高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦导学案 苏教版必修4.doc_第1页
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文档简介

3.1.2两角和与差的正弦学习目标重点难点1能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式,并能利用公式化简求值2能记住两角和与差的正弦、余弦公式特征3能逆用公式进行化简求值.重点:两角和与差的正弦公式的推导及利用公式化简求值难点:灵活运用公式进行化简求值.1两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦公式:sin()_(,r)(2)两角差的正弦公式:sin()_(,r)答案:(1)sin cos cos sin (2)sin cos cos sin 预习交流1你能结合三角函数诱导公式,由公式c()或c()推导出公式s()吗?提示:能sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin 或sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin sin cos cos sin .2辅助角公式:asin xbcos xsin(x)(a,b不同时为0)其中cos ,sin .预习交流2你会求函数ysin xcos x的周期与最小值吗?提示:ysin xcos xsin,周期为t2,最小值为.预习交流3(1)化简sin()cos cos()sin 的结果应为_(2)计算sin 43cos 13sin 13cos 43的值等于_(3)已知cos cos sin sin ,则cos()_.(4)sincos的值是_提示:(1)sin (2)(3)(4)一、给角求值(1)求 sin 157cos 67 cos 23sin 67的值;(2)求 sin(75) cos(45)cos(15)的值思路分析:(1)的形式与公式有差异,应先由诱导公式化角,再逆用公式求值(2)所给角有差异,应先拆角,将角统一再用公式,75(15)60,45(15)30.解:(1)原式sin(18023)cos 67 cos 23sin 67sin 23cos 67 cos 23sin 67sin(2367)sin 901(2)sin(75) cos(45)cos(15)sin(1560) cos(1530)cos(15)sin(15)cos 60 cos(15)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30cos(15)sin(15)cos(15)cos(15)sin(15)cos(15)0.1sin 15cos 75 cos 15sin 105等于_答案:1解析:原式sin 15cos 75cos 15sin(18075)sin 15cos 75cos 15sin 75sin(1575)sin 9012sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)答案:1解析:原式sin(54x)(36x)sin 901解答此类题目首先利用诱导公式化角,一般式子中只能涉及两个角,再根据两角和与差的公式形式,逆用公式求值二、给值求值已知cos ,当(1);(2)时,分别求sin.思路分析:在已知cos 和的取值范围的前提下,要求sin,只需把sin 求出再应用公式即可得出解:(1)cos ,又,sin .sinsincos cossin .(2)cos ,又,sin .sinsincos cossin .1已知sin()cos cos()sin m,且为第三象限角,则 cos 等于_答案:解析: sin() cos cos() sin sin()sin()sin m, sin m.又 为第三象限角, cos .2已知,是锐角,且sin ,cos(),求sin 的值解:是锐角,且sin ,cos .又cos(),均为锐角,sin().sin sin()sin()cos cos()sin .(1)已知某些角的三角函数值,求其他角的三角函数值,解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,以免造成求解时不必要的麻烦(2)要注意观察和分析问题中涉及的角与角的内在联系,尽量整体地运用条件中给出的三角函数值在三角变换中,首先应考虑角的变换根据题中的条件与结论来变,简单地说就是“据果变形”,创造出利用三角公式的条件,以达到解题的目的,常见角变换有:(),2(),2()()等(3)解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系,从而恰当、准确地求出三角函数值三、辅助角公式的应用若函数f(x)(1tan x)cos x,0x.(1)把f(x)化成asin(x)或acos(x)的形式;(2)判断f(x)在上的单调性,并求f(x)的最大值思路分析:先用同角三角函数基本关系化简f(x),再把解析式f(x)用构造辅助角法化成asin(x)的形式,最后求单调性与最值解:(1)f(x)(1tan x) cos xcos x cos xcos xsin x222sin.(2)0x,f(x)在上是单调增函数,在上是单调减函数当x时,f(x)有最大值为2.1求函数f(x)sin xcos x的最值、周期解:f(x)sin xcos x222sin.xr,xr.f(x)max2,f(x)min2,t2.2已知函数f(x)2sin2cos x,x.(1)若sin x,求函数f(x)的值;(2)求函数f(x)的值域解:(1) sin x,x, cos x.f(x)22cos xsin xcos x.当 sin x时,函数f(x).(2)f(x)2sin2cos xsin xcos x22sin,x,x. sin1函数f(x)的值域为1,2正确认识f(x)asin xbcos x及其应用:(1)asin xbcos x,令cos ,sin ,则有asin xbcos x(cos sin xsin cos x)sin(x),其中tan .(2)涉及到asin xbcos x的最值、图象等性质问题时,常利用两角和与差的三角函数公式先把该式转化成f(x)sin(x)的形式;再利用研究yasin(x)的相关方法去处理f(x)中的有关性质1化简:cossin_.答案:cos 解析:原式coscos sinsin sincos cossin cos .2计算:(sin 15cos 15)_.答案:解析:(sin 15cos 15)22(cos 45sin 15sin 45cos 15)2sin 60.3已知sin ,cos ,且,在同一象限,则sin()的值是_答案:解析:sin ,cos ,又,在同一象限,为第四象限角cos ,sin .sin()sin cos cos sin .4函数f(x)2sin x2cos x,xr的最大值是_答案:4解析:f(x)2sin x2cos x444sin,故f(x)的最大值是4.5设abc的三个内角为a,b,c,向量m(sin a,

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