MAPLE理论力学.doc

MAPLE理论力学大作业 班别: 姓名： 学号： 教师：课程名称：多刚体动力学 1. 图1（a）所示圆盘半径cm，以匀角速度rad/s绕位于盘缘的水平固定轴O转动，并带动杆AB绕水平固定轴A转动，。试求杆与铅垂线夹角时杆端B的速度和加速度的大小。 已知：cm ，rad/s，。 求：，。 解： 建模本机构在运动过程中，由于圆盘的圆心C到直杆AB的垂直距离始终保持不变，并等于半径r。因此，可以选非接触点C为动点，动系与直杆AB相固连，如图1（b）所示。因而有：相对运动：动点C沿平行于杆AB并与杆相距为r的直线运动；牵连运动：随杆AB绕水平轴A的定轴转动；绝对运动：动点C作以r为半径、O为圆心的圆周运动。 答：杆与铅垂线夹角时杆端B的速度为8cm/s,加速度大小为cm/s2。 （a） （b）（c）图1 Maple程序restart: #清零R := 2*sqrt(3): omega := 2: theta := (1/6)*Pi: #已知条件ve := R*omega*tan(theta): #牵连速度大小vr := R*omega/cos(theta): #相对速度大小eq1 := va = ve+vr: #绝对速度大小omegaab := r*omega*tan(theta)/(2*r)： #杆AB的角速度 AB := 4*R: AC := 2*R: #已知条件vB := AB*omegaab: #B点速度vB := evalf(vB, 3): #解方程aan := R*omega2: aen := AC*omegaab2: ak := 2*omegaab*vr:#C点加速度eq1 := aan*cos(theta) = -aen*sin(theta)+aet*cos(theta)+ak:#a合成定理x := isolate(eq1, aet): #解方程aet := rhs(x): #取方程右边项alphaab := evalf(aet/AC, 3): #AB角加速度aBt := evalf(AB*alphaab, 3): aBn := evalf(AB*omegaab2, 3): #切法向角速度aB := evalf(sqrt(aBn2+aBt2), 4): #B点加速度大小 2. 图2（a）所示半径是R的卷筒沿固定水平面滚动而不滑动，卷筒上固连有半径是r的同轴鼓轮，缠在鼓轮上的绳子由下边水平地伸出，绕过定滑轮，并在下端悬有重物M。设在已知瞬时重物具有向下的速度v和加速度a。试求该瞬时卷筒铅直直径两端C和B的加速度大小。 已知：R，r，M，v，a。 求：。 解： 建模卷筒沿固定面滚动而不滑动，它与固定面的接触点C是速度瞬心，分析点C和B的加速度，取O为基点。答：C点的加速度大小为，B点的加速度大小为。 (a) (b)图2 Maple程序Restart： #清零CD := R-r; eq1 := omega = v/CD： #已知条件eq2 := dv/dt = a： #C点加速度大小eq3 := alpha = a/(R-r)： #C点角加速度大小aO := R*a/(R-r)： #O点加速度大小atCO := R*alpha; atCO := subs(eq3, atCO)： #C点切向及速度大小anCO := R*omega2; anCO := subs(eq1, anCO)：#C点法向及速度大小aC = aO-atCO+anCO： #C点合成加速度大小atBO := atCO： #B点切向加速度大小anBO := anCO： #B点法向加速度大小aB := sqrt(aO+atBO)2+anBO2): #B点加速度大小 3. 在图3所示平面机构中，轮子在水平面作纯滚动，借助于铰接在轮缘上的套筒带动摇杆与轮相切，轮心的速度m/s，加速度m/s2，摇杆与水平线夹角为。求摇杆在此瞬时的角速度和角加速度。 已知：m/s，m/s2，。 求：，。 解： 建模由于轮在水平面上作纯滚动，故轮与地面的接触点C为轮的速度瞬心。取O为基点，分析轮缘上点B的加速度。 答：摇杆与水平线夹角为时，摇杆的角速度rad/s，角加速度rad/s2。图3 Maple程序restart: #清零omega := vO/r: #O点角速度大小vB := BC*omega: #B点绝对速度大小eq1 := va = ve+vr: #B点速度合成定理va := vB: #B点绝对速度大小ve := va*cos(theta): #B点牵连速度大小vR := va*sin(theta): #B点相对速度大小vO := 20: r := 1/2: #已知条件theta := (1/3)*Pi: CO1 := 2*r*cos(1/2)*Pi-theta): #已知几何条件BC := CO1: BO1 := CO1: #已知几何条件omega1 := ve/BO1: #角速度计算式eq2 := aO*cos(1/2)*Pi-theta)+aBOn = -aet+ak:#加速度合成定理BOl := r: aO := 10: #已知条件aBOn := BOl*omega2: #法向加速度大小aet := BO1*alpha: ak := 2*omega1*vR: #切向加速度大小alpha := solve(eq2, alpha): #解方程eq2alpha := evalf(alpha, 3): #保留3为有效数字 4. 跨过定滑轮D的细绳，一端缠绕在圆柱A上，另一端系在物块B上如图4所示，已知圆柱A和滑轮D都可以看作匀质圆盘，半径都是r，质量分别为和；物块B的质量。如果不记细绳的质量以及轴承摩擦，滑轮与绳之间不打滑；试求物块B的加速度、圆柱质心C的加速度和绳索的拉力。 已知：r，。 求：，。 解： 建模分别取物块B，滑轮D，圆柱A为研究对象，根据达朗贝尔原理，在物块B的质心虚加惯性力；沿的反向在滑轮D虚加矩为的惯性力偶；在圆柱A的质心C虚加惯性力，以及沿的反向在圆柱A虚加矩的惯性力偶后，与每个物体真实作用的主动力和约束力共同构成平衡力系。 答：物块B的加速度，圆柱质心C的加速度，绳索的拉力，。图4 Maple程序restart: #清零aC := r*alphaA+aB: #质心C的加速度大小eq1 := -g*mB+FB-FIRB = 0: #对物块Beq2 := JO*alphaD+r*(FB1-FA1) = 0: #对滑轮Deq3 := -g*mA+FA+FIRA = 0 ： #对圆柱Aeq4 := -r*FA+JC*alphaA = 0: #对圆柱AFA1 := FA: FB1 := FB: #相互作用力 JO := (1/2)*mD*r2: JC := (1/2)*mA*r2: #圆柱A、滑轮D的转动惯量alphaD := aB/r:FIRB := mB*aB: FIRA := mA*aC: #滑轮D的角加速度eq1 := subs(FIRB = mB*aB, eq1): #代换eq2 := subs(FA1 = FA, FB1 = FB, JO = (1/2)*mD*r2, alphaD = aB/r, eq2): #代换eq3 := subs(FIRA = mA*aC, eq3): #代换eq4 := subs(JC = (1/2)*mA*r2, eq4): #代换SOL1 := solve(eq1, eq2, eq3, eq4, FA, FB, aB, alphaA):#解方程aB := subs(SOL1, aB)： #物块B的加速度FA := subs(SOL1, FA): #绳索拉力FB := subs(SOL1, FB): #绳索拉力alphaA := subs(SOL1, alphaA): #圆柱A的角加速度aC := subs(aB = aB, alphaA = alphaA, aC):#代换aC := simplify(aC): #化简 5 . 图5（a）所示圆轮的质量kg，半径mm，质心C到圆心O的距离mm，圆轮对质心C的回转半径mm，圆轮作纯滚动。在图示C、O位于同一高度时，轮的角速度为rad/s，求此时圆轮的角加速度以及地面的约束力和摩擦力。 已知：kg，mm，mm，mm。 求：。 解： 建模圆轮作纯滚动的加速度为，则其圆心O的加速度，以O为基点，根据达朗贝尔原理，对质心C的力和力矩平衡。对加速度分析如图5（b）所示，对力和力矩分析如图5（c）所示。 答：圆轮的角加速度为rad/s2，负号表示实际方向与图示方向相反。地面的约束力为N，摩擦力N，负号表示实际方向与图示方向相反。图5 Maple程序restart:#清零eq1 := aCx+aCy = aO+aCOn+aCot: #加速度合成定理aCx := aO+aCOn: #沿x方向速度投影aCy := aCOt: #沿y方向速度投影aO := r*alpha: #圆心处的加速度aCOn := e*omega2: aCOt := e*alpha: #C点法切、向加速度FIRx := m*aCx: #x方向上的惯性力FIRy := m*aCy: #y方向上的惯性力MIC := JC*alpha: #惯性矩JC := m*rho2: #绕C点转动的转动惯量eq2 := Fs-FIRx = 0: #eq3 := -g*m-FIRy+FN = 0: #eq4 := e*FN+r*Fs+MIC = 0: #SOL1 := solve(eq2, eq3, eq4, alpha, FN, Fs): #解方程组e := 0.05: omega := 8:r := 0.2: rho := 0.08: g := 9.8: m := 4:#已知条件alpha := subs(SOL1, alpha): #代换alpha := evalf(alpha, 3): #角加速度FN := subs(SOL1, FN): #代换FN := evalf(FN, 3): #地面的约束力Fs := subs(SOL1, Fs): #代换Fs := evalf(Fs, 3): #摩擦力 6. 图6（a）所示匀质杆AB长为l=2m，质量为m=1kg，可在铅垂平面内运动。初始时杆件静止，初始角为。不记各处摩擦，试用达朗贝尔原理求杆刚开始滑动时得角加速度和约束力。 已知：m,kg,。 求：。 解： 建模建立坐标系Oxy，如图6（b）所示。 答：杆AB刚开始滑动时得角加速度为，此时的约束力为，。当时，随在范围内变化的曲线如图6（c），（d），（e）所示。FBFA （c） （d） （e）图6 Maple程序restart: #清零xC := (1/2)*l*sin(phi(t): #质心C的坐标yC := (1/2)*l*cos(phi(t): #质心C的坐标vCx := diff(xC, t): #vCy := diff(yC, t): #aCx := diff(vCx, t): #aCy := diff(vCy, t): #aCx := subs(diff(phi(t), $(t, 2) = alpha, diff(phi(t), t) = omega, aCx): #代换aCy := subs(diff(phi(t), $(t, 2) = alpha, diff(phi(t), t) = omega, aCy): #代换aCx := subs(diff(phi(t), $(t, 2) = alpha, diff(phi(t), t) = omega, omega = 0, aCx): #代换aCy := subs(diff(phi(t), $(t, 2) = alpha, diff(phi(t), t) = omega, omega = 0, aCy): #代换eq1 := FIRx = m*aCx: #惯性力在x方向上的投影eq2 := FIRy = m*aCy: #惯性力在y方向上的投影eq3 := MIC = JC*alpha: #惯性力向质心简化的主矩eq3 := subs(JC = (1/12)*m*l2, eq3): #代换eq4 := -MIC-(1/2)*FIRx*l*cos(phi(t)+(1/2)*(g*m+FIRy)*l*sin(phi(t) = 0: #eq4 := subs(FIRx = m*aCx, FIRy = m*aCy, MIC = JC*alpha, JC = (1/12)*m*l2, eq4): #代换SOL1 := solve(eq4, alpha): #解方程SOL1 := simplify(SOL1): #化简alpha := subs(SOL1, alpha): #代换normal(eq1); normal(eq2): #惯性力方程eq5 := FA-FIRx = 0: #eq6 := -g*m+FB-FIRy = 0: #FA := solve(subs(normal(eq1), eq5), FA):#解方程求FB := solve(subs(normal(eq2), eq6), FB):#解方程求g := 9.8: m := 1: phi := subs(phit = phi, phit):#初始条件plot(FA, phi = 0 . (1/2)*Pi): #当从变化，变化曲线plot(FB, phi = 0 . (1/2)*Pi, color = black): #当从变化，变化曲线alpha := subs(l = 2, alpha): #代换plot(alpha, phi = 0 . (1/2)*Pi, color = green): #当从变化，变化曲线 7. 图7所示平面双摆中，摆锤A、B重分别为，摆杆长分别为a和b，杆重不记，若在点加一水平力F以维持系统的平衡，求摆杆与铅垂线的夹角和。 已知：，。 求：，。 解： 建模 建立Oxy坐标系，此系统有两个自由度，若取和为广义坐标，则对应的广义虚位移为和，作用于系统的主动力为和。答：。 Maple程序restart: #清零eq1 := F*deltayB+GA*deltaxA+GB*deltaxB = 0: #虚功方程xA := a*cos(phi):xB := a*cos(phi)+b*cos(psi): yB := a*sin(phi)+b*sin(psi): #广义坐标下A、B点坐标eq2 := deltaxA = -a*sin(phi)*deltaphi: #虚功方程eq3 := deltaxB = -a*sin(phi)*deltaphi-b*sin(psi)*deltapsi: #虚功方程eq4 := deltayB = a*cos(phi)*deltaphi+b*cos(psi)*deltapsi: #虚功方程eq1 := subs(deltaxA = rhs(eq2), deltaxB = rhs(eq3), deltayB = rhs(eq4), eq1): #代换collect(eq1, delta(phi): #整理方程factor(eq1): #合并同类项eq5 := -GA*a*sin(phi)-GB*a*sin(phi)+F*a*cos(phi) = 0: #独立方程eq6 := -GB*b*sin(psi)+F*b*cos(psi) = 0: #独立方程eq5 := solve(eq5, sin(phi): eq5 := tan(phi) = subs(cos(phi) = 1, eq5):#解方程eq6 := solve(eq6, sin(psi): eq6 := tan(psi) = subs(cos(psi) = 1, eq6):#解方程心得体会在此之前，从来没有听说过MAPLE软件，本学期修了多刚体动力学，才真正接触到能够解决力学问题的MAPLE软件。MAPLE是产自加拿大的一个计算机软件，具有强大的实用性：1） 功能齐全。由2000多个余子式程序构成，其功能覆盖了代数，几何，微积分；2） 操作简便；3） 程序设计命令规范；4） 输出结果内容丰富，格式多样。正是基于其强大的实用性，我觉得有必要学习并且学好MAPLE，无论是在以后的工作岗位还是研究生科研过程中，我们一定会运用上，用来解决实际问题。在这半年的学习过程中，首先感谢李银山老师的谆谆教导，使我学习到了新知识。老师的教学方式一改填鸭式教学方式，老师给了我们一个很好的向导，在无意识的情