期权的二叉树定价模型[恢复].ppt

期权的二叉树定价模型 2008年1月 主要内容 一 期权的定义及分类二 单期二叉树模型三 单期二叉树模型的推广四 多期二叉树模型五 从二叉树模型到B S公式 一 期权的定义及分类 1 期权的定义金融衍生产品到期日 t敲定价格 K标的资产 实物商品 公司股票 政府债券等2 期权的分类按买卖方向 看涨期权 看跌期权 双向期权按执行方式 欧式期权 美氏期权在本文中 主要考虑以股票为标的资产的欧式看涨期权 Europeancalloption 一价律 Thelawofoneprice 在无套利市场中 若两个投资组合具有相同的现金流收益 那么他们应该具有相同的价格 二 单期二叉树模型 设单期市场无风险利率为r 1 期初股价为S 在期末股价的变动有两种可能 以概率q变为uS 以概率1 q变为dS 那么以此股票为标的物 敲定价为K的欧式买入期权期初的价值C应该为多少 这个期权在到期日的价值为 我们从卖方的角度出发 构造一个投资组合来对冲这个期权 这个组合包括x股股票和面值为B的无风险债券 那么 则 既然这个投资组合能够完全复制期权 根据一价律 这个投资组合的价值就应该等于期权的价值 也就是说如果我们记 则 值得注意的几点 1 期权的价值与概率q无关2 期权的价值与投资者的风险偏好无关3 期权的价值C S K 否则很容易能够构造出套利 4 u r d应满足u r d5 为了对冲期权 我们的投资组合中应包含股标的物股票 其余的持有无风险债券 三 单期二叉树模型的推广 在这一部分的论述和推导中 我们均采用连续复利的形式1 二叉树模型的缺点 在前面的推导中 我们假设在每期中股价的变化只有两种可能 这种情况下我们构造期权的对冲投资组合只需用股票和无风险债券即可 但是在现实中 股价的变化情况显然不可能如我们所假设的那样 例如 若股价在未来的变化有三种情形 则我们不可能用上述的投资组合形式来对冲期权 2 单期二叉树模型的推广我们作如下假设 市场中可交易的资产数量 N 有限值 时刻0 资产的价值 时刻t时 市场可能的状态 n种 分别用1 2 3 n表示时刻t时 资产的价值矩阵 其中表示市场状态为j时第i种资产的价值 时刻0时 持有的投资组合 其中表示所持有的第i种资产的数量时刻0时 投资组合的价值 时刻t时 投资组合的价值 为方便叙述 我们定义如下符号 对一个向量x 我们记x0 如果它的每个分量均为非负 记x 0 如果它的每个分量均为非负 且不同时为0 记x 0 如果它的每个分量均为正 定义1 若存在投资组合使得0 0或者 0 0 则称市场中存在套利 则称市场中存在套利 定理1 资产定价基本定理 市场是无套利的等价于存在市场状态向量证明 用泛函分析中的超平面分割定理可以证明此定理 3 市场状态向量的意义记 设存在一个投资组合能够复制到期收益为1的无风险债券 即 则 所以在概率分布下 第i种资产在时刻t的期望价值为 也就是定义3 称不定权益C是可达的 如果存在投资组合能够对冲C 定理2 若市场不存在套利 则对任意可达的不定权益C 它在时刻0存在唯一价格 其中Q是任一满足i 1 2 N的概率测度 定义4 如果市场在时刻t有n种可能状态 对任意概率分布 若在P下 每一种证券的价格等于该证券在时刻t的价格折现值的数学期望 即i 1 2 N 则称P为市场的一个风险中性测度或等价鞅测度定义5 若每一个不定权益都是可达的 则称市场是完全的定理3 市场是完全的等价于 且D的秩为n 定理4 如果市场是无套利且完全的 则存在唯一的等价鞅测度 四 多期二叉树模型 假设期权从签订到到期日之间有n期 在每一期里 期末股价都以概率q变为期初的u倍 以概率1 q变为期初的d倍 每一期的市场无风险利率均为r 1 那么以此股票为标的物的欧式买入期权价值为多少 类似于单期二叉树模型的方法 从最后一期往前推导 可以得到期权的价值为 为了简化上述表达式 我们令也就是说a是大于的最小非负整数 那么 对任意的j a 0对任意的ja 因此 其中 为参数为p的n次二项分布取值不小于a的概率 五 从多期二叉树模型到B S公式 多期二叉树模型公式 其中B S公式 其中推导思想 期限为t的期权 将期限n等分 设置合理的u d q 使得当时 多期二叉树模型的公式趋于B S公式 因为二叉树公式为C 我们只需要证明时即可 两者的证明类似 我们以前者为例进行证明 将时段 0 t n等分 每一份的长度为t n 假设各小时段末的股价分别为j表示这n期里股价上升的期数 则 因为在B S公式中 上述期望与方差分别为和 我们需要选取合适的u d q 使得时 我们令即可 可以计算 设置好合适的u d q之后 我们开始推导假设如下情形 时刻0股价为S 在等分后的每个小时段里股价以概率p升至uS 以概率1 p降至dS 则 分解之后的每个随机变量的期望与方差分别