高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 空间中的垂直关系（1）课堂探究 新人教B版必修2.doc

1.2.3 空间中的垂直关系 1课堂探究探究一 线面垂直的判定(1)利用直线与平面垂直的判定定理来判定直线与平面垂直的步骤：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法【典型例题1】 如图所示，直角abc所在平面外有一点s，且sasbsc，点d为斜边ac的中点(1)求证：sd平面abc；(2)若abbc，求证：bd平面sac思路分析：由于d是ac的中点，sasc，则sd是sac的高，连接bd，可证sdbsda由于abbc，所以rtabc是等腰直角三角形，则bdac，利用线面垂直的判定定理即可得证证明：(1)因为sasc，d为ac的中点，所以sdac在rtabc中，连接bd则addcbd又因为sbsa，sdsd，所以adsbds所以sdbd又acbdd，所以sd平面abc (2)因为babc，d为ac的中点，所以bdac又由(1)知sdbd，acsdd，所以bd平面sac探究二 线面垂直的判定定理与推论的应用(1)平面内证明线线平行的四种方法：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，则两直线平行三角形中位线、梯形中位线的性质平行四边形对边平行的性质平行线分线段成比例定理(2)空间中证明线线平行的四种方法：(基本性质4)平行于同一条直线的两条直线平行(线面平行的性质定理)如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行(面面平行的性质定理)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行(线面垂直的性质定理)如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行【典型例题2】 如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m是ab上一点，n是a1c的中点，mn平面a1dc 求证：mnad1证明：因为add1a1为正方形，所以ad1a1d又因为cd平面add1a1，所以cdad1因为a1dcdd，所以ad1平面a1dc又因为mn平面a1dc，所以mnad1探究三 距离问题求点到平面距离的基本步骤是：找到或作出要求的距离；使所求距离在某一个三角形中；在三角形中根据三角形的边角关系求出距离【典型例题3】 如图所示，已知p为abc外一点，pa，pb，pc两两垂直，papbpca，求点p到平面abc的距离思路分析：作出点到平面的垂线，进一步求出垂线段的长证明：过p作po平面abc于点o，连接ao，bo，co，所以pooa，poob，pooc因为papbpca，所以paopbopco所以oaoboc，所以o为abc的外心因为pa，pb，pc两两垂直，所以abbcca，所以abc为正三角形，所以oaab，所以po所以点p到平面abc的距离为探究四 易错辨析易错点：忘记分类讨论而致误【典型例题4】 已知：线段ab的中点为o，o平面求证：a，b两点到平面的距离相等错解：如图所示，过点a，b作平面的垂线，垂足分别为a1，b1，则aa1，bb1分别是点a、点b到平面的距离在rtaa1o和rtbb1o中，aobo，b1oba1oa，所以rtaoa1rtbob1，所以aa1bb1，即a，b两点到平面的距离相等错因分析：错误的原因有两种：一是忽略了ab的情况；二是认为aoa1和bob1为对顶角而相等，其实应说明b1，o，a1三点共线才行正解：(1)当线段ab平面时，显然a，b到平面的距离均为0，相等(2)当ab平面时，如图，分别过点a，b作平面的垂线，垂足分别为a1，b1，则aa1，bb1分别是点a、点b到平面的距离，且aa1bb1所以aa1与bb1确定一个平面，设为，则a1b1因为oab，