高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 空间中的垂直关系（2）学案 新人教B版必修2.doc

1.2.3空间中的垂直关系第二课时1理解平面与平面垂直的定义2通过直观感知、操作确认，归纳出空间中面面垂直的有关判定定理、性质定理3掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用以上定理解决空间中的相关垂直性问题1平面与平面垂直的定义如果两个_平面的交线与第三个平面_，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线_，就称这两个平面互相垂直2平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条_，则两个平面互相垂直符号语言：.【做一做11】对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()amn，m，nbmn，m，ncmn，n，mdmn，m，n【做一做12】在空间四边形abcd中，若abbc，adcd，e为对角线ac的中点，下列判断正确的是()a平面abd平面bdcb平面abc平面abdc平面abc平面adcd平面abc平面bed3平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线_另一个平面符号语言：a.【做一做2】设平面平面，且l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b()a可能垂直，不可能平行b可能平行，不可能垂直c可能垂直，也可能平行d不可能垂直，也不可能平行证明线面垂直、面面垂直的主要方法剖析：(1)证明线面垂直的方法：利用线面垂直的定义：a与内的任何直线垂直a；利用判定定理：l；利用结论：ab，ab；利用面面平行的性质：，aa；利用面面垂直的性质：，l，a，ala.(2)证明面面垂直的方法：利用定义；利用判定定理：一面经过另一面的垂线关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系如下图所示：题型一 位置关系的判定【例1】下列命题不正确的是()a若lm，l，m，则b若lm，l，m，则c若，则d若lm，l，m，则反思：关于位置关系的判断题，如果以选择题的形式出现，通常借助于几何模型利用排除法来解决题型二 利用定义证明面面垂直【例2】如图，在四面体abcd中，bda，abadcbcdaca，求证：平面abd平面bcd分析：图形中的垂直关系较少，不妨考虑利用定义法证明反思：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：(1)证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直；(2)证明这两个相交平面与第三个平面的交线垂直；(3)根据定义，这两个平面互相垂直题型三 利用判定定理证明面面垂直【例3】如图所示，已知pao所在的平面，ab是o的直径，c是o上任意一点，求证：平面pac平面pbc分析：证明bc是平面pac的垂线即可，再利用面面垂直的判定定理解决反思：解决本题的关键是找出垂线bc，利用圆的有关性质得到bca90.总之，利用面面垂直的判定定理来证明面面垂直的要领是：先从整体上把握空间几何体的结构特征，然后直观观察出一平面的垂线，最后根据定理的要求进行理论证明题型四 面面垂直的性质的应用【例4】如图，四棱锥pabcd的侧面pad是正三角形，且垂直于底面，底面abcd是矩形，e是pd的中点求证：平面ace平面pcd分析：要证平面ace平面pcd，只需在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，即只需在该平面内找一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线即可反思：要证平面ace平面pcd，关键是利用平面与平面垂直的性质定理得cd平面pad，再利用正三角形的性质及直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理题型五 易错辨析【例5】已知在四边形abcd中，四个角abc，bcd，cda，dab都是直角求证：四边形abcd是矩形错解：根据初中所学知识，可知四边形abcd是矩形错因分析：上述说明不严谨，忽略了四边形是空间四边形的检验与讨论【例6】已知直线a不垂直于平面，如图所示，求证：过a有且只有一个平面与垂直错解：记aa，过a作b，aba，则可得a，b确定一个平面，由b，b，得，这说明过a有且只有一个平面与垂直错因分析：仅证明了命题的存在性，而忽略了唯一性1给出以下四种说法：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直其中正确的个数是()a4 b3 c2 d12下列结论中，正确的是()垂直于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两个平面平行a bc d3已知平面平面，l，则下列命题中错误的是()a如果直线a，那么直线a必垂直于平面内的无数条直线b如果直线a，那么直线a不可能与平面平行c如果直线a，al，那么直线a平面d平面内一定存在无数多条直线都垂直于平面内的所有直线4经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_个5如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，o是正方形abcd的中心，po底面abcd，e是pc的中点求证：(1)pa平面bde；(2)平面pac平面bde.答案：基础知识梳理1相交垂直互相垂直2垂线【做一做11】c【做一做12】d如图所示，连接be，de，bd.3垂直于【做一做2】b若al，bl，则ab，但a与b不可能垂直典型例题领悟【例1】b借助于长方体模型找出错误的选项如图所示的长方体，abb1c1，ab平面ac，b1c1平面a1c1，但是平面ac平面a1c1，所以b项不正确【例2】证明：取bd的中点为e，连接ae，ce，cbcdabad，aebd，cebd，则有bd平面aec.abadcbcdaca，bda，abd和bcd都是等腰直角三角形，ae，ce都是斜边上的中线aecebda.又aca，ae2ce2ac2.aece.又ae，ce分别是平面aec与平面abd、平面bcd的交线，平面abd平面bcd.【例3】证明：由于ab是o的直径，acbc.又由于pao所在的平面，bc在o所在的平面内，pabc(线面垂直的性质)paaca，bc平面pac(线面垂直的判定)又bc平面pbc，平面pac平面pbc(面面垂直的判定)【例4】证明：pad为正三角形，e为pd的中点，aepd.又平面pad平面ac，平面pad与平面abcd交于ad，dcad，cd平面pad.cdae.ae平面pcd.又ae平面ace，平面ace平面pcd.【例5】正解：(1)当四边形abcd是平面四边形时，它确实是矩形(2)若四边形abcd是空间四边形，可设点c在平面abd之外，如图所示，设c是点c在平面abd内的射影，ad平面abd，cc平面abd，cdad，ad平面ccd，cdad.同理cbab.cd2cb2cd2cb2.连接bd，在bcd中，bcd90，故cd2cb2bd2.在平面四边形abcd中，dababcadc90，bcd90，cd2cb2bd2.将代入得bd2bd2，矛盾，故四边形abcd不可能是空间四边形，只能是平面四边形，四边形abcd是矩形【例6】正解：(1)存在性设aa，过a作b，abaa，b确定一个平面，记作.(2)唯一性假设过a不止一个平面垂直于，可设除外还有平面满足，a.这与a不垂直于矛盾从而假设不成立，所以只有一个平面垂直于.于是，由(1)(2)可知原命题成立随堂练习巩固1