辽宁省凌海市七级数学下册 课后补习班辅导 两条直线的关系讲学案 苏科版.doc

两条直线的关系【本讲教育信息】一. 教学内容： 两条直线的关系目标 1. 理解直线的平行与垂直等概念，并能用符号表示互相平行、垂直的直线。 2. 熟练的过一点画出已知直线的平行线、垂线 3. 掌握平行线、垂线的性质。二. 重、难点： 1. 了解平面上两条直线的平行与垂直关系。 2. 掌握平行线、垂线的性质。如：“过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行”，“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”等。 3. 探索平行线的一些特殊角之间的关系。 4. 能用平行、垂直的有关知识解决数学问题及实际问题。三. 知识要点 1. 平行： （1）平行的描述性语言：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。思考：在同一平面内，两条直线有哪几种位置关系？ 答：在同一平面内，两条直线的位置关系是：平行与相交。 在空间里，两条直线又有哪几种位置关系？ 答：在空间里，两条直线的位置关系是：平行、相交与异面。 注意：“在同一平面内”是前提条件 “不相交”是指两直线没有交点 平行线是指“两条直线”而不是两条射线或两条线段 （2）表示方法： 直线a平行于直线b，可表示为ab。如图，已知正方体中，指出三组平行线。 （3）画平行线：经过直线外一点画已知直线的平行线：一靠、二移、三画线。 （4）平行线的性质： 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 如果两条直线都和已知直线平行，那么这两条直线也互相平行。 2. 垂直： （1）两条直线互相垂直的概念：两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。 （2）表示方法：两条直线互相垂直，可表示为ab于点o或表示为：abcd于点o。 （3）画垂线：当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 如何经过一点画已知直线的垂线呢？ 一靠、二移、三画线。 讨论：当点在已知直线上时，当点在已知直线外时。 （4）垂线的性质： 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 这条垂线段的长度也叫做这点到这条直线的距离。 3. 邻补角 如图，过平角aob的顶点o画射线oc，所得的1与2有一个公共边oc，另一条边oa与ob互为反向延长线。象这样的两个角，叫做邻补角。邻补角是位置特殊的互补的角。【典型例题】 例1. （1）下列说法正确的是（） 两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，则这两条直线互相垂直； 若两条直线相交有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直； 两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直； 两条直线相交，若有一组相邻的角相等，则这两条直线互相垂直。 a. 1个b. 2个c. 3个d. 4个 （2）下列说法正确的是 ( ) a. 有且只有一条直线与已知直线垂直 b. 经过一点有且只有一条直线与已经直线垂直 c. 连结两点的线段叫做这两点间的距离 d. 过点a作直线m的垂线段，则这条垂线段叫做点a到直线m的距离 分析：这两题考查的是概念。因此要明确我们所学过的知识点。 解：（1）垂直概念：相交成直角的两条直线互相垂直 相交所成的四个角中有一个是直角，则四个角都为直角，所以垂直。 对顶角相等，又互补，即相加等于180，则每个角都等于90，所以垂直。 相交所成的四个角相等，即每个角都等于周角的=90，所以垂直。 一组相邻的角相等，即每个角都等于平角的=90，所以也垂直。 因此选d：4个都是正确的。 （2）a错在只有过平面内一点做已知直线的垂线时才有且只有一条，否则可以有无数条。 c、d错在“线段”是“距离”。“线段的长度”才是“距离”。 因此选b。 例2. 对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断： ab，bc，ac，ab，ac 以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成你认为正确的题目。 分析：本题要求以五个论断中的两个为条件，一个为结论，组成正确的题目，也就是让我们自己来编一些题目。在做这样的题目时，我们可以将五个论断两两组合，然后看每一种组合能否推出余下的论断，若能，就得到一个正确的题目。 解：可以写出如下题目： （1）若ab，bc，则ac （2）若ab，ac，则bc（1）、（2）、（3）其实是平行线的传递性） （3）若bc，ac，则ab （4）若bc，ab，则a c （5）若bc，ac，则ab （6）若ab，ac，则bc（垂直于同一条直线的两条直线平行） 注意：本题在解答过程中容易遗漏，同学们可以按分析中的方法，先确定两个论断作为条件，共有10组，然后看是否能推出余下的论断。 例3. 平面内二条平行直线将平面分成三部分，三条平行直线将平面分成四部分，请问：四条、五条平行直线分别将平面分成几部分？n条平行线将平面分成几部分？（n为大于1的正整数） 分析：因为不相交，所以每增加一条平行线，这条平行线就把其中一个平面分成两部分，即增加一个面。 答：四条平行直线分别将平面分成五部分；五条平行直线分别将平面分成六部分。 n条平行线将平面分成n+1部分。 说明：这是一道找规律问题，关键在于从少的几种情况中找出共有的特点。 例4. 在正方体中，与棱dd1平行的棱有几条？与dd1既不平行也不相交的棱有几条？分别把它们写出来。 解：与棱dd1平行的棱有aa1、bb1、cc1共3条与dd1既不平行也不相交的棱有ab、a1b1、bc、b1c1 说明：考查空间直线的位置关系。 例5. 平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点。怎样安排才能办到? 分析：我们先从极端情形考虑：平面上的10条直线，如果两两相交，最多可以出现个交点。而题中只要求出现31个交点，这就启发我们一定有平行线的情形出现. 我们再采取逐步调整的方法，可以达到目的。 解：在某一方向上有5条直线互相平行，则减少10个交点，若有6条直线平行，则可减少15个交点. 所以在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉。转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点. 这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行。如图所示 说明：本题属于操作题型，解题关键是：先考虑极端情形；再考虑题中条件，用逐步调整法解决问题。 例6. 已知直线a、b、c在同一平面内，a/b，a与c相交于p，那么b与c也一定相交。请说明理由。 分析：如何说明“b与c也一定相交”呢?直接说明有困难，那么我们运用逆向思维，从问题的反面入手，也就是：假定b与c不相交，即bc，再想办法推导出矛盾，说明假设不成立，从而说明原结论成立。 解：假定b与c不相交，即平行，bc ab(已知)， ac(平行公理的推论) 这与a与c相交于p矛盾，故假设不成立. b与c一定相交. 说明：本题有一定思维难度. 上述证明方法是反证法。【模拟试题】（答题时间：40分钟） 1. 如图所示的长方体中，平行于ab的棱有_条，垂直于ab的棱有_条. 2. 如图，a代表水面，b代表三名选手从十米跳台入水示意图，比赛结果，图（1）水花最小，得分最高，由此我们可得出结论，当入水轨迹与水面_时，无水花溅起得分最高。 3. 运动会上，甲乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为pa=5.52米，pb=5.13米，则小明的真实成绩为_米。 4. 如图，cdob于d，efoa于f，则c到ob的距离是_，e到oa的距离是_，o到cd的距离是_，到ef的距离是_。 5. 如图，直角梯形abcd中，相互平行的直线有_对，相互垂直的直线有_对。 6. 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫这条线段的中垂线，一条线段的垂线有_条，中垂线有_条。 7. 给出条件：两条直线相交成直角；两条直线互相垂直；一条直线是另一直线的垂线，并且能否以上述任何一个为条件得出另外两个为内容的结论，正确的是（） a. 能b. 不能c. 有的能有的不能d. 无法确定 8. 如图，过点p作直线l的垂线和斜线，叙述正确的是（）a. 都能作且只能作一条b. 垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条c. 垂线能作两条，斜线可作无数条d. 均可作无数条 9. 如图，ocab，cod=45，则图中互为补角的角共有（）a. 1对b. 2对c. 3对d. 4对 10. 以下结论正确的是（）a. 不相交的两条线段叫平行线段b. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行c. 若ac，bc，则abd. 同一平面内，如果两条线段不相交，那它们也不一定平行 11. 运动场上，跳高横杆与地面的关系属于（）a. 直线与直线平行b. 直线与直线垂直c. 直线与平面平行d. 直线与平面垂直 12. 在同一平面内的三条直线，如果要使其中的两条有且只有两条平行，那么它们只能（）a. 有一个交点b. 有两个交点c. 有三个交点d. 没有交点 13. 如果l1l2，l2l3，l3l4，那么l1与l4的关系是（）a. 平行b. 相交c. 重合d. 不能确定 14. 一测量员从点a出发，行走100米到点b，然后向左转90，再走100米到c点，再左转90，行走100米到d点，那么ab与cd平行吗？请画出示意图。 15. 河边有一村庄（近似看作点a），如果在河岸上建一码头（近似看作点b），使