什么？ 当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。2.【问题】：轴对称在所研究问题中起什么作用？利用轴对称主要是进行问题的转化，它其实是起到了一个桥梁的作用，同时也体现了我们数学学习中的转化思想。我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。培养学生总结在课题学习的基本思路布 置 作 业【题目A】1.如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,点D是AC的中点,AEBC，点P是AE上任一点,则PC+PD的最小值为 。2.如图2，正