微积分模拟考试评分细则.pdf

浙江大学浙江大学 20142014 20152015 学年秋冬学期学年秋冬学期 微积分微积分 课程 课程期中考试模拟期中考试模拟试卷试卷 评分细则评分细则 一 一 计算题计算题 1 设 ttz tztytxtr t ty t tx 2 3 2 6 2 2 则曲线 5 分 则 1 2 32 2 62 2 2 tz t t ty t t tx 只要有一次求导即给分 2 分 0 2 3 2 2 3 2 6 2 2 6 3 2 2 3 2 2 tz t t ty t t tx 只要有二次求导即给分 2 分 从而 3 tr trtr k 在 t 2 处 k 3 2 1 分 此题超纲 故若只写了二维空间中曲线曲率公式给 8 分 2 n n n nn n n n n lnlnln2ln1ln ln 1 0 222 故1 0 1 2 lim en n n 3 对 sinx tanx arctanx 作泰勒展开 3 arctan 3 tan 3 sin 3 3 3 3 3 3 xo x xx xo x xx xo x xx 故 3 1 6 1 3 1 3 1 6 1 sintan arctansin lim 0 xx xx x 1 分 4 2 3 41 1 arcsin8 sin cos sin ln sin x x x xx xx dx dy x 5 12 1 2 0 12 sin 1 2 1 sin n n n k k x n x k x k xf 1 0 6 kx x k x 1 1 1 lim 1 6 分 1 1 1 1 1 1 3 1 lim nx xxx n n x 4 分 7 过曲线上任一点 1 0 0 x x的切线为 0 2 0 21 x x x y 2 分 2 00 2 00 2 2 x b x ybx x a x yax a a 时 时 想到取对数给 5 分 放缩正确 其他放缩也可 给 2 分 答案正确给 10 分 若用洛必达证明 则答案错误给 5 分 答案正确给 10 分 3 分 3 分 3 分 此处求导正确给 5 分 此处求导正确给 5 分 8 分 2 分 2 分 答案正确给 10 分 2 分 梯形面积为 2 abyy S ba 2 分 当 2 ba x 时 max S即过点 2 2 ba ba 2 分 二 二 证明题证明题 1 0 0stt xftx时 2 分 txftfxftx 由中值定理 xt 2 分 故 txgfxftxtf txtfxftx 2 分 不妨可设 x 0 故 x txtf x xf x txtf 2 分 从而 x xf x lim 由 任意性知0 lim x xf x 2 分 2 s t f ac afcf 0 fca 故 3 分 s t f bc bfcf 0 fca 故 3 分 s t f ff 0 fca 故 4 分 3 由 Taylor 定理 0 1 1 n x n x x n e xPe 4 分 1 0 0 xPx n 时 显然 0 n 0 12 0 2 2 xP x n e exPx n n x x n 为偶数时故 时 1 分 2 1 分 1 分 1 分 故仅有一个零点 而 单调递增故由 0 1212 122 2 12 limlim xPxP xPxP xPxP n x n x nn nn 3 故无下界即趋近于 矛盾 故 则 假设 单调递减故于是 用归纳法证明 a n nnn n n n n nnn nn n nnnn n n nn e n xxx xP n xxx xP ax xxxP nx n x n x xPxP 0