浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八级数学下册《专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明》同步练习 （新版）浙教版.doc

专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明类型一 特殊平行四边形的阅读理解问题1. 阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ） a 平行四边形 b 矩形 c 菱形 d 以上答案都不对（2）如图，等腰rtabd中，bad=90. 若点c为平面上一点，ac为凸四边形abcd的和谐线，且ab=bc，请直接写出abc的度数.2 一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形 如图1，矩形abcd中，若ab=2，bc=6，则称矩形abcd为2阶奇异矩形（1）判断与操作：如图2，矩形abcd长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由（2）探究与计算：已知矩形abcd的一边长为20，另一边长为a（a20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形abcd及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值3. 如图，abc中，已知bac45，adbc于d，bd2，dc3，求ad的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以ab、ac为对称轴，画出abd、acd的轴对称图形，d点的对称点为e、f，延长eb、fc相交于g点，求证：四边形aegf是正方形；（2）设ad=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.类型二 特殊平行四边形的探究性问题4. 如图，abc中，点o为ac边上的一个动点，过点o作直线mnbc，设mn交bca的外角平分线cf于点f，交acb内角平分线ce于e（1）求证：eo=fo；（2）当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？并证明你的结论；（3）若ac边上存在点o，使四边形aecf是正方形，猜想abc的形状并证明你的结论.5. 翻阅第四章同步，我们曾做过以下题目：在此基础上，思考并解答以下新问题：（1）当bac60时，四边形adef是平行四边形吗？请说明理由；（2）当abc满足什么条件，四边形adef是菱形？请说明理由；（3）当abc满足什么条件，四边形adef是矩形？请说明理由；（4）当abc满足什么条件，四边形adef是正方形？请说明理由.6. （1）如图1，在正方形abcd中，e是ab上一点，f是ad延长线上一点，且dfbe. 求证：cecf；（2）如图2，在正方形abcd中，e是ab上一点，g是ad上一点，如果gce45，请你利用（1）的结论证明：gebegd；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形abcd中，adbc，（bcad），b90，abbc，e是ab上一点，且dce45，be4，de10，求四边形abcd的面积7 如图，已知在rtabc中，abc=90，c=30，ac=12cm，点e从点a出发沿ab以每秒1cm的速度向点b运动，同时点d从点c出发沿ca以每秒2cm的速度向点a运动，运动时间为t秒（0t6），过点d作dfbc于点f（1）试用含t的式子表示ae、ad的长；（2）如图1，在d、e运动的过程中，四边形aefd是平行四边形，请说明理由；（3）如图2，连结de，当t为何值时，def为直角三角形？（4）如图3，将ade沿de翻折得到ade，试问当t为何值时，四边形aead为菱形？ 8. 如图，abcd，点e，f分别在ab，cd上，连结ef，aef、cfe的平分线交于点g，bef、dfe的平分线交于点h.（1）求证：四边形egfh是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过g作mnef，分别交ab，cd于点m，n，过h作pqef，分别交ab，cd于点p，q，得到四边形mnqp，此时，他猜想四边形mnqp是菱形，请在下列框中补全他的证明思路.由abcd，mnef，pqef，易证四边形mnqp是平行四边形，要证mnqp是菱形，只要证mn=nq，由已知条件 ，mnef，故只要证gm=fq，即证mgeqfh，易证 、 . 故只要证mge=qfh，易证mge=gef，qfh=efh， ，即可得证.参考答案专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明1. （1）c 【点拨】根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形 故选c.（2）等腰rtabd中，bad=90，ab=ad. ac为凸四边形abcd的和谐线，且ab=bc，分三种情况讨论：若ad=cd，如图1，则凸四边形abcd是正方形，abc=90；若ad=ac，如图2，则ab=ac=bc，abc是等边三角形，abc=60；若ac=dc，如图3，则可求abc=150.2. （1）矩形abcd是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：（2）裁剪线的示意图如下： 3. （1）证明：由题意可得：abdabe，acdacf dab=eab，dac=fac，又bac=45，eaf=90 又adbc，e=adb=90，f=adc=90 四边形aegf是矩形，又ae=ad，af=ad，ae=af 矩形aegf是正方形（2）设ad=x，则ae=eg=gf=x bd=2，dc=3，be=2，cf=3，bg=x-2，cg=x-3，在rtbgc中，bg2+cg2=bc2，（x-2）2+（x-3）2=52 化简得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍去），所以ad=x=64. （1）ce平分acb，ace=bce，mnbc，oec=ecb，oec=oce，oe=oc，同理，oc=of，oe=of；（2）当点o运动到ac中点处时，四边形aecf是矩形 如图ao=co，eo=fo，四边形aecf为平行四边形，设abc的外角为acg，ce平分acb，ace=acb，同理，acf=acg，ecf=ace+acf=（acb+acg）=180=90，四边形aecf是矩形；（3）abc是直角三角形，四边形aecf是正方形，acen，故aom=90，mnbc，bca=aom，bca=90，abc是直角三角形5. （1）不是，此时fad180，四边形faed将变成一线段；（2）当abc满足abac且bac60时，四边形adef是菱形，理由略；（3）当abc满足bac150时，四边形adef是矩形，理由略；（4）当abc满足abac且bac150时，四边形adef是正方形，理由略.6. （1）四边形abcd是正方形，bccd，bcdf90，bedf，cbecdf（sas） cecf.（2）证明：如图1，延长ad至f，使dfbe，连结cf. 由（1）知cbecdf，bcedcf. bceecddcfecd，即ecfbcd90，又gce45，gcfgce45. cecf，gcgc，ecgfcg.gegf，gegfdfgdbegd.（3）如图2，过c作cgad，交ad延长线于g. 在四边形abcd中，adbc，ab90，又cga90，abbc，四边形abcg为正方形 agbc. dce45，根据（1）（2）可知，edbedg. 104dg，即dg6. 设abx，则aex4，adx6，在rtaed中，de2ad2ae2，即102（x6）2（x4）2. 得：x12或x2（舍去） ab12. s梯形abcd（adbc）ab（612）12108. 即四边形abcd的面积为108.7. （1）ae=t，ad=12-2t.（2）dfbc，c=30，df=cd=2t=t. ae=t，df=ae. abc=90，dfbc，dfae. 四边形aefd是平行四边形.（3）显然dfe90. 如图1，当edf=90时，四边形ebfd为矩形，此时ae=ad，t（12-2t）. t=3. 如图2，当def=90时，此时ade=90，aed=90-a=30.ad=ae. 12-2tt. t.综上：当t=3秒或t秒时，def为直角三角形.（4）如图3，若四边形aead为菱形，则ae=ad. t=12-2t. t=4. 当t=4秒时，四边形aead为菱形.8. （1）证明：eh平分bef，feh=bef，fh平分dfe，efh=dfe，abcd，bef+dfe=180，feh+efh=（bef+dfe）=180=90，feh+efh+ehf=180，ehf=180-（feh+efh）=180-90=90，同理可得：egf=90，eg平分aef，gef=aef，eh平分bef，feh=bef，点a、e、b在同一条直线上，aeb=180，feg+feh=（