《辅助线技巧——截长补短(二)》进阶练习（三） .docx

辅助线技巧截长补短(二)进阶练习一选择题1如图，在四边形ABCD中，BAD=110，B=D=90，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则AMN+ANM的度数是（）A150B140C130D120二解答题2已知ABC中，A=60，BD，CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由3已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，AC=BC，点D是ABC内的一点，且AD=AC，若DAC=30，试探究BD与CD的数量关系并加以证明4如图，等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，BE平分ABC交AC于E，过C作CDBE于D点，写出AT、CD与BD之间的数量关系并证明5（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90，E、F分别是BC，CD上的点且EAF=60，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+FD；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是仍然成立（填“是”或“否”）；结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离能力提高：如图4，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45若BM=1，CN=3，则MN的长为参考答案1B2解：在BC上取点G使得CG=CD，BOC=180（ABC+ACB）=180（18060）=120，BOE=COD=60，在COD和COG中，CODFCOG（SAS），COG=COD=60，BOG=12060=60=BOE，在BOE和BOG中，BOEBOG（ASA），BE=BG，BE+CD=BG+CG=BC3解：BD=CD证明：作BEBC，AEAC，两线相交于点E，ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，四边形AEBC是正方形，DAC=30，DAE=60，AD=AC，AD=AE，AED是等边三角形，AED=60，DEB=30，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），BD=CD4解：AT=（BDCD），理由如下：在BD上截取BF=CD，连接AF、AD，如图所示：CDBD，CDE=BAE=90，AEB=DEC，ABF+AEB+BAE=180，DCE+DEC+CDE=180，ABF=DCE，在ABF和ACD中，ABFACD（SAS），AF=AD，BAF=DAC，BAC=BAF+FAC=90，DAC+FAE=FAD=90，即FAD是等腰直角三角形，ATDF，FT=TD，AT=DF=（BDCD）5解：（1）延长FD到点G使DG=BE连结AG，在RtABE和RtADG中，RtABERtADG，AE=AG，BAE=DAG，GAF=EAF，在AEF和AGF中，AEFAGF，EF=GF，EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+FD；（2）延长CD至H，使DH=BE，连接AH，B+ADC=180，ADH+ADC=180，B=ADH，在ABE和ADH中，ABEADH，AE=AH，BAE=DAH，EAF=BAD，EAF=HAF，在EAF和HAF中，EAFHAF，FH=EF，EF=BE+DF，故答案为：是；结论应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点M，在四边形AOBM中，AOB=30+90+20=140，FOE=70=AOB，又OA=OB，OAM+OBM=60+120=180，符合探索延伸中的条件，结论EF=AE+FB成立，则EF=AE+FB=1.5（60+80）=210（海里），答：此时两舰艇之间的距离为210海里；能力提高：过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM连接AE、EN，由探索延伸可知，CE=BM=1，NE=MN，NE=，MN=，故答案为：解析1【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键根据要使AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A，A，即可得出AAM+A=HAA=70，进而得出AMN+ANM=2（AAM+A），即可得出答案【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为AMN的周长最小值作DA延长线AH，DAB=110，HAA=70，AAM+A=HAA=70，MAA=MAA，NAD=A，且MAA+MAA=AMN，NAD+A=ANM，AMN+ANM=MAA+MAA+NAD+A=2（AAM+A）=270=140，故选B2.【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG和BE=BG是解题的关键在CB上取点G使得CG=CD，可证BOEBOG，得BEBG，可证CDOCGO，得CD=CG，可以求得BE+CD=BC【解答】见答案3【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构建正方形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路作BEBC，AEAC，两线相交于点E，则四边形AEBC是正方形，由DAC=30，得DAE=60，由AD=AC，得AD=AE，所以，三角形AED是等边三角形，可得AED=60，DEB=30，所以，ADCEDB，可得BD=CD；【解答】见答案4【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用；解此题的关键是求出FAD是等腰直角三角形，题目比较好，有一定的难度在BD上截取BF=CD，连接AF、AD，求出ACD=ABF，由SAS证明ABFACD全等，推出AF=AD，证出FAD是等腰直角三角形，即可得出答案【解答】见答案5【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用（1）延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结