（试题 试卷 真题）立体几何

立体几何(推荐时间：70分钟)1 如图甲，直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，F为AD中点，E在BC上，且EFAB，已知ABADCE2，现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE平面ABEF.(1)求证：AD平面BCE；(2)求证：AB平面BCE；(3)求三棱锥CADE的体积(1)证明由题意知AFBE，DFCE，所以平面ADF平面BCE，又AD平面ADF，所以AD平面BCE.(2)证明在图甲中，在直角梯形ABCD中，EFAB，ABAD，BCAD，所以EFBC，所以在图乙中，CEEF.又因为平面CDFE平面ABEF，平面CDFE平面ABEFEF，所以CE平面ABEF，所以CEAB.又ABBE，且BECEE，所以AB平面BCE.(3)解因为平面CDFE平面ABEF，AFEF，所以AF平面CDFE，所以AF为三棱锥ACDE的高，AF1.又ABCE2，所以SCDE222，所以VCADEVACDESCDEAF21.2 一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一个动点，且DGDF(01)(1)求证：对任意的(0,1)，都有ACGN；(2)当时，求证：AG平面FMC.证明(1)由题，知该几何体是一个三棱柱，且CDDF，ADDF，ADCD，且DFADDCa.如下图，连接BD，可知N为AC与BD的交点，且ACBD.由题，知FD平面ABCD，又G是FD上的一点，所以GD平面ABCD.而AC平面ABCD，所以GDAC.又BDGDD，所以AC平面GDN.而GN平面GDN，所以ACGN.(2)当时，G是DF的中点，如上图，取DC的中点S，连接AS，GS，因为M是AB的中点，所以ASMC，GSFC，且ASGSS，FCCMC，所以平面AGS平面FMC.而AG平面AGS，所以AG平面FMC.3 如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC为正三角形，D，E分别是BC，CA的中点(1)证明：平面PBE平面PAC；(2)在BC上找一点F，使AD平面PEF，并说明理由(1)证明PA平面ABC，BE平面ABC，PABE.ABC为正三角形，E是CA的中点，BEAC.又PA，AC平面PAC，PACAA，BE平面PAC.BE平面PBE，平面PBE平面PAC.(2)解取F为CD的中点，连接EF.E，F分别为AC，CD的中点，EF是ACD的中位线，EFAD.又EF平面PEF，AD平面PEF，AD平面PEF.4 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC60，PA平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PAAB2.(1)证明：BC平面AMN；(2)求三棱锥NAMC的体积；(3)在线段PD上是否存在一点E，使得MN平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由(1)证明因为ABCD为菱形，所以ABBC，又ABC60，所以ABBCAC，又M为BC中点，所以BCAM，而PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，又PAAMA，所以BC平面AMN.(2)解因为SAMCAMCM1，又PA底面ABCD，PA2，所以AN1，所以，三棱锥NAMC的体积VSAMCAN1.(3)解存在，取PD中点E，连接NE，EC，AE，因为N、E分别为PA、PD的中点，所以NEAD且NEAD，又在菱形ABCD中，CMAD，CMAD，所以NEMC，NEMC，即MCEN是平行四边形，所以NMEC，又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN平面ACE，即在PD上存在一点E，使得MN平面ACE，此时PEPD.5 如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，AD平面DEFG，ABAC，EDDG，EFDG，且ACEF1，ABADDEDG2.(1)求证：平面BEF平面DEFG；(2)求证：BF平面ACGD；(3)求三棱锥ABCF的体积(1)证明因为平面ABC平面DEFG，平面ABC平面ADEBAB，平面DEFG平面ADEBDE，所以ABDE.因为ABDE，所以ADEB为平行四边形，则BEAD.因为AD平面DEFG，所以BE平面DEFG.因为BE平面BEF，所以平面BEF平面DEFG.(2)证明取DG的中点M，连接AM、FM，如图则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以DE綊FM，又因为AB綊DE，所以AB綊FM，所以四边形ABFM是平行四边形，故BFAM.又BF平面ACGD，AM平面ACGD，故BF平面ACGD.(3)解因为平面ABC平面DEFG，所以F到平面ABC的距离为AD.所以VABCFVFABCSABCAD2.6 如图，已知平行四边形ABCD中，BC2，BDCD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点(1)求证：GH平面CDE；(2)记CDx，V(x)表示四棱锥FABCD的体积求V(x)的表达式；当V(x)取得最大值时，求x的值(1)证明方法一EFAD，ADBC，EFBC且EFADBC.四边形EFBC是平行四边形，H为FC的中点，又G是FD的中点，GHCD.HG平面CDE，CD平面CDE，GH平面CDE.方法二连接EA，ADEF是正方形，G是AE的中点，在EAB中，GHAB.又ABCD，GHCD.HG平面CDE，CD平面CDE，GH平面CDE.(2)解平面ADEF平面ABCD，交线为AD，且FAAD，FA平面A