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数学建模讲座 1 讲座内容 2 关于数学建模 80年代以来在发达国家兴起并引起巨大凡响的数学建模竞赛是适应世界性高科技发展及人才需求而出现的新生事物 在国家教育部高教司的领导和支持下 提出在全国普通高校开展数学建模竞赛 旨在 培养学生解决时间问题的能力和创造精神 全面提高学生的综合素质 现在 全国大学生数学建模竞赛正在健康 迅速的向前发展 受到广大同学的热烈欢迎 3 什么是数学建模 问题 树上有十只鸟 开枪打死一只 还剩几只 9只 还是0只 分析 这是一道数学应用题 应该是小学生的 但他一样是数学建模问题 不过答案就不重要了 重要的是过程 4 真正的数学建模高手应该这样回答这道 建模与求解 是无声手枪或别的无声的枪吗 不是 枪声有多大 80 100分贝 那就是说会震得耳朵疼 是 在这个城市里打鸟犯不犯法 不犯 您确定鸟里真的没有聋子 没有 有没有关在笼子里的 没有 边上还有没有其他的树 树上还有没有其他的鸟 没有 5 有没有残疾的鸟或饿得飞不动的鸟 没有 打鸟的人眼有没有花 保证是十只 没有花 就十只 有没有傻得不怕死的鸟 都怕死 会不会一枪打死两只 不会 所有的鸟都可以自由活动吗 完全可以 不是开玩笑 这就是数学建模 从不同度思考一个问题 想尽所有的可能 正所谓智者千虑 绝无一失 这才是数学建模的高手 6 数学建模的意义 1体现了数学的应用价值2有利于学生理论联系实际能力的培养3有利于培养学生的科研素养4有利于增加同学参加课外学术活动的经验并在评优时更有竞争力 7 数学建模的乐趣 1 可以认识一群人 2 可以消磨一下无聊的时光 3 可以学会喝咖啡 提高生活品味 获奖后 1 加个奖励分拿个奖学金 2 加个分 保个研 3 各种其他好处 8 数学建模需要能力 1 分析题意的能力 2 超找资料的能力 3 建立数学模型的能力 4 问题的转化能力 5 现学现用的能力 7 论文写作能力 6 编程能力 9 培养和提升建模的能力 1 培养对数学建模的兴趣 2 学会自学学会研究 3 增强数学理论知识 4 平时多领悟建模过程 5 多参加比赛 在实践中体会平时学到的理论知识从而得到领悟和进步 6 研读优秀论文 10 数学建模竞赛 三大赛 武汉理工大学数学建模选拔赛 华中地区大学生数学建模邀请赛 全国大学生数学建模竞赛国际数学建模竞赛 11 报名 组队 3人 建模 编程 写作 12 建模 建模 建立数学模型 从现实对象到数学模型示例一 椅子能在不平的地面上放稳吗 示例二 商人们怎样安全过河示例三 如何预报人口的增长数学模型的分类 13 初等模型微分方程模型网络模型规划模型概率统计模型 数学模型分类 14 问题的提出模型建立模型求解模型检验 15 编程 编程 为求解数学模型验并且证模型的正确性 同时为论文提供数据 1 编程一定要规范 2 其实编程的最大部分时间是花在了调试上 3 最好的调试方法就是在你认为有错误的地方插入输入出语句 16 MATLAB是矩阵实验室 MatrixLaboratory 的简称 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件 用于算法开发 数据可视化 数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境 主要包括MATLAB和Simulink两大部分 编程软件 17 编程软件 LINGO LinearInteractiveandGeneralOptimizer 是由美国LINDO系统公司推出的 可以用于求解非线性规划 也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等 功能十分强大 是求解优化模型的最佳选择 18 编程软件 EXCEL功能强大 操作简单 它有大量的内置函数的 可以用来处理数据 简单编程 提示 EXCEL是一款非常强大的软件 19 编程软件 SPSS统计分析程包括描述性统计 均值比较 一般线性模型 相关分析 回归分析 对数线性模型 聚类分析 数据简化 生存分析 时间序列分析 多重响应等几大类 每类中又分好几个统计过程 比如回归分析中又分线性回归分析 曲线估计Logistic回归 Probit回归 加权估计 两阶段最小二乘法 非线性回归等多个统计过程 而且每个过程中又允许用户选择不同的方法及参数 SPSS也有专门的绘图系统 可以根据数据绘制各种图形 20 论文 关键 21 数学建模论文的一般结构 摘要问题重述与分析问题假设符号说明模型建立与求解模型检验结果分析模型的进一步讨论模型优缺点 22 论文的模块设计 问题的背景问题的重述基本假设与符号说明问题的分析与模型的准备 23 论文的模块设计 模型的建立模型的求解模型的检验模型的灵敏度与稳定性分析模型的科学性及现实意义模型的使用说明模型的进一步讨论与改进模型评价与推广 24 论文的模块设计 参考文献附录 25 数学建模竞赛网上资源 中国数学建模网 数学中国网 中国大学生数学建模竞赛网 26 例1加工奶制品的生产计划 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划 使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶 买吗 若买 每天最多买多少 可聘用临时工人 付出的工资最多是每小时几元 A1的获利增加到30元 公斤 应否改变生产计划 每天 27 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利24 3x1 获利16 4x2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 每天获利 约束条件 非负约束 线性规划模型 LP 时间480小时 至多加工100公斤A1 28 模型分析与假设 比例性 可加性 连续性 xi对目标函数的 贡献 与xi取值成正比 xi对约束条件的 贡献 与xi取值成正比 xi对目标函数的 贡献 与xj取值无关 xi对约束条件的 贡献 与xj取值无关 xi取值连续 A1 A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1 A2的数量和时间是与各自产量无关的常数 A1 A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1 A2的数量和时间是与相互产量无关的常数 加工A1 A2的牛奶桶数是实数 线性规划模型 29 模型求解 图解法 约束条件 目标函数 z c 常数 等值线 在B 20 30 点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得 30 模型求解 软件实现 LINGO OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 DORANGE SENSITIVITY ANALYSIS No 20桶牛奶生产A1 30桶生产A2 利润3360元 max 72 x1 64 x2 x1 x20 X2 0 end 31 结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40 三种资源 资源 剩余为零的约束为紧约束 有效约束 max 72 x1 64 x2 x1 x20 X2 0 end 32 结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 最优解下 资源 增加1单位时 效益 的增量 原料增加1单位 利润增长48 时间增加1单位 利润增长2 加工能力增长不影响利润 影子价格 35元可买到1桶牛奶 要买吗 35 48 应该买 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元 2元 33 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172 00000024 0000008 000000X264 0000008 00000016 000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250 00000010 0000006 6666673480 00000053 33333280 0000004100 000000INFINITY40 000000 最优解不变时目标函数系数允许变化范围 DORANGE SENSITIVITY ANALYSIS Yes x1系数范围 64 96 x2系数范围 48 72 A1获利增加到30元 千克 应否改变生产计划 x1系数由24 3 72增加为30 3 90 在允许范围内 不变 约束条件不变 34 结果解释 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172 00000024 0000008 000000X264 0000008 00000016 000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250 00000010 0000006 6666673480 00000053 33333280 0000004100 000000INFINITY40 000000 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加10 时间最多增加53 35元可买到1桶牛奶 每天最多买多少 最多买10桶 目标函数不变 35 例2奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工 制订生产计划 使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶 3元可增加1小时时间 应否投资 现投资150元 可赚回多少 50桶牛奶 480小时 至多100公斤A1 B1 B2的获利经常有10 的波动 对计划有无影响 36 出售x1千克A1 x2千克A2 X3千克B1 x4千克B2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 利润 约束条件 非负约束 x5千克A1加工B1 x6千克A2加工B2 附加约束 37 丁的蛙泳成绩退步到1 15 2 戊的自由泳成绩进步到57 5 组成接力队的方案是否应该调整 如何选拔队员组成4 100米混合泳接力队 例1混合泳接力队的选拔 5名候选人的百米成绩 穷举法 组成接力队的方案共有5 120种 38 目标函数 若选择队员i参加泳姿j的比赛 记xij 1 否则记xij 0 0 1规划模型 cij 秒 队员i第j种泳姿的百米成绩 约束条件 每人最多入选泳姿之一 每种泳姿有且只有1人 39 模型求解 最优解 x14 x21 x32 x43 1 其它变量为0 成绩为253 2 秒 4 13 2 MIN66 8x11 75 6x12 87x13 58 6x14 67 4x51 71x52 83 8x53 62 4x54SUBJECTTOx11 x12 x13 x14 1 x41 x42 x43 x44 1x11 x21 x31 x41 x51 1 x14 x24 x34 x44 x54 1ENDINT20 输入LINGO求解 甲 自由泳 乙 蝶泳 丙 仰泳 丁 蛙泳 40 丁蛙泳c43 69 6 75 2 戊自由泳c54 62 4 57 5 方案是否调整 敏感性分析 乙 蝶泳 丙 仰泳 丁 蛙泳 戊 自由泳 IP规划一般没有与LP规划相类似的理论 LINGO输出的敏感性分析结果通常是没有意义的 最优解 x21 x32 x43 x51 1 成绩为4 17 7 c43 c54的新数据重新输入模型 用LINGO求解 指派 Assignment 问题 每项任务有且只有一人承担 每人只能承担一项 效益